55.Исследование общего уравнения плоскости

Уравнение , где,и- координаты нормального вектора, называетсяобщим уравнением плоскости.

1. ; из этого следует, что скалярное произведение , то есть вектор_l_ оси , а пл.ll оси

2. ; , то есть вектор_l_ оси , а пл.ll оси .

3. ; , то есть вектор_l_ оси , а пл.ll оси .

4. ; в этом случае уравнение плоскости имеет решение , или точкапринадлежит плоскости.

5. и ; пл.ll координатным осям и, а тогда онаllкоординатной пл..

6. и ; пл.ll координатным осям и, а тогда онаll координатной пл. .

7. и ; пл.ll координатным осям и, а тогда онаll координатной пл. .

8. и ; пл.ll координатной оси и проходит через начало координат, то есть проходит через координатную ось.

9. и ; плll координатной оси и проходит через начало координат, то есть проходит через координатную ось.

10. и ; пл.ll координатной оси и проходит через начало координат, то есть проходит через координатную ось.

56 острый < между пл-тями:

Усл || (при этом если данное выраж. =D₁/D₂, то пл-ти совпадают).

57. Прямая в пр-ве может быть задана

2 точками, точкой и напр. вектором, кот.||прямой, пересеч. 2-х пл-тей. Различные виды ур-ний прямой в пр-ве: 1)Ур-ние прямой, проход через 2 задан. т-ки:2)Канонические ур-ния пр-мой:3)Параметр вид канон. ур.:4)Общие ур. прямой в пр-ве, т.е прямая как пересеч 2-х пл-тей:Угол между 2-мя прямыми:

Пр||,если

Пр

58. Усл || пр. и пл-ти:

Усл.Угол между прям и пл-тью:

59. Пов-тью 2-го порядка

наз пов-ть опред в Декартовой прямоуг. Системе координат ур 2-й степени относительно пер х,у,z, т.е. ур-нием вида a₁x²+a₂y²+a₃z³+a₁₂xy+a₁₃xz+a₂₃yz+b₁x+b₂y+b₃z+c=0. Это ур. опред пов-ти след. типов:1)эллиптическая(эллипсоид, сфера) 2)гиперболическая (однополостный и двуполостный гиперболоиды, канонич. пов-ть) 3)параболическая (эллиптические и гиперболич. параболоиды) 4)цилиндрическая (эллиптический, гиперболический и парабол. Цилиндры, пара пересек или пара параллельных пл-тей).

Метод сечений состоит в том, что пов-ть рассекают пл-тями и по виду линий пересеч. Делают вывод о форме самой пл-ти. Для простоты в кач секущих пл-тей рассм координатные пл-ти и им параллельные.

60. Цилиндрической пов-тью наз

пов-ть, кот получается перемещением прямой L, наз образующей, вдоль некоторой линии k, наз направляющей, при эьом прямая перемещ. параллельно самой себе. Если напр. явл одна из линий 2-го порядка, то пов-ть наз цилиндрич пов-тью 2-го порядка.

X²/a²+y²/b²=1 – ур эллиптического цилиндра -X2/a2+y2/b2=1 – ур гипербол цилиндра x²=2py –ур парабол цилиндра

61. Понятие фнп

Если каждому набору зн-ий n-переменных величин(х1, х2,..хn)из некоторого множ. Х, по некоторому правилу F поставлено в соотв.число z из множ.Z, то говорят, что на множ.Х задана ф-я Z=f(x1,x2..xn), n-переменных со зн-ми во множ.Z. x1,x2..xn-независимые перемен. или аргументы, z-зависим.или ф-ция. Х-обл.определ.Z-обл.зн.ф-ции.D(Z)=х-любое, у-любое. Линии уровня Ф2П Z=f(x;y)-множ.точек пл-ти, в кот.ф-ция принимает одно и то же знач.(линия, ур-ние которой f(x,y)=c).

Пусть ф-ция Z=f(x;y) определена в некотор.быть может проколотой окрестн. т.M0(х0;у0).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число А-предел ф-ции Z=f(x;y) при х→х0, у→у0(или иначе говорят в т.М0), если для любо й эпсилон окрестности А сущ.такая проколот.окрестность т.М0, что для всех отчек М(х;у) из этой проколотой ᵟокрест.т.М0 соответ.знач.ф-ции f(x;y) попадает в указанную эпсилон окрест.А. Рассмотрим послед-ти точ.М1(х1,у1),М2(х2,у2),..Мn(xn,yn) говорят, что эта послед.сходится в точ.М0(х0, у0)если . ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Числ А-предел ф-ции Z=f(x;y) в т.М0, если для любой сходящейся к М0 послед.точек М, М2, Мn,отличных от т.М0, в сооств.поcлед.знач. ф-ций f(M1), f(M2)…f(Mn) сходится к числу А. Определения 1 и 2 эквивалентны

62. Частной производной ф-ции Z=f(x;y), по некоторой переменной назыв.

предел отношения частного приращения ф-ции по этой переменной к приращению этой переменной, если последнее. Из определ.следует, что для нахождения частной производной нужно продиффер.Z по переменной х, считая, что у постоянным. Знач. Частной производной .. в т.(х0,у0) равно tg угла наклона касательной проведенной в т.ḳ(х0,у0;f(x0,y0) к линии пересечения поверхности Z=f(x;y) и плоскости у=у0. (Частные производные высших порядков. Пусть имеется

z=z(x;y)

↙ ↘

↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘

1.2.1 2.1.1

Теорема. Еслі ф-ция z=z(x;y) и ее частные произв. опреределены в нек.точке и непрерывны в самой этой точке, то в этой точке в рез-т диф.ФНП не зависит от порядка диф.по различным переменным

63.Ф-ция Z=f(x;y) назыв.диффер.в т. (х0,у0)

если ее полное приращение в этой точке представляется в виде:, где А, В некоторые числа, зависящие только от т.(х0,у0) и не завис.отНеобходимые услов. Диф.Ф2П. Теорема1. Если Z=f(x;y) диф.в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное утвержд.неверно.Теорема2. Если Z=f(x;y) диф. В некоторй точке, то в этой точке сущ.частные производные... Достаточное условие диф.Ф2П. Если z=f(x;y) в некоторой окрестности т.(х0, у0) имеет частные производные непрер.в самой точке (х0, у0), то z=f(x;y) диф. В т. (х0,у0).