20.Сравнение роста показательной,степенной и логарифмической функций.

при  (логарифмическая функция)= о(),(степенная функция)=о() (), т.е. при  ББ функция (показательная) имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции   и ; ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция 

21. Фор-ла Тейлора является основой приближенных вычислений,т.к. позволяет заменить диф. Фу-цию многочленом любой степени

Фор-ла с остаточным членом в форме Логранжа:

f(x)=Pn(x)+Rn(x)

-многочлен Тейлора

-остаточный член в форме Логранжа

Фор-ла с остаточным членом в форме Пеано:

f(x)=Pn(x)+Rn(x)

-многочлен Тейлора

-остаточный член в форме Пеано

22.Разложение фу-ций по фо-ле Маклорена

23.Определение возрастающей(убывающей)фу-ции

Фу-ция y=f(x)назыв.возрастающей (убывающей)на промежуткеХ,если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее)значение фу-ции,то есть для x₁<x₂,x₁и x₂X справедливо f(x₁)<f(x₂)(f(x₁)>f(x₂))

Условия монотонности диф.ф-ции на интервале:

1.пусть ф-ция f(x) диф.на интервале (а;b),тогда

1)y=f(x) назыв. неубывающей на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≥0 на (a;b)

2)y=f(x)назыв. невозрастающей на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≤0 на (a;b)

2.пусть ф-ция f(x) диф-ема на (a;b),тогда

1)если f’(x)>0 на (a;b),то y=f(x) возрастает на (a;b)

2)если f’(x)<0 на (a;b),то y=f(x) убывает на (a;b)

3.пусть ф-ция y=f(x) диф-ма на (a;b),тогда

1)y=f(x) возрастает на (a;b)тогда когда f’(x)≥0 на (a;b)причем равенство f’(x)=0 возможно только в отдельных точках этого интервала

2)y=f(x) убывает на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≤0 на (a;b)причем равенство f’(x)=0 возможно толоько в отдельных точках этого интервала

Достаточное условие выпуклости графика фц-ции

Если сущ.вторая производная f”(x) и она <0 при всех Х на (a;b),то график ф-ции f(x) является выпуклым вверх на (a;b)

Если сущ.вторая производная и она >0 при всех Х на (a;b),то график ф-ции f(x) является выпуклым вниз на (a;b)

Точки перегиба

Точка М(х₀;f(x₀))в уторой меняется направление выпуклости гнрафика ф-ции называется точкой перегиба

Достаточное условие перегиба:если f”(x) в некоторой точке х₀ обращается в 0 или не существует и при переходе через эту точку меняет знак,то точка М(х₀;f(x₀))является точкой перегиба

24.Отыскание точек локального экстремума фу-ции

Точка х₀ назыв. точкой лок. max f(x) если для всех xx₀ из некоторой окрестности т. х₀ f(x₀)>f(x)

Точка х₀ назыв. точкой лок. min f(x) если для всех xx₀ из некоторой окрестности т. х₀f(x₀)<f(x)

Необходимое условие экстремума: если х₀ является точкой локального экстремума точки f(x)

То производная f’(x) в этой точке обращается в 0 или не существует(точки в которых производная обращается в 0 или не существует назыв. критическими точками или стационарными или точками возможного экстремума, но это не обяз. точки экстремума)

1 достаточный признак сущ. экстремума : пусть х₀ –критическая точка непрерывной фу-ции f(x), тогда если f’(x) при переходе через точку х₀ слева направо меняет знак с «-»на «+» то х₀-точка лок. min;Если меняет знак с «+» на «-» то х₀-точко лок. max

2 достаточный признак сущ.экстремума:пусть х₀-критич.точка f(x) и ф-ция дважды диф-емы в окрестности х₀,тогда, если f”(x₀)<0,то х₀-т.лок.max;если f”(x₀)>0,тох₀-т.лок. min;если f”(x₀)=0,то х₀-может являться точкой лок.экстремума,а можети не являться точкой лок.экстремума

3 достаточный признак сущ.экстремума:пусть х₀-критич.точка f(x) и ф-ция f(x) n-раз диф-ма в окрестности т.х₀ причем f’(x₀)=f”(x₀)=…=f^n-1(x₀)=0 f⁽ⁿ⁾(x₀)0 тогда

1)если n-четное число и f⁽ⁿ⁾(x₀)<0,то х₀-точка лок.max

2)если n-четное и f⁽ⁿ⁾(x₀)>0,то х₀-точка лок.min

3)если n-нечетное,то х₀-не является точкой лок.экстремума

Алгоритм нахождения точек локального экстремума