- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Параболоид
Эллиптический параболоид.
z=ах2+by2 (а,b>0).
Гиперболический параболоид.
z=-ax2+by2 (a,b>0)
69
Гиперболоид.
Однополостный гиперболоид:
Каноническое уравнение двухполоcного гиперболоида имеет вид:
68
Линейные операции над векторами.
Определение. Суммой + векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают. Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать, пользуясь правилом параллелограмма.
Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор.
Определение. Разностью векторов и называется такой вектор =-, что выполняется равенство +=.
Легко показать, что для любого вектора , существует такой единственный вектор , называемый противоположным вектору
что +=. Вектор, противоположный вектору , будем обозначать –.
Определение. Произведением вектора на число λ (λ0) называется вектор =λ, удовлетворяющий следующим условиям:
1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и противоположно направлены, если λ<0;
2) ||=|λ|||.
5
По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0=.
Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:
1) сложение векторов коммутативно:
+=+, ,;
2) сложение векторов ассоциативно:
(+)+=+(+), ,,;
3) +=, ;
4) +(-)=0, ;
5) умножение вектора на число ассоциативно:
α (β ) = (α β), α, β R;
6) 1=, ;
7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к
сложению чисел:
(α+β)=α+β, , α, β R;
8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:
α(+)=α+α, ,, α R;
Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1) – 8), называется линейным, или векторным пространством, и обозначается ().
Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало λ, удовлетворяющее условию:
= λ.
Проекции.
Назовем осьюпрямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.
6
Поверхности вращения
Определение. Поверхность называется поверхностью вращения, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении.
Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия l уравнением вида
F(y,z)=0
Тогда уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой l вокруг оси OZ имеет вид:
Эллипсоид
67
Если вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:
То уравнение конической поверхности имеет вид:
– уравнение конической поверхности
66
Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А1. Тогда точка А1 называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если αl, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.
Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А1 и В1 точек А и В на ось l относительно плоскости α.
Тогда вектор называется проекцией вектора на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на осьl относительно плоскости α называется число, равное:
а) ||, если направление вектора совпадает с направлением оси l;
б) - ||, если направление противоположно направлено оси l.
Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на осьl будем обозначать Прl, а для ортогональной проекции использовать обозначение Прl.
Пусть α - некоторая плоскость иl– прямая, такая, чтоlне параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямуюl1||lи обозначим точку пересечения прямойl1с плоскостью α через А1. Точка А1называетсяпроекцией точки А на плоскость α относительно прямой l.
7
Если прямая lα, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.
Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.
Из определения следует, что 0απ. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать соответственно: (), (), ().
Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:
1) ;
2)
3) .