- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Пучок прямых
Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.
Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l1 и l2 , проходящие через центр пучка.
Пусть в аффинной системе координат прямые l1 и l2 заданы уравнениями
l1: A1x + B1y + C1 = 0,
l2: A2x + B2y + C2 = 0.
Уравнение:
A1x + B1y + С + λ (A2х + В2y + C) = 0
- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2
24
Замечание. 1 При доказательстве разложения по элементам i-го столбца, предварительно протранспонируем определитель.
Общая теория кривых второго порядка
Удобно будет рассматривать уравнение кривой второго порядка
в следующем виде:
(1)
Сформулируем признаки, позволяющие узнать тип линии по ее уравнению (1).
Введем некоторые определения.
Группу слагаемых a11x2+2а21xy+а22у2 назовем группой старших членов. Группу слагаемых 2а13х+2а23у+а33 назовем линейной частью уравнения (1).
Коэффициенты а11, a12, а22 назовем коэффициентами группы старших членов или старшими коэффициентами, а коэффициенты а13 , а23 ,а33 — коэффициентами линейной части или линейными коэффициентами . Отметим, что коэффициент а33 также называется свободным членом уравнения (1).
Осуществим параллельный перенос системы координат ОХY вточку 0'(х0,у0), Тогда, как известно, х=х'+х0, у=у'+у0 и в новой системе координат уравнение (1) примет вид:
Обозначим коэффициенты при степенях неизвестных в уравнении (*) следующим образом:
49
Пусть дан определитель
Тогда минором элемента aij определителя Δ называется определитель Mij полученный из данного, вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.
Имеет место следующее равенство:
Δ=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+(-1)i+3ai3Mi3 (*)
(разложение по элементам i-й строки.) Доказательство. Если i=2, то поменяем местами 2-ю и 1-ю строки. Получаем определитель Δ1,равный —Δ (свойство 2).
Если i=3, то поменяем вначале 3-ю строку со 2-й, а затем
полученную вторую с первой. Получим определитель Δ2, равный
Δ(свойство 2). Итак,
Аналогично,
.
48
В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть заданы прямые l1 и l2. своими общими уравненими; = (А1,B1), = (А2,В2) – нормальные векторы этих прямых; k1 = tgα1, k2 = tgα2 – угловые коэффициенты; = (m1,n1), (m2,n2) – направляющие векторы. Тогда, прямые l1 и l2 параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:
либо , либоk1=k2, либо .
Пусть теперь прямыеl1 и l2 перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А1А2 + В1В2 = 0.
Если прямые l1 и l2 заданы соответственно уравнениями
l1: у=k1x + b1,
l2: у=k2x + b2,
то tgα2 = tg(90º+α) =.
Отсюда следует, что
Наконец, если инаправляющие векторы прямых, то, то есть
m1m2 + n1n2 = 0
Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.
25