Mashkovsky_Lesnaya_biometria

На рис. 31 изображено полученное регрессионное уравнение логарифмической кривой.

Рис. 31. Зависимость между высотами и диаметрами деревьев в древостое (логарифмическая кривая)

Проанализируем полученное уравнение. Для начала рассчитаем таблицу дисперсионного анализа (табл. 51). Число степеней свободы для суммы квадратов, обусловленной регрессией, в случае логарифмического уравнения равно 1, так как, помимо свободного члена, в нем есть только один коэффициент регрессии – a1. Общей скорректированной сумме квадратов соответствует число степеней свободы, на единицу меньшее общего количества наблюдений, т. е.

отклонений эмпирических высот от теоретических (табл. 50). Это значение 526,18 является суммой квадратов отклонений относительно регрессии, или остатком (табл. 51).

Таблица 51. Дисперсионный анализ уравнения логарифмической

кривой

Общая скорректированная сумма квадратов отклонений – это сумма квадратов отклонений всех высот от средней арифметической высоты. Данная величина была получена ранее для рассматриваемых данных при вычислении показателей вариации (табл. 23). Сумму квадратов отклонений, обусловленную регрессией, получим как разницу между общей скорректированной суммой квадратов отклонений и остатком: 1051,51 – 526,18 = 525,33. Разделив суммы квадратов на соответствующие числа степеней свободы, получим средний квадрат, обусловленный регрессией (525,33), и средний квадрат относительно регрессии (2,66).

Теперь рассчитаем F-статистику Фишера, воспользовавшись формулой (141):

= MSR = 525,33 =

F s2 2,66 197,49 .

С помощью полученного значения проверим гипотезу об отсутствии связи между зависимой и независимой переменными. Для этого в табл. 8 приложения найдем квантиль распределения Фишера с 1 и 198 степенями свободы для уровня значимости α = 0,05. Это значение равно F0,05,1,198 = 3,84. Так как вычисленное значение F-критерия Фишера превышает табличное значение, мы отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии связи между высотами и диаметрами. Следовательно, результаты расчетов подтверждают наличие связи между диаметрами и высотами деревьев в древостое, описываемой логарифмической кривой.

Наряду с дисперсионным анализом, вычислим коэффициент детерминации, пользуясь формулой (142)

i=1

приведенную R2 статистику с помощью выражения (143)

Ra2 =1−(1− R2 ) n −n m−1−1 =

и коэффициент корреляции, который является квадратным корнем из коэффициента детерминации:

Полученные значения последних показателей позволяют оценить степень адекватности логарифмической модели связи между высотами и диаметрами экспериментальным данным как высокую.

Следующий этап оценки качества полученного уравнения регрессии будет заключаться в проверке гипотез о равенстве коэффициентов регрессии нулю. Для этого следует вычислить t- статистики Стьюдента для коэффициентов a0 и a1 с помощью формул (152) и (147). Сумму квадратов отклонений значений xi от их средней арифметической величины из числителя формулы (152) можно вычислить с помощью выражений (207) и (208).

Учитывая то, что в случае логарифмической кривой x1 = lg(x), формулу (152) можем представить в виде

а с учетом (207) и (208) сумму квадратов отклонений из числителя полученной формулы преобразуем к выражению

7.7.Выбор регрессионной модели

Впредыдущих подразделах были рассмотрены примеры регрессионного анализ зависимости между высотами и диаметрами деревьев в чистом одновозрастном древостое. В этих примерах использовались разные модели связи: линейная, параболическая, гиперболическая и логарифмическая. Характерно, что результаты расчетов статистически достоверно подтверждают наличие связи между диаметрами и высотами деревьев в древостое для всех рассмотренных видов моделей. В таких ситуациях встает вопрос, какую модель выбрать? Для анализа соответствия регрессионных моделей экспериментальным данным в рассматриваемых примерах был рассчитан ряд статистик, характеризующих полученные уравнения. Сведем эти параметры в табл. 52 и проанализируем их.

Нетрудно заметить, что наилучшим образом описывает связь между диаметрами и высотами в древостое уравнение гиперболы. Об этом говорит максимальное значение коэффициента корреляции 0,7415. Величина коэффициента детерминации показывает, что данное уравнение описывает 54,99% всей вариации высот, что больше, чем у других моделей. Стандартная ошибка данного уравнения также меньше, чем у остальных уравнений, для которых

выполнялись расчеты. В пользу уравнения гиперболы говорят также и самые большие величины приведенной R2 статистики и критерия Фишера.

Таблица 52. Статистические показатели, характеризующие уравнения

регрессии

Таким образом, лучшей моделью, характеризующей связь высот и диаметров деревьев в древостое, является уравнение гиперболы:

h = 32,35 − 226d ,3 ; ta0 = 65,29; ta1 = −15,61.

В рассмотренном варианте никаких проблем с выбором лучшего уравнения нет. Все характеристики указывают на гиперболу. Но так бывает не всегда. В некоторых случаях выбрать лучшую регрессионную модель из рассмотренных вариантов достаточно сложно.

Предположим, что анализировались три модели связи: линейная, параболическая и логарифмическая (исключим гиперболу из рассмотрения) (табл. 53).

Таблица 53. Статистические показатели, характеризующие уравнения

регрессии

В таком варианте коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, стандартная ошибка оценки указывают на параболу второго порядка. Именно она описывает больше всего вариации высот деревьев и позволяет с наименьшей ошибкой оценивать величину высоты дерева на основании измеренного диаметра. В том случае, если такая оценка и является целью разработки модели, данный выбор является правильным. Вместе с тем у параболы второго порядка самый маленький критерий Фишера. Дело в том, что этот показатель учитывает число степеней свободы. В рассматриваемом примере парабола является самой сложной моделью в связи с тем, что она имеет три коэффициента регрессии – a0, a1 и a2, а не два, как другие уравнения. Следовательно, на уравнение параболы второго порядка приходится на одну степень свободы больше, чем на другие уравнения, что и отражается на величине критерия Фишера. Уменьшение стандартной ошибки оценки и увеличение доли вариации высот, описываемой уравнением параболы второго порядка, в сравнении с уравнениями прямой линии или логарифмической

кривой, является незначительным на фоне увеличения в полтора раза количества параметров уравнения. Именно поэтому критерий Фишера, вычисленный для параболы, оказался самым маленьким. В такой ситуации иногда целесообразно отдать предпочтение более простому уравнению, например логарифмическому, несмотря на то, что у него стандартная ошибка оценки несколько выше (1,630), чем у параболы второго порядка (1,559). Так можно поступить в том случае, если необходимо построить достаточно простую модель связи и когда оценка высот деревьев на основании их диаметров не является основной целью моделирования.

Приведенная R2 статистика также учитывает число степеней свободы, однако в значительно меньшей степени, чем критерий Фишера. В рассматриваемом примере, в отличие от F-критерия, она характеризует анализируемые уравнения так же, как и коэффициент детерминации.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1. Соотношения диаметров и высот деревьев в спелых сосновых насаждениях

Продолжение табл. 1

Номера столбцов

231