Mashkovsky_Lesnaya_biometria

ось абсцисс в точках m – 2σ и m + 2σ, то ее площадь будет равна 0,9545, а если в точках m – 3σ и m + 3σ, то 0,9973. Как известно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой плотности распределения вероятностей, осью абсцисс и прямыми x = a и x = b, равна вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал ]a; b[. Таким образом, случайная величина, подчиняющаяся закону нормального распределения с параметрами m и σ, с вероятностью 0,9973 попадет в интервал ] m – 3σ ; m + 3σ [. Это значит, что вероятность ее отклонения от математического ожидания m на величину, превышающую три сигмы, очень мала. Иными словами, это означает, что такое событие практически невозможно.

Это называется правилом трех сигм.

Функция нормального распределения F(x) имеет вид

Зная значения параметров m и σ, можно определить теоретические вероятности попадания исследуемой случайной величины в интервалы вариационного ряда (а следовательно, и его теоретические частоты), исходя из предположения, что она подчинена закону нормального распределения. Это позволит изобразить графически кривую нормального распределения и сравнить теоретические и эмпирические частоты вариационного ряда, на основании чего можно будет решить, следует эмпирическое распределение нормальному закону или нет.

Как отмечалось выше, вероятность попадания случайной величины в какой-нибудь интервал равна

P(a < X < b) = F(b) − F(a),

где F(x) – функция распределения, a и b – границы интервала.

Для нормального распределения это можно записать следующим образом:

P(a < X < b) =

Интегралы, входящие в это выражение, нельзя выразить через элементарные функции, но их можно вычислить через специальную функцию

92

среднеквадратическое отклонение и среднее арифметическое, вычислим нормированные нижнюю и верхнюю границы интервалов следующим образом:

В отличие от анализируемого вариационного ряда, нормальное распределение определено на интервале от –∞ до +∞. Для того чтобы области определения эмпирического и нормального распределения сделать одинаковыми, добавим дополнительные интервалы перед первым интервалом с границами от –∞ до нижней границы первого интервала и после последнего интервала с границами от верхней границы последнего интервала до +∞. Эмпирические частоты этих дополнительных интервалов будут равны нулю, так как в исходных данных нет ни одного наблюдения, которое было бы меньше нижней границы первого интервала или больше верхней границы последнего интервала. Значения функции нормированного нормального распределения для нижней Ф(tiн) и верхней Ф(tiв) границ интервалов можно найти с помощью табл. 2 приложения, используя в качестве

94

аргументов значения tiн и tiв соответственно. В этой таблице значения функции распределения даны только для положительных аргументов. Если надо найти функцию распределения для отрицательного аргумента, следует воспользоваться соотношением Ф(–x) = 1 – Ф(x), которое справедливо, так как нормальное распределение является симметричным.

Вероятности для интервалов вариационного ряда легко вычислить как разность значений функции распределения для верхней и нижней границ:

Pi = Φ(tiв) −Φ(tiн) .

Теперь можно найти теоретические частоты ряда: fi = n Pi .

Аналогичным образом можно вычислить теоретические частоты для вариационного ряда высот (табл. 27).

Таблица 27. Вычисление теоретических частот для функции

нормального распределения (высоты)

Последние колонки табл. 26 и 27, представляющие собой разность между эмпирическими и теоретическими частотами, дают нам информацию о близости теоретического (в данном случае

95

нормального) и эмпирического распределений. Однако по данным отклонениям достаточно трудно принять решение о согласованности эмпирического и теоретического распределений. Более наглядную картину можно увидеть, изобразив эти распределения графически

(рис. 14 и 15).

96

Однако такие сравнения распределений будут субъективными. Для того чтобы дать объективную оценку согласованности эмпирических и теоретических распределений, необходимо воспользоваться специальными методиками проверки статистических гипотез.

3.5.Некоторые распределения, используемые в лесном

хозяйстве

Наряду с нормальным, в лесном деле используется еще целый ряд непрерывных распределений случайных величин. Рассмотрим некоторые из них.

Логнормальное распределение – это распределение случайной величины X, логарифм которой подчинен закону нормального распределения.

Область значений 0 ≤ x < +∞.

Функция плотности вероятности (рис. 16):

97

σ = 0,3

σ = 0,6

σ = 1,0

Рис. 16. Плотность распределения вероятностей (m = 1)

Функция распределения вероятностей для различных значений параметра σ и m = 1 приведена на рис. 17.

σ = 1,0

σ = 1,0

σ = 1,0

Рис. 17. Функция распределения вероятностей (m = 1)

98

Оценка параметров: m = exp(μ) ;

∑n (log(xi ) − μ)2

Гамма-распределение

Область значений 0 ≤ x < +∞.

Функция плотности вероятности (рис. 18):

∞

гдеΓ(c) = ∫exp(−u) uc−1 du – гамма-функция.

0

c = 0,5

c = 1

c = 2

Рис. 18. Плотность распределения вероятностей (b = 1)

99

На рис. 19 приведена функция распределения вероятностей для различных значений параметра c и b = 1.

c = 0,5

c = 1

c = 2

Рис. 19. Функция распределения вероятностей (b = 1)

Оценка параметров:

b= S 2 ; x

c= x 2 ,

S

функция с параметрами v, w, задаваемая формулой:

1

Β(v, w) = ∫uv−1 (1 − u)w−1 du.

0

100

Рис. 20. Плотность распределения вероятностей

Вид функций распределения вероятностей для различных значений параметров v и w приведена на рис. 21, 23 и 25.

v = 2, w = 4

v = 4, w = 2

Рис. 21. Функция распределения вероятностей

101