Параболоид
Эллиптический параболоид.
z=ах2+by2 (а,b>0).
Гиперболический параболоид.
z=-ax2+by2 (a,b>0)
69
Гиперболоид.
Однополостный гиперболоид:
Каноническое
уравнение двухполоcного
гиперболоида
имеет вид:
68
Линейные операции над векторами.
Определение.
Суммой
+
векторов
и
называется вектор, проведенный из начала
к концу
,
если конец
и начало
совпадают. Приведенное определение
сложения векторов называется правилом
треугольника.
Векторы
и
можно складывать, пользуясь правилом
параллелограмма.
Если
имеется n
векторов
,
то их сумма определяется как вектор
.
Определение.
Разностью
векторов
и
называется такой вектор
=
-
,
что выполняется равенство
+
=
.
Легко показать, что для любого вектора , существует такой единственный вектор , называемый противоположным вектору
что
+
=
.
Вектор, противоположный вектору
,
будем обозначать –
.
Определение.
Произведением
вектора
на число λ (λ
0)
называется вектор
=λ
,
удовлетворяющий следующим условиям:
1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и противоположно направлены, если λ<0;
2) | |=|λ|| |.
5
По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0 = .
Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:
1) сложение векторов коммутативно:
+ = + , , ;
2) сложение векторов ассоциативно:
( + )+ = +( + ), , , ;
3) + = , ;
4) +(- )=0, ;
5) умножение вектора на число ассоциативно:
α (β ) = (α β) , α, β R;
6) 1 = , ;
7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к
сложению чисел:
(α+β) =α +β , , α, β R;
8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:
α( + )=α +α , , , α R;
Множество
всех векторов пространства (плоскости),
удовлетворяющих свойствам 1) – 8),
называется линейным,
или векторным
пространством,
и обозначается
(
).
Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало λ, удовлетворяющее условию:
= λ .
Проекции.
Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.
6
Поверхности вращения
Определение. Поверхность называется поверхностью вращения, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении.
Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия l уравнением вида
F(y,z)=0
Тогда уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой l вокруг оси OZ имеет вид:
