- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Векторное произведение векторов в координатной форме.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы =
= (x1,y1,z1), = (x2,у2,z2). Тогда
∙
17
Последнее равенство можно записать так:
Итак,
Тогда
Смешанное произведение векторов в координатной форме.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы
= (х1,у1,z1), = (x2,y2,z2) и = (x3,y3,z3). Тогда
Отсюда следует, что векторы ,икомпланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
=0
18
(13)
имеет решение.
Уравнения (13) называются уравнениями центра линии второго порядка. Если х0, у0 — решение (13), то точка 0'(х0,у0) — центр линии. Если линия имеет центр, то в результате параллельного переноса начала системы координат в точку 0'(х0,у0) уравнение линии примет вид
(14)
Поэтому, если точка М(х',у') удовлетворяет уравнению (14), то и точка М'(—х',—у') также удовлетворяет уравнению (14). Таким образом, центр линии является ее центром симметрии.
Заметим, что если кривая второго порядка имеет центр, то, в силу инвариантности I3, получаем
.
Значит,
(15)
Как было показано ранее, можно повернуть систему координат ОXY таким образом, чтобы уравнение (3) не содержало
55
(9)
(10)
(11)
Следовательно, из (8) следует, что
(12)
Величины А, В, С, углы α, β и I2 не зависят от угла φ. Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (12) не изменяется. С другой стороны, при φ=О, I'3=I3. Это и доказывает инвариантность I3.
Теорема доказана.
Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариантов I1, I2 и I3.
Будем говорить, что
при I2>О, уравнение (1) задает линию эллиптического типа;
при I2<О, уравнение (1) задает линии гиперболического типа;
при I2=О, уравнение (1) задает линии параболического типа.
При параллельном переносе можно попытаться добиться того,
чтобы в уравнении (3) отсутствовали члены 2а'13х' и 2а'23y'. Из формул (2) следует, что это возможно только в том случае, если система
54
Полярные координаты.
Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами: r -длина отрезка ОМ и φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки.
Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r-полярный радиус, φ-полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: . Таким образом, получаем систему координат, которая называетсяполярной системой координат.
С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями:
х = r cosφ, у = r sinφ.
Так как х2 + у2 = r2, то