3.3. Уравнение Бернулли для реальной вязкой жидкости

Будем считать, что по всему поперечному сечению . Строго говоря, это утверждение справедливо только для параллельных трубок тока. Выделим в общем потоке элементарную струйку, такую тонкую, что изменением параметров в поперечном сечении будем пренебрегать. От трубки к трубке скорость потока будем считать переменной.

Введем понятие элементарной мощности потока dN, которая переносится элементарной струйкой. Известно, что мощность равна(dE– приращение энергии), тогда элементарная мощность равна

.

Полный напор элементарной струйки равен

.

Из последнего выражения выразим и, учитывая последнее выражение, представим элементарную мощность в виде

.

Проведем преобразования: ;;;, гдеQ– объемный расход жидкости, – удельный вес жидкости. Тогда

,

где .

Мощность всего потока определится как

.

Пользуясь теоремой о среднем: , можем записать:

; (3.1)

.

Подставляя выражение полного напора в (3.1), получим

;;

, (3.2)

где – коэффициент неравномерности потока (Кориолиса). (3.3)

Экспериментально установлено следующее:

, (3.4)

где – суммарные потери полного напора в канале между сечениями1и2.

Уравнение (3.4) – это уравнение Бернулли для реальной вязкой жидкости. Развернутая форма уравнения Бернулли имеет вид:

.

Отметим, что уравнение неразрывности для течения реальной вязкой жидкости (для сечений 1и2) примет вид:

.

Существует 2 вида потерь полного напора:

1. потери по длине потока ; они обуславливаются вязкостью реальной жидкости (трением), для их существования необходима достаточная длина канала;

2. местные потери . Они возникают в тех местах (внезапное расширение, поворот потока и др.), где изменяется конфигурация потока, приводящая к деформации эпюр распределения скоростей в поперечном сечении трубы.

Местные потери могут быть оценены с помощью формулы Вейсбаха:

,

где ξ – коэффициент сопротивления (местного сопротивления).

3.5. Уравнение Бернулли для относительного движения

Вращательное движение вокруг вертикальной оси.

рис. 3.7

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1и2-2(рис. 3.7).

,

где – инерционный напор (работа сил инерции, отнесенная к единице веса).

На единицу веса действует сила инерции (). Работа этой силы при перемещении вдоль радиуса на расстояниеdrравна, а при перемещении от радиусаr₁до радиусаr₂:,.

Если перемещение жидкости под действием силы инерции от радиуса r₁доr₂приводит к увеличению скорости, то имеет положительный знак, если наоборот, то знак будет, соответственно, отрицательным. В уравнении Бернулли обычно переносят в правую часть, при этом при вычислении инерционного напора знак меняется на обратный.

4.1. Краткие сведения о режимах течения

Опыты показывают, что существует 2 вида течения жидкости в трубах.

1. Ламинарное (слоистое течение);

2. Турбулентное (бурное, возмущенное).

При ламинарном режиме течения жидкость движется без перемешивания слоев, плавно изменяя скорость. При таком течении все линии тока вполне определяются формой русла, по которому течет жидкость.

При турбулентном режиме течения происходит интенсивное перемешивание слоев жидкости в направлении, перпендикулярному основному течению, сопровождаемое пульсациями скорости и давления, что приводит к резкому возрастанию сопротивления движению жидкости по сравнению с ламинарным режимом течения. Помимо поперечных движений объемов жидкости присутствуют и вращательные движения. Все это позволяет принять коэффициент неравномерности потока α ≈ 1,0.

Смена режимов течения жидкости в трубе происходит при определенной скорости течения, называемой критической скоростью V_кр.

Для определения режимов течения жидкости вводится число Рейнольдса, которое представляет собой отношение силы инерции к силе вязкого трения:

,

где d– диаметр трубы,– кинематический коэффициент вязкости,V– средняя скорость потока в рассматриваемом сечении.

При Re<Re_кр(нижнее критическое число) имеет место ламинарный режим течения, приRe>Re_кр– либо турбулентный режим, либо зона неустойчивого движения (переходная зона). Для труб при напорном движении жидкости нижнее критическое число Рейнольдса принимаетсяRe_кр = 2300. Развитый турбулентный режим обычно устанавливается приRe= 4000. В переходной зоне (Re>Re_кр) возможны два режима течения, при этом ламинарный режим течения в этой зоне неустойчив и его существование зависит от дополнительных возмущений потока. Переход от ламинарного течения к турбулентному также зависит от условий течения (шероховатости поверхности труб, условий входа потока в трубу и др).

Отметим, что при Re<Re_крламинарное течение является вполне устойчивым: всякого рода искусственная турбулизация потока и его возмущения (сотрясение труб, введение в поток колеблющегося тела и др.) погашаются влиянием вязкости и ламинарное течение восстанавливается. Турбулентное течение при этом неустойчиво. ПриRe>Re_кр, наоборот, турбулентное течение устойчиво, а ламинарное ­– неустойчиво.

Определение режима движения жидкости в практических расчетах имеет важное значение, так как позволяет достоверно определить потери при движении жидкости в трубопроводах и т.п. Опыты показали, что потери напора по длине потока при ламинарном режиме движения пропорциональны средней скорости течения в первой степени , для турбулентного – средней скорости течения в степениn:,. При развитой турбулентности. Здесь– коэффициенты пропорциональности.