Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mashkovsky_Lesnaya_biometria

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2618 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Мы рассмотрели вариант с одной независимой переменной. С увеличением количества независимых переменных найти стандартное отклонение для коэффициентов регрессии становится значительно труднее. Попробуем это сделать для двух независимых переменных. В рассматриваемом случае система нормальных уравнений (131) примет следующий вид:

n a		0	+ a
		0	1
		n
		n
a0	∑x1,i
	i=1
		n
a0	∑x2,i
	i=1

n	n	n
∑x1,i + a2	∑x2,i	= ∑yi ;
i=1	i=1	i=1
n	n		n	(153)
+ a1 ∑x12,i	+ a2 ∑x2,i x1,i = ∑yi x1,i ;			(153)
i=1	i=1		i=1
n		n	n
+ a1 ∑x1,i	x2,i + a2 ∑x22,i = ∑yi x2,i .
i=1		i=1	i=1

Выразим коэффициент a0 из первого уравнения системы (153)

			n		n				n
			∑yi		∑x1,i				∑x2,i
a	0	=	i=1	−a	i=1		−a	2	i=1
a		=		−a			−a
			n	1		n			n
			n			n			n

и подставим полученное выражение во второе и третье уравнение системы (153):

∑yi

∑x1,i

∑x2,i

i=1

∑x1,i +

−a1

−a2

i=1

+ a1 ∑x1,2i

+ a2 ∑x2,i x1,i

= ∑yi x1,i ;

i=1

∑yi

∑x1,i

∑x2,i

i=1

−a1

−a2

∑x2,i

i=1

+ a1 ∑x1,i

x2,i + a2 ∑x22,i

= ∑yi x2,i .

i=1

После преобразований получим

172

∑x1,i

∑x2,i ∑x1,i

∑x2

− i=1

+ a2

∑x2,i x1,i −

i=1

1,i

i=1

∑yi ∑x1,i

i=1

∑yi

x1,i −

;

i=1

∑x1,i ∑x2,i

∑x2,i

∑x1,i x2,i −

i=1

+ a2

∑x2,2 i

− i=1

i=1

∑yi

∑x2,i

∑yi

x2,i −

i=1

Введем обозначения:

∑x1,i

= n (x12 − x12 )= n S12 ;

С2 = ∑x2

−

i=1

1,i

∑x2,i ∑x1,i

C3 = ∑x2,i

x1,i −

i=1

= n S1 S2 R;

i=1

∑x2,i

= n (x22 − x22 )= n S22 .

C4 = ∑x2,2 i

−

i=1

Тогда система (154) примет вид

∑yi

∑x1,i

C2 + a2 C3 = ∑yi x1,i −

i=1

;

i=1

∑yi

∑x2,i

i=1

C3 + a2 C4 = ∑yi x2,i −

i=1

(154)

(155)

(156)

Разделим оба уравнения системы (156) на коэффициенты при a1

173

∑yi ∑x1,i

∑yi x1,i −

i=1

+ a

i=1

;

∑yi ∑x2,i

i=1

∑yi x2,i −

+ a2

i=1

и вычтем первое уравнение из второго:

∑yi ∑x2,i

∑yi ∑x1,i

∑yi x2,i −

i=1

∑yi x1,i −

i=1

. (157)

i=1

−

Теперь выразим a2 из уравнения (157)

∑yi ∑x2,i

∑yi ∑x1,i

∑yi x2,i −

i=1

∑yi

x1,i −

i=1

−

i=1

−

и преобразуем полученное выражение следующим образом:

∑ yi ∑x2,i

∑ yi ∑x1,i

∑ yi x2,i −

i=1

∑ yi x1,i

−

i=1

−

i=1

C2 C3

a2 =

C2 C4 −C32

и далее

∑yi ∑x2,i

∑yi ∑x1,i

C2 ∑yi x2,i −C2

i=1

−C3 ∑yi x1,i +C3

i=1

. (158)

a2 =

i=1

C C −C2

Теперь перегруппируем слагаемые в числителе выражения (158)

174

(C2 C4 −C32 )2

следующим образом:

∑x2,i

∑x1,i

∑yi C2

x2,i −C2

i=1

−C3

x1,i +C3

i=1

−C2

Учитывая (145) и то, что C2, C3 и C4 – константы, а V(yi) = σ2, дисперсию для коэффициента a2 можно вычислить с помощью следующей формулы:

∑σ2

i=1

V (a2 )=

						n
						∑x2,i
C	2	x	2,i	−C	2	i=1
C		x		−C		n
						n

	n	2
	∑x1,i
−C3 x1,i +C3	i=1
−C3 x1,i +C3	n
	n

		.

Вынесем σ2 за знак суммы и раскроем скобки:

∑x2,i

V (a

−C

i=1

−

(C2 C4 −C32 )2

∑i=1

2,i

∑x1,i

∑x2,i

−C

2,i

i=1

−C

i=1

2,i

1,i

∑x2,i

∑x1,i

+ C

i=1

−C

i=1

−

1,i

∑x2,i

+ (C

−C

2,i

i=1

−

1,i

∑x1,i

−C

i=1

2,i

−

1,i

175

∑x1,i

∑x2,i

∑x1,i

i=1

−C3

C3 x1,i +

Теперь приведем подобные члены

∑x2,i

V (a )=

(C x

)2 + C

i=1

+(C x )2 +

(C2 C4 −C32 )2

i=1

2,i

3 1,i

∑

∑x1,i

∑x2,i

+ C

i=1

− 2 C

i=1

− 2 C x

2,i

1,i

2,i

∑x2,i

∑x1,i

+ 2 C

i=1

+ 2 C

i=1

2,i

−

1,i

∑x1,i

∑x2,i

∑x1,i

− 2 C

i=1

− 2 C

i=1

1,i

и перегруппируем слагаемые еще раз:

∑x2,i

V (a2 )=

i=1

∑x2,i

+C2

+C3

∑x1,i +

(C2 C4 −C32 )2

i=1

∑x1,i

∑x2,i

+ C32

i=1

− 2 C22

i=1

−

2 C3 C2 ∑x1,i x2,i +

i=1

∑x1,i ∑x2,i

+ 2 C C

i=1

+ 2 C

i=1

−

176

	n	n		n	2
	∑x1,i ∑x2,i			∑x1,i
− 2 C3 C2	i=1	i=1	− 2 C32	i=1		.	(159)
− 2 C3 C2		n	− 2 C32		n	.	(159)
		n			n

После преобразования выражения (159) получим

σ2

∑x2,i

V (a2 )=

i=1

∑x2,i −

(C2

C4 −C32 )2

i=1

∑x1,i

∑x1,i ∑x2,i

i=1

. (160)

+C32

∑x1,2i −

− 2

C3 C2

∑x1,i x2,i

−

i=1

Учитывая (155), выражение (160) преобразуем к виду

V (a2 )= σ2 (C22 C4 −C32 C2 )		= σ2	C2 (C2 C4 −C32 )	=
V (a2 )= σ2 (C22 C4 −C32 C2 )		= σ2	(C2 C4 −C32 )2	=
	(C2 C4 −C32 )2		(C2 C4 −C32 )2
= σ2	C
= σ2	(C2 C42−C32 ).

Теперь, используя оценку s2 – остаточный средний квадрат вместо неизвестной σ2, в предположении, что модель корректна, получим выражение для вычисления дисперсии коэффициента регрессии a2:

sa2	= s2	C2		.	(161)
		C2 C4 −C3	2
2

Используя (144) и с учетом (161), а также того, что стандартное отклонение есть квадратный корень из дисперсии, t-критерий для a2 можно вычислить по формуле

	a2 − a2,0	= (a2	C		C				−C2	1/ 2
t =				2		2		4	3

	sa2		− a2,0 )		s		C2

или

177

	a	2		C		C				−C2	1/ 2
t =			= a2		2		2		4	3		,	(162)

	sa2					s		C2

если проверяется гипотеза о равенстве коэффициента регрессии a2 нулю.

Аналогичным образом получим выражение, позволяющее вычислить t-критерий для коэффициента a1. Для этого разделим оба уравнения системы (156) на коэффициенты при a2

∑yi ∑x1,i

∑yi x1,i −

i=1

+ a

i=1

;

∑yi ∑x2,i

i=1

∑yi x2,i −

i=1

+ a2

и вычтем первое уравнение из второго:

∑yi

∑x2,i

∑yi ∑x1,i

∑yi x2,i −

i=1

∑yi x1,i −

i=1

−

.(163)

Теперь выразим a1 из уравнения (163)

∑yi ∑x2,i

∑yi ∑x1,i

∑yi

x2,i −

i=1

∑yi x1,i −

i=1

−

i=1

a1 =

− C2

и преобразуем полученное выражение следующим образом:

178

∑yi ∑x2,i

∑yi ∑x1,i

∑yi x2,i −

i=1

∑yi x1,i −

i=1

−

i=1

−C

∑yi ∑x2,i

∑yi

∑x1,i

C3 ∑yi x2,i −C3

i=1

−C4 ∑yi x1,i +C4

i=1

a1 =

i=1

−C C

. (164)

Теперь перегруппируем слагаемые в числителе выражения (164) следующим образом:

∑x2,i

∑x1,i

∑yi C3

x2,i −C3

i=1

−C4

x1,i + C4

i=1

−C

Учитывая (145) и то, что C2, C3 и C4 константы, а V(yi) = σ2, дисперсию для коэффициента a1 можно вычислить с помощью следующей формулы:

				n		n	2
	n			∑x2,i		∑x1,i
	∑	σ2 C3 x2,i −C3		i=1	−C4 x1,i +C4	i=1
	∑	σ2 C3 x2,i −C3			−C4 x1,i +C4
	i=1			n		n
	i=1			n		n
V (a1 )=								.
V (a1 )=			(C32 −C2 C4 )2					.
			(C32 −C2 C4 )2

Вынесем σ2 за знак суммы и раскроем скобки:

V (a )=

(C x

)2 −C x

∑x2,i

i=1

−

(C32

−C2 C4 )2

i=1

3 2,i

∑

179

∑x1,i

∑x2,i

−C

2,i

i=1

−C

i=1

2,i

1,i

∑x2,i

∑x1,i

+ C

i=1

+ C

i=1

−C

i=1

−

1,i

∑x2,i

−C

2,i

i=1

+(C

)2 −

1,i

∑x1,i

−C

i=1

2,i

−

1,i

∑x1,i

∑x2,i

∑x1,i

−C

i=1

−C

i=1

1,i

Теперь приведем подобные члены

σ2

V (a )=

x )2 +

∑

2,i

(C3

−C2 C4 )

i=1

				n				2
				∑x1,i
				i=1
+		C4						.
+		C4			n			.



	n		2
	∑x2,i					(C		x )2 +
	i=1				+
					+
		n					4	1,i
							4	1,i

∑x1,i

∑x2,i

+ C

i=1

− 2 C

i=1

C x

− 2 C

C x

3 2,i

1,i

3 2,i

∑x2,i

∑x1,i

+ 2 C

i=1

+ 2 C

i=1

C x

−

1,i

2,i

∑x1,i

∑x2,i

∑x1,i

− 2 C

i=1

− 2 C

i=1

1,i

180

и перегруппируем слагаемые еще раз:

∑x2,i

C32

V (a1 )=

∑x2,2 i + C32

i=1

+ C42

∑x1,2i +

(C32 −C2 C4 )2

i=1

∑x1,i

∑x2,i

+ C42

i=1

− 2

C32

i=1

− 2 C4 C3 ∑x1,i x2,i +

i=1

+ 2 C

∑x1,i

∑x2,i

∑x1,i

∑x2,i

i=1

+ 2 C

i=1

−

∑x1,i

∑x2,i

∑x1,i

− 2 C4 C3

i=1

− 2 C42

i=1

(165)

После преобразования выражения (165) получим

∑x2,i

V (a1 )=

i=1

C32

∑x2,2 i −

(C32

−C2 C4 )

i=1

∑x1,i

∑x1,i ∑x2,i

i=1

+C42

∑x1,2i −

−2

C4 C3

∑x1,i x2,i

−

i=1

Учитывая (155), выражение (166) преобразуем к виду

V (a )= σ2	(C42 C2 −C32 C4 )= σ2	C4 (C2 C4 −C32 )=
1	(C32 −C2 C4 )2	(C32 −C2 C4 )2
	(C32 −C2 C4 )2	(C32 −C2 C4 )2

. (166)

	2		C
= σ			(C2 C44 −C32 ).

Теперь, используя оценку s2 – остаточный средний квадрат вместо неизвестной σ2, в предположении, что модель корректна,

181

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2618 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.2015522.78 Кб26lek_10.pdf
#
26.03.201530.66 Кб14LK_1 Методы макроэк. анализа.docx
#
15.04.2019726.53 Кб13LYeKTsII_BOGDANOVICh_DIZAJN.doc
#
09.03.2016866.41 Кб14Makarenko_Osobennocti_AKhD_v_drugikh_otraslyakh.pdf
#
26.09.201954.94 Кб7marketing poniatia.docx
#
26.03.20151.95 Mб42Mashkovsky_Lesnaya_biometria.pdf
#
26.03.20151.73 Mб96Mashkovsky_Lesoustroystvo.pdf
#
09.03.20161.81 Mб113MathCad_Дятко_Кишкурно.pdf
#
26.03.201563.2 Кб14Men-t_Metelsky_1.docx
#
09.03.2016728.39 Кб6MENEDZhMENT_RISKA_I_STRAKhOVANIYa-osnovnoe_uchebnoe_posobie.pdf
#
26.03.201574.06 Кб9menedzhment_shpory_AKKREDITATsIYa_1.docx