Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский государственный технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Mashkovsky_Lesnaya_biometria

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
1.95 Mб
Скачать
☆

Таблица 48. Вспомогательная таблица для вычисления коэффициентов регрессионного уравнения гиперболы

H

 

D

17,65

 

20,85

 

24,05

27,25

30,45

 

33,65

 

36,85

 

40,05

 

43,25

46,45

 

49,65

 

52,85

 

56,05

 

Сумма

∑fj yj

30,05

 

 

–

 

–

 

–

1

–

 

–

 

–

 

–

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

1

30,1

29,05

 

 

–

 

–

 

–

1

1

 

–

 

–

 

–

 

–

–

 

1

 

–

 

–

 

3

87,2

28,05

 

 

–

 

–

 

1

1

2

 

1

 

3

 

2

 

–

1

 

2

 

1

 

–

 

14

392,7

27,05

 

 

–

 

–

 

–

1

3

 

4

 

5

 

3

 

4

2

 

–

 

–

 

2

 

24

649,2

26,05

 

 

–

 

–

 

1

7

4

 

13

 

10

 

3

 

4

–

 

1

 

–

 

–

 

43

1120,2

25,05

 

 

–

 

–

 

1

7

7

 

12

 

2

 

1

 

1

–

 

–

 

1

 

–

 

32

801,6

24,05

 

 

–

 

–

 

7

7

12

 

1

 

3

 

1

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

31

745,6

23,05

 

 

–

 

1

 

8

12

2

 

2

 

–

 

–

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

25

576,3

22,05

 

 

–

 

3

 

8

1

1

 

–

 

–

 

–

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

13

286,7

21,05

 

 

–

 

1

 

–

1

–

 

–

 

–

 

–

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

2

42,1

20,05

 

 

–

 

4

 

1

–

–

 

–

 

–

 

–

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

5

100,3

19,05

 

 

1

 

2

 

1

–

–

 

–

 

–

 

–

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

4

76,2

18,05

 

 

–

 

–

 

1

–

–

 

–

 

–

 

–

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

1

18,1

17,05

 

 

2

 

–

 

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

–

–

 

–

 

–

 

–

 

2

34,1

fx

 

 

 

3

 

11

 

29

39

32

 

33

 

23

 

10

 

9

3

 

4

 

2

 

2

 

200

4960,4

∑ fi

xi

 

 

0,16 997

0,52 758

1,20 582

1,43 119

1,05 090

0,98 068

0,62 415

0,24 969

0,20 809

0,06 459

0,08 056

0,03 784

0,03 568

6,66 674

–

∑ fi

xi2

 

 

0,009 630

0,050 138

0,034 512

 

0,016 938

 

0,004 811

 

0,001 623

 

0,000 637

 

–

∑(fi, j y j )

xi

 

0,025 303

0,052 521

 

0,029 144

 

0,006 234

0,001 390

 

0,000 716

 

0,233 597

3,011

 

10,962

 

27,669

35,228

26,358

 

25,131

 

16,341

 

6,604

 

5,490

1,769

 

2,240

 

1,005

 

0,965

 

162,773

–

~

 

 

 

19,53

 

21,50

 

22,94

24,05

24,92

 

25,62

 

26,21

 

26,70

 

27,12

27,48

 

27,79

 

28,07

 

28,31

 

–

–

yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

2

12,53

 

23,93

 

102,69

146,00

79,80

 

36,06

 

30,63

 

15,03

 

8,88

0,69

 

4,75

 

9,12

 

3,18

 

473,29

–

∑fi, j (yj −yi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

212

Теперь вычтем первое уравнение системы (203) из второго

a1 0,001 705 = −0,386

(204)

и выразим из полученного уравнения (204) коэффициент a1: a1 = 0,001− 0,386705 = −226,3.

Подставляя вычисленное значение коэффициента a1 в первое уравнение системы (203) и выразив из него коэффициент a0, получим

a0 = 24,802 − a1 0,033 334 = 24,802 + 226,3 0,033 334 = 32,35 .(205)

Таким образом, у нас получилась регрессионная модель зависимости высоты от диаметра деревьев в сосновом древостое

следующего вида:

 

 

 

~

 

226,3

 

 

y

= 32,35 −

x

 

,

(206)

или, используя другие обозначения

 

~

 

226,3

 

 

 

h

= 32,35 −

d

.

 

 

На рис. 30 изображено полученное регрессионное уравнение прямой линии.

213

Рис. 30. Зависимость между высотами и диаметрами деревьев в древостое (гипербола)

Проанализируем полученное уравнение. Для начала рассчитаем таблицу дисперсионного анализа (табл. 49). Число степеней свободы для суммы квадратов, обусловленной регрессией, в случае уравнения гиперболы равно 1, так как, помимо свободного члена, в нем есть только один коэффициент регрессии – a1. Общей скорректированной сумме квадратов соответствует число степеней свободы, на единицу меньшее общего количества наблюдений, т. е. 200 – 1 = 199. На сумму квадратов отклонений относительно регрессии остается 199 – 1 = 198 степеней свободы. Пользуясь полученным регрессионным уравнением

гиперболы (206), определим теоретические высоты ~ и сумму yi

квадратов отклонений эмпирических высот от теоретических (табл. 48). Это значение 473,29 является суммой квадратов отклонений относительно регрессии, или остатком (табл. 49). Общая скорректированная сумма квадратов отклонений – это сумма квадратов отклонений всех высот от средней арифметической высоты. Данная величина была получена ранее для рассматриваемых данных при вычислении показателей вариации (табл. 23). Сумму квадратов

214

отклонений, обусловленную регрессией, получим как разницу между общей скорректированной суммой квадратов отклонений и остатком: 1051,51 – 473,29 = 578,22. Разделив суммы квадратов на соответствующие числа степеней свободы, получим средний квадрат, обусловленный регрессией (578,22), и средний квадрат относительно регрессии (2,39).

Таблица 49. Дисперсионный анализ уравнения гиперболы

Источник вариации

 

Число

степеней

Суммы квадратов

Средние квадраты

 

 

свободы

отклонений SS

MS

Обусловленный

 

 

 

 

 

регрессией

 

 

1

578,22

578,22

 

 

 

 

 

 

Относительно

 

 

198

473,29

2,39

регрессии (остаток)

 

 

 

 

 

 

 

Общий,

 

 

199

1051,51

–

скорректированный

 

 

 

 

 

 

 

Теперь рассчитаем F-статистику Фишера, воспользовавшись

формулой (141):

 

 

 

 

 

F = MSR =

578,22

= 241,93.

 

 

s2

2,39

 

 

 

С помощью полученного значения проверим гипотезу об отсутствии связи между зависимой и независимой переменными. Для этого в табл. 8 приложения найдем квантиль распределения Фишера с 1 и 198 степенями свободы для уровня значимости α = 0,05. Это значение равно F0,05,1,198 = 3,84 . Так как вычисленное значение F-критерия Фишера превышает табличное, мы отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии связи между высотами и диаметрами. Следовательно, результаты расчетов подтверждают наличие гиперболической связи между диаметрами и высотами деревьев в древостое.

В дополнение к проведенному дисперсионному анализу вычислим коэффициент детерминации, пользуясь формулой (142)

 

n

~

2

 

 

 

R2 =

∑

(yi − y)

578,22

 

i=1

 

 

=

= 0,5499;

∑n

 

 

1051,51

 

(yi − y)2

 

i=1

приведенную R2 статистику с помощью выражения (143)

215

R2

=1−(1− R2 )

 

n −1

 

=

 

 

 

 

a

 

n −m −1

 

 

 

 

 

 

 

 

=1−(1−0,5499)

 

200 −1

 

 

= 0,5476

 

200 −1−1

 

 

 

 

и коэффициент корреляции, который является квадратным корнем из коэффициента детерминации:

n

~

2

 

 

∑

(yi − y)

578,22

 

R = i=1

 

=

= 0,7415.

∑n

(yi − y)2

1051,51

 

i=1

 

 

 

 

Полученные значения последних показателей позволяют оценить степень адекватности гиперболической модели связи между высотами и диаметрами экспериментальным данным как высокую.

Следующий этап оценки качества полученного уравнения регрессии будет заключаться в проверке гипотез о равенстве коэффициентов регрессии нулю. Для этого следует вычислить t- статистики Стьюдента для коэффициентов a0 и a1 с помощью формул (152) и (147). Учитывая (46), сумму квадратов отклонений значений xi от их средней арифметической величины из числителя формулы (152) можно выразить следующим образом:

n

 

∑(xi −x)2 = n S2x .

(207)

i=1

 

В свою очередь, дисперсию величины x, учитывая (53) и (18), можно представить в виде выражения

n

S2 = x2 −(x)2 = ∑i =1 xi2

n

 

n

2

 

 

∑xi

 

−

i=1

.

(208)

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая то, что в случае гиперболы x1 = 1/x, формулу (152) можем представить в виде

 

 

 

 

n

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

a0

1 x)2

 

 

 

 

n ∑(1 xi −

 

 

 

t

=

 

 

i=1

 

 

 

 

,

(209)

 

 

 

1/ 2

 

 

a0

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 ∑1 xi2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

216

а с учетом (207) и (208) сумму квадратов отклонений из числителя полученной формулы преобразуем к выражению

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

2

 

 

n

 

 

 

 

∑1 xi2

 

∑1 xi

 

 

∑(1 xi −1 x)2 = n

 

i=1

−

i=1

 

 

 

=

 

n

 

n

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

∑1 xi

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∑1

xi2 −

i=1

 

.

 

 

 

 

 

(210)

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь, подставляя необходимые суммы из вспомогательной табл. 48 в выражение (210), вычислим значение суммы квадратов отклонений:

n

 

2

 

∑(1 xi

−1 x)2 = 0,233 597 −

(6,66 674)

=

i=1

 

200

 

= 0,233597 − 0,222 227 = 0,01137.

(211)

Далее, подставив полученное значение, остаточный средний квадрат s2 из табл. 49 и сумму из табл. 48 в формулу (209), вычислим критерий Стьюдента для коэффициента регрессии a0:

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

a0

n ∑(1 xi −

 

1

x

)2

 

 

 

 

t

 

=

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

a0

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 ∑1 xi2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32,35 (200 0,01137)1/ 2

 

48,7831

= 65,29 .

=

 

 

=

 

(2,39 0,233 597)1/ 2

 

0,747193

Аналогичным образом, с учетом того, что в случае гиперболы x1 = 1/x, преобразуем формулу (147), как показано ниже:

 

 

 

 

n

1 2

 

 

n

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(x1,i − x1)2

 

 

 

∑(1 xi −1 x)2

 

 

t

a1

= a

 

i=1

 

= a

 

i =1

.

(212)

s2

s2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь, подставив в выражение (212) вычисленную ранее сумму квадратов отклонений (211) и остальные значения, определим t- статистику Стьюдента для коэффициента a1:

217

 

 

 

 

n

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(1 xi −1 x)2

 

t

a1

= a

 

i=1

 

s2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

= −226,3 0,01137 = −15,61.2,39

Далее, для проверки гипотезы о равенстве коэффициентов регрессии a0 и a1 нулю, в табл. 5 приложения следует найти значение квантиля t-распределения Стьюдента для уровня значимости α = 0,05 и 198 степеней свободы t0,05;198 = 1,653. Так как абсолютные значения

вычисленных t-статистик

больше

табличных

 

ta

0

=

 

65,29

 

>1,653 и

 

 

 

 

ta

 

=

 

−15,61

 

>1,653 то

нулевую

гипотезу

о

 

равенстве нулю

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициентов регрессии следует отвергнуть. Следовательно, коэффициенты регрессии значимы.

Стандартная ошибка регрессионного уравнения гиперболы может быть вычислена по формуле (140), но в связи с тем, что исходные данные в рассматриваемом примере сгруппированы и вычисления ведутся на основе корреляционной решетки (табл. 14), удобнее воспользоваться следующим вариантом формулы:

 

~

2

s =

∑ fi, j ( y j − yi )

.

n − m −1

 

 

Подставляя в формулу (189) необходимые значения из табл. 48 и учитывая, что в рассматриваемом примере m = 1, получим

 

~

2

 

473,29

 

s =

∑ fi, j ( y j − yi )

 

=

=1,546 .

n − m −1

 

200

−1−1

 

 

 

 

Используя данные дисперсионного анализа уравнения регрессии, приведенные в табл. 49, стандартную ошибку оценки можно определить, вычислив квадратный корень из среднего квадрата относительно регрессии:

s = 2,39 =1,546 .

7.6.Оценка коэффициентов логарифмической кривой

типа y = a0 + a1lg(x)

Рассмотрим процесс построения логарифмической регрессионной модели, имеющей вид

218

y = a0 + a1 lg(x).

(213)

Для того чтобы получить оценку коэффициентов регрессии a0 и a1 методом наименьших квадратов, следует решить систему нормальных уравнений. В случае логарифмической кривой вида (213) эта система будет выглядеть следующим образом:

 

a0 + a1

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

∑lg(xi )= ∑yi ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

(214)

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

a

0

 

lg(x

)+ a

 

(lg(x

))2

=

y

i

lg(x

).

 

 

∑

i

1

 

∑

i

 

 

∑

 

i

 

 

 

 

i=1

 

 

 

i=1

 

 

 

i=1

 

 

 

 

Вычислим коэффициенты регрессии логарифмической кривой по данным замеров диаметров и высот деревьев в древостое. Для этого воспользуемся результатами группировки, приведенными в таблице распределения 14. В связи с тем, что данные, на основе которых будут выполняться вычисления, сгруппированы, запишем систему нормальных уравнений (214) следующим образом:

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

a0 + a1 ∑ fi lg(xi )=

∑ fi yi ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(215)

 

 

 

k f

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

a

0

 

i

lg(x

)+ a

 

f

i

 

(lg(x

))2

=

f

i

y

i

lg(x

).

 

 

∑

i

1

 

∑

 

 

i

 

 

∑

 

 

i

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

Для того чтобы вычислить все необходимые суммы, составим вспомогательную таблицу (табл. 50).

В данной таблице суммы вычисляются сначала по интервалам, а затем складываются. Подставив значения сумм в систему нормальных уравнений (215), получим

a

 

200 + a

297,652 = 4960,4;

(216)

 

0

1

 

a0

297,652 + a1 444,952 = 7413,90.

 

Решим полученную систему уравнений. Для этого разделим каждое из уравнений системы (216) на коэффициенты при параметре b0:

a

 

+ a

1,4883 = 24,802;

(217)

 

0

1

1,4949 = 24,908.

a0

+ a1

 

Теперь вычтем первое уравнение системы (217) из второго

(218)

a1 0,0066 = 0,106

и выразим из полученного уравнения (218) коэффициент a1:

219

= 0,106 =

a1 0,0066 16,06.

Подставляя вычисленное значение коэффициента a1 в первое уравнение системы (217) и выразив из него коэффициент a0, имеем

a0 = 24,802 − a1 1,4883 = 24,802 −16,06 1,4883 = 0,8999 .

Таким образом, у нас получилась регрессионная модель зависимости высоты от диаметра деревьев в сосновом древостое

следующего вида:

16,06 lg(x) ,

(219)

y = 0,8999 +

~

 

 

 

или, используя другие обозначения

 

~

 

lg(x) .

 

h = 0,8999 +16,06

 

220

Таблица 50. Вспомогательная таблица для вычисления коэффициентов регрессионного уравнения логарифмической

кривой

H

 

D

17,65

20,85

24,05

27,25

30,45

33,65

36,85

40,05

43,25

46,45

49,65

52,85

56,05

Сумма

∑ f j y j

30,05

 

 

–

–

–

1

–

–

–

–

–

–

–

–

–

1

30,1

29,05

 

 

–

–

–

1

1

–

–

–

–

–

1

–

–

3

87,2

28,05

 

 

–

–

1

1

2

1

3

2

–

1

2

1

–

14

392,7

27,05

 

 

–

–

–

1

3

4

5

3

4

2

–

–

2

24

649,2

26,05

 

 

–

–

1

7

4

13

10

3

4

–

1

–

–

43

1120,2

25,05

 

 

–

–

1

7

7

12

2

1

1

–

–

1

–

32

801,6

24,05

 

 

–

–

7

7

12

1

3

1

–

–

–

–

–

31

745,6

23,05

 

 

–

1

8

12

2

2

–

–

–

–

–

–

–

25

576,3

22,05

 

 

–

3

8

1

1

–

–

–

–

–

–

–

–

13

286,7

21,05

 

 

–

1

–

1

–

–

–

–

–

–

–

–

–

2

42,1

20,05

 

 

–

4

1

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

5

100,3

19,05

 

 

1

2

1

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

4

76,2

18,05

 

 

–

–

1

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

1

18,1

17,05

 

 

2

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

2

34,1

fx

 

 

3

11

29

39

32

33

23

10

9

3

4

2

2

200

4960,4

∑ fi lg(xi )

 

 

3,740

14,510

40,050

55,980

47,475

50,391

36,028

16,026

14,724

5,001

6,784

3,446

3,497

297,652

–

∑ fi (lg(xi ))2

 

4,663

19,140

55,317

80,351

70,433

76,946

56,436

25,683

24,088

8,337

11,505

5,938

6,115

444,952

–

∑fi, j yj lg(xi )

66,26

301,48

919,06

1377,88

1190,73

1291,29

943,23

423,89

388,46

136,94

188,59

91,49

94,60

7413,90

–

~

 

 

19,9

21,7

23

24

24,8

25,4

25,9

26,4

26,8

27,1

27,4

27,6

27,9

 

–

yi

 

 

 

~

)

2

17

27,5

102,8

148,3

81,5

37,7

32,4

14,4

5,6

0,9

5,4

6,7

1,4

481,6

–

∑fi, j (y j −yi

 

221

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности