6

2.4. Сила давления жидкости на плоскую стенку

Используем основное уравнение гидростатики (2.1) для нахождения полной силы давления жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Вычислим полную силу Pдавления, действующую со стороны жидкости на некоторый участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь, равнуюS.

Ось 0xнаправим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось 0y– перпендикулярно этой линии в плоскости стенки.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

,

где p₀– давление на свободной поверхности;h– глубина расположения площадкиdS.

Для определения полной силы Pвыполним интегрирование по всей площадиS:

,

где y– координата центра площадкиdS.

Последний интеграл, как известно из механики, представляет собой статический момент площади Sотносительно осиOx и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точкаС), т. е.

.

Следовательно, , гдеh_c– глубина погружения центра тяжести площадиS. В результате имеем:

, (2.6)

т. е. полнаясиладавления жидкости на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления (определяемого давлением на свободной поверхности жидкости и глубиной погружения центра тяжести площадиS) в центре тяжести площади этой стенки на ее площадь.

Найдем положение точки приложения силы избыточного давления.

Так как внешнее давление p₀передается всем точкам площадиSодинаково, то равнодействующая этого давления будет приложена в центре тяжести площадиS:;;, т.е..

Для нахождения точки приложения силы избыточного давления жидкости (точка D) применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы давления относительно оси 0xравен сумме моментов составляющих сил:

;;,

где y_Dи – координата точки приложения силыP_и.

Выразим y_Dи:

,

где – момент инерции площадиSотносительно оси 0x.

Учитывая, что (J_x0– момент инерции площадиSотносительно оси, проходящей через центр тяжести площадиSи параллельной 0x), получим

. (2.7)

Таким образом, точка приложения силы P_ирасположена ниже центра тяжести площади стенки на расстояние .

Определим центр давления y_Dот действия сил давления на свободной поверхности и избыточного давления. Запишем уравнение моментов относительно верхней точки пластины и определимкак результирующий момент от действия моментов перечисленных выше сил давления.

; .

.

Рис. 2.9

В частном случае, когда стенка имеет прямоугольную форму, причем одна из сторон прямоугольника совпадает со свободной поверхностью жидкости, положение центра давления находится из геометрических соображений. Так как эпюра давления жидкости на стенку изображается прямоугольным треугольником (рис. 2.10), центр тяжести которого отстоит от основания на 1/3 высоты bтреугольника, то и центр давления жидкости будет расположен на том же расстоянии от основания:,. Если стенка вертикальная, то.

Рис. 2.10

В машиностроении часто приходится сталкиваться с действием силы давления на плоские стенки, например на стенки поршней или цилиндров гидравлических машин. Обычно p0при этом бывает настолько высоким, что центр давления можно считать совпадающим с центром тяжести площади стенки. Найдем статические моменты, моменты инерции и положения центров тяжести для прямоугольной и треугольной пластин.