Mashkovsky_Lesnaya_biometria

6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Подавляющее большинство параметров, характеризующих лесные сообщества, в той или иной степени связаны между собой. Нетрудно заметить, например, что у деревьев, имеющих более толстые стволы, как правило, и высоты больше, чем у деревьев с меньшими диаметрами. Для описания зависимостей используются функции, которые ставят в соответствие каждому значению независимой переменной определенное значение зависимой переменной: y = f (x) . Однако связь между диаметрами и высотами

деревьев в древостое не однозначна. Деревья с одинаковыми диаметрами могут иметь разные высоты, и наоборот, деревья, имеющие одинаковые высоты, по диаметрам могут отличаться. Такая нестрогая зависимость называется корреляционной.

Если сопоставить высоты и диаметры деревьев в древостое, то станет ясно, что с увеличением диаметра высоты также увеличиваются. Такую связь называют положительной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами имеет противоположный характер. Например, с увеличением возраста древостоев уменьшается их густота (число стволов на гектаре). Такая связь называется отрицательной.

Для того чтобы оценить тесноту и характер корреляционной зависимости между случайными величинами, существует ряд показателей связи. Рассмотрим некоторые из них.

Наиболее распространенный показатель связи – это коэффициент корреляции. Его можно вычислить по формуле

1.1 В том случае, если вычисления надо выполнять на основе таблицы распределения (корреляционной решетки), следует воспользоваться следующей формулой:

Данный показатель оценивает тесноту связи между случайными величинами в случае линейных зависимостей, однако в природе чаще

152

встречаются нелинейные. В таких случаях коэффициент корреляции не может выразить всю полноту связи. Для нелинейных зависимостей лучше использовать показатель, предложенный Пирсоном, который называется корреляционным отношением. Он вычисляется как квадратный корень из отношения межгрупповой дисперсии зависимой случайной величины к ее общей дисперсии. В данном случае группы формируются в пределах интервалов вариационного ряда независимой переменной. Корреляционное отношение можно вычислить с помощью следующей формулы:

корреляционного отношения можно оценить с помощью выражений:

По соотношению величины коэффициента корреляции и корреляционного отношения можно сделать вывод о характере связи: прямолинейна она или криволинейна. Чем значительнее корреляционное отношение превышает коэффициент корреляции, тем более криволинейной является эта связь. Для оценки степени криволинейности связи вычисляют меру криволинейности как разницу между квадратами корреляционного отношения и коэффициента корреляции:

Вычислим рассмотренные выше показатели связи для пары случайных величин – диаметры и высоты деревьев в древостое. Для того чтобы выполнить вычисления, составим вспомогательную табл. 41. Подставляя значения сумм из данной таблицы в формулы (118) и (119), получим

153

и

или

η = 0,5894 = 0,7677 .

Теперь, пользуясь выражениями (120) и (121), вычислим стандартные ошибки коэффициента корреляции и корреляционного отношения:

Полученные результаты говорят о том, что между диаметрами и высотами деревьев в древостое существует связь, а тот факт, что корреляционное отношение значительно превышает коэффициент корреляции, показывает нам, что эта зависимость скорее криволинейная, чем прямолинейная. Вычислим, пользуясь формулой (122), меру криволинейности для зависимости высот и диаметров:

K = η2 − R2 = 0,76772 −0,65782 = 0,5894 −0,4327 = 0,1567 .

154

Таблица 41. Вспомогательная таблица для вычисления коэффициента корреляции и

корреляционного отношения

155

7.РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Впредыдущем разделе было установлено, что между диаметрами и высотами деревьев существует связь. Наличие связи между случайными величинами, как правило, ставит перед исследователем задачу построения модели этой связи. При этом один из параметров, характеризующий исследуемый объект, рассматривается как зависимая переменная и строится модель его связи с одним или несколькими параметрами, которые берутся в качестве независимых переменных. В данном случае наличие модели, позволяющей оценивать значения высот деревьев в древостое исходя из их диаметра, может оказать большую практическую пользу, так как трудоемкость измерения высоты растущего дерева значительно выше, чем трудоемкость измерения его диаметра. Легче всего построить графическую модель. Для этого достаточно нанести на график все точки, соответствующие исследуемым объектам, откладывая по оси абсцисс независимую переменную, а по оси ординат – зависимую. Затем, сглаживая нанесенные на график точки, следует провести плавную линию таким образом, чтобы она отражала зависимость между переменными, т. е. проходила в области наибольшего сгущения точек, оставляя примерно одинаковое их количество выше и ниже себя. Однако такой метод не лишен недостатков. Во-первых, он весьма субъективен. Разные люди для одних и тех же данных проведут кривые по-разному. Во-вторых, такие модели можно строить лишь в том случае, если анализируется связь зависимой переменной только с одним независимым параметром. Для моделирования зависимостей между различными параметрами чаще используют математические методы.

7.1.Метод наименьших квадратов

Рассмотрим метод наименьших квадратов, используемый в регрессионном анализе для построения моделей связи. Этот метод позволяет вычислить коэффициенты уравнения регрессии заданного вида таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной от теоретических значений была наименьшей.

Найдем оценку коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов для линейного уравнения вида

156

где y – зависимая переменная; a0, a1, …, am – коэффициенты регрессии; x1, x2, …, xm – независимые переменные.

Если вычислить оценки зависимого параметра y для выборки объема n с помощью уравнения регрессии (123), то сумма квадратов отклонений полученных оценок от истинных значений будет равна

где ~yi – оценка параметра y , полученная с помощью уравнения (123)

для i-того объекта в выборке объемом n; yi – значение параметра y для

i-того объекта; x1,i, x2,i, …, xm,i – значения параметров x1, x2, …, xm для i-того объекта.

Метод наименьших квадратов заключается в нахождении значений a0, a1, …, am, при которых сумма квадратов отклонений вычисленных значений параметра y от истинных, задаваемая выражением (124), будет минимальной. Таким образом, если сумму квадратов отклонений рассматривать как функцию от a0, a1, …, am, этот метод сводится к задаче нахождения минимума функции нескольких переменных. Для решения этой задачи следует найти частные производные выражения (124) по a0, a1, …, am и приравнять их нулю. Решение полученной таким образом системы уравнений и даст нам оценку коэффициентов регрессии a0, a1, …, am методом наименьших квадратов.

Найдем частные производные выражения (124) по a0, a1, …, am:

i=1

157

i=1

Приравняв полученные производные (125)–(127) к нулю, имеем следующую систему уравнений:

Разделим обе части каждого из уравнений системы (128) на 2 и представим выражения под знаком суммы в каждом уравнении в виде слагаемых:

158

7.2. Анализ соответствия регрессионной модели экспериментальным данным

Предсказанные с помощью уравнения регрессии значения зависимой переменной ~yi в подавляющем большинстве случаев не

совпадают с экспериментальными значениями yi. Отклонения экспериментальных значений зависимой переменной от теоретических можно представить как разницу между отклонением наблюдаемого значения отклика yi от общего среднего откликов y и

отклонением предсказанного значения отклика ~yi от того же общего среднего y :

i=1

Докажем это. Так как речь идет об анализе регрессионной модели, коэффициенты которой a0, a1, …, am получены в результате решения системы нормальных уравнений (131), то все уравнения этой системы мы можем рассматривать как верные равенства и

160

использовать их в доказательстве. Сначала разделим первое уравнение системы (131) на n:

Используя полученное выражение (137) и уравнение (123), преобразуем левую часть выражения (136) следующим образом:

∑n ((~ − ) ( − ~ ))=

yi y yi yi

i=1

=∑n ((a0 + a1 x1,i +K+ am xm,1 −a0 −a1 x1 +K+ am xm )×

i=1

×(yi −a0 −a1 x1,i −K−am xm,1 )).

Теперь приведем подобные члены в первом сомножителе в правой части равенства:

i=1

= ∑n ((a1 (x1,i − x1 )+K+ am (xm,1 − xm ))×

i=1

×(yi −a0 −a1 x1,i −K− am xm,1 )).

Раскрывая первые скобки в правой части, получаем следующее равенство:

i=1

= ∑n ((a1 (x1,i − x1 ) (yi −a0 −a1 x1,i −K−am xm,1 ))+

i=1

L

+ ∑n ((am (xm,1 − xm ) (yi −a0 −a1 x1,i −K−am xm,1 )).

i=1

Продолжая раскрывать скобки в правой части, получаем следующее выражение:

161