2 Необходимое и достаточное условие в поисках экстремума функции одной переменной.

Необходимые и достаточные условия экстремума.

Из дифференциального исчисления известны необходимые и достаточные условия экстремума функции f(х₁). Необходимое условие экстремума: если существует производная f '(х₁) функции f(х₁) в точке х=а и эта функция имеет в точке а максимум или минимум, то f '(а)=0. Достаточное условие экстремума: если существует вторая производная функции f ''(а), то функция f(х₁) имеет в точке а: максимум при f '(а)=0 и f ''(а)<0, минимум при f '(а)=0 и f ''(а)>0.

Пример. 1. Предположим, что оконный блок одностворчатой конструкции имеет форму прямоугольника. Каким должно быть соотношение его сторон, чтобы при заданной площади остекления на изготовление блока пошло бы наименьшее количество материала?

Обозначим через х и у искомые стороны прямоугольника, а через S известную величину его площади. Тогда ху=S (1).

Предположим, что все бруски коробки и все створки имеют одинаковую площадь сечения. В этом случае количество материала, необходимое для изготовления оконного блока, пропорционально его периметруР=2х+2у, который поэтому желательно обратить в минимум. Имеем, следовательно, экстремальную задачу: минимизировать функцию 2х+2у при условии (1).

Результат решения не изменится, если в качестве минимизируемой функции взять полупериметр: W=Р/2=х+у→min.Подставим в это выражение значение у=S/х. Тогда W=х+S/х. Воспользовавшись необходимым условием экстремума, возьмем производную от W по х и приравняем ее к 0:

W'=1-(S/x²)=0. Из двух корней полученного уравнения имеет смысл только положительный х=√S. Тогда у=S/x=S/√S=√S. Докажем, что полученное решение х=у=√S действительно соответствует минимуму целевой функции. Для этого воспользуемся достаточным условием экстремума, найдя вторую производную от функции W: W''=2S/x³.Это выражение положительно при любом х>0, что и служит требуемым доказательством. Таким образом, оптимальным соотношением размеров прямоугольного оконного блока является равенство его сторон, т.е. оптимален оконный блок квадратной формы.

2. Предположим теперь, что оконный блок имеет двустворчатую конструкцию и задано число k, представляющее собой отношение площадей сечений брусков коробки и створок. Эти площади обозначим соответственно через s₁ и s₂. Тогда k= s₂/s₁. Найдем оптимальные размеры х и у рамочной конструкции в этом случае, считая как и прежде, что должно выполняться соотношение (1). Для упрощения расчет проведем приближенно, пренебрегая различием продольных размеров коробки и створок. Минимизируемой величиной будет их суммарный объем. Коробка оконного блока содержит в данном случае внутреннюю стойку. Поэтому объем коробки равен s₁(2х+3у) в предположении, что сечения всех ее брусков одинаковы. Для блока данной конструкции с двойным остеклением объем всех створок равен s₂(4х+8у).

Сумма этих объемов, выступающая в роли целевой функции, равна W= s₁(2х+3у)+s₂(4х+8у)=х(2s₁+4s₂)+у(3s₁+8s₂). С учетом (1) целевая функция примет вид W= х(2s₁+4s₂)+(S/х)(3s₁+8s₂). Приравняв 0 производную этого выражения, получим уравнение (2s₁+4s₂)-(S/х²)(3s₁+8s₂)=0. его положительное решение, т.е. оптимальное значение х=х_опт равно х_опт=

Из (1) получим значение у_опт: у_опт=S/ х_опт=

Поделив х_опт на у_опт, найдем оптимальное соотношение между размерами оконного блока: х_опт /у_опт=(3s₁+8s₂)/(2s₁+4s₂).

С использованием коэффициента k= s₂/s₁ его можно переписать в виде

х_опт /у_опт=(3+8k)/(2+4k). Если, например, k=2, то х_опт /у_опт=1,9.