- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Скалярное произведение векторов в координатной форме.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:
= (х1,у1,z1), = (х2,у2,z2). Тогда
∙= x1x2+y1y2+z1z2.
В частности
Если даны точки А(х1,у1,z1) и В(х2,у2,z2), то, как известно, =(x2-х1,y2-у1,z2-z1) и значит.
-формула расстояния между двумя точками.
Так как , то
15
и тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
х1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.
Определители второго и третьего порядков
Определение. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:
называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента аij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.
Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:
Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:
16
то а11а22>О, т.е. коэффициенты а11 и а22 оба отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком I1=a11+а22. Будем в дальнейшем считать, что I1>О, т.е. а11>0 и а22>0 (если это не так, то умножим обе части (18) на — 1). Заметим, что при такой операции (нормировании) знак I2 не меняется.
Теорема 1.3. Пусть уравнение (1) КВП — эллиптического типа (I2>О) нормировано так, что I1>О. Тогда при I3<0 — это уравнение эллипса. При I3=0 — единственная точка (уравнение вырожденного эллипса). При I3>0 — пустое множество точек (уравнение мнимого эллипса).
Доказательство. Так для уравнения (18), I1=а"11+а"22,
I2=а"11а22, то из условия I1>О, I2>0 следует, что а"11>О, а"22>0. Поэтому уравнение (18) можно записать так:
, при I3<0; (19)
, при I3=0; (20)
, при I3>0; (21)
Теорема доказана.
Теорема 1.4. Пусть уравнение (1) - КВП гиперболического типа (I2<0). Тогда при I30 — это уравнение гиперболы, а при I3=0 - пара пересекающихся прямых.
Доказательство. Так как для уравнения (18):
57
члена 2а'12х'у'. Ясно, что в этом случае а'12=0 и из формул (4) следует, что
Следовательно, при а120
(16)
Именно при таком выборе угла поворота, уравнение (3) принимает вид:
(17)
Вывод: путем параллельного переноса приводим уравнение кривой к виду (14)
путем поворота, если а12О, приводим уравнение (14) к виду:
(17)
в системе координат О"Х"У".
Линии эллиптического и гиперболического типов
Если I2>О, то уравнение (17), согласно (15), можно записать так:
(18)
Так как
56
Для матрицы А третьего порядка, где
ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:
Δ = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 – а13а22а31 – а11а23а32 – а12а21а33.
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком "+", а какие со знаком "–", полезно использовать следующее правило треугольников:
Легко проверить, что
=
- разложение определителя по элементам первой строки.