Нормальное уравнение плоскости

Пусть задана плоскость α и пусть - единичный, вектор нормали к плоскости α проведенный из начала координат. Обозначим р - расстояние от начала координат до плоскости α.

Для любой точки М(х,у,z) α

=p

Так как = (х,у,z),

= (cosα, cosβ, cosγ), где α, β, γ – углы, образованные вектором соответственно с осями OX, OY и 0Z, то отсюда получаем

xcosα + ycosβ + zсозγ – p = 0

– нормальное равнение плоскости.

Р асстояние от точки до плоскости

Обозначим через d расстояние от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости α, заданной общим уравнением вида ().

28

Свойства определителей второго и третьего порядков

Будем рассматривать в дальнейшем только определители 3-го порядка. Для определителей 2-го порядка все свойства аналогичны.

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (операция транспонирования), т.е.

.

Действительно,

Δ=а₁b₂с₃+b₁с₂а₃+с₁а₂b₃—с₁b₂а₃—а₁с₂b₃—b₁a₂c₃. (*)

Δ'=а₁b₂с₃+c₁a₂b₃+b₁с₂а₃+с₁b₂а₃+а₁с₂b₃+b₁а₂с₃ . (**)

Сравнивая равенства (*) и (**), получаем, что Δ=Δ'.

2. При перестановке 2-х строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство проводится проверкой.

3. Если определитель имеет 2 одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, определитель Δ, очевидно не изменится. С другой стороны, по свойству 2 он изменит знак на противоположный. Следовательно, Δ= -Δ, т.е. Δ=О.

4. При умножении любой строки (столбца) определителя Δ на некоторое число λ, определитель умножается на это число, то есть, например,

.

45

Применим формулы параллельного переноса

, ,

Тогда уравнение примет вид

где . Если же с ≠ 0 и е ≠ 0, то аналогичным образом исключаем в полученном уравнении член с у.

Итак можно считать, что КВП представляется одним из трёх видов уравнений:

ах² + by² + c = 0;

ах² + by + c = 0;

аy² + bх + c = 0.

Рассмотрим случаи:

1. с ≠ 0. Тогда

Если – (а/с) › 0 и – (b/c) › 0, то это уравнение эллипса.

Если – (a/c) ‹ 0 b – (b/c) ‹ 0, то получаем пустое множество точек на плоскости.

Если – (a/c) › 0 и – (b/c) ‹ 0, то уравнение гиперболы.

Аналогичным образом получам гиперболу вытянутую вдоль оси ОУ.

2. с = 0. Тогда ах² + by² = 0;

Если a и b – разных знаков, то всегда можно считать, что а › 0

b ‹ 0.

Уравнение будет задавать две пересекающиеся прямые ax – by = 0

Если же a и b одного знака, то уравнению удовлетворяет единственная точка О (0,0).

Вывод: любая кривая второго порядка является эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых, парой параллельных прямых, прямой, точкой или пустым множеством.

Укажем еще один способ классификации КВП.

44

Тогда