- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Расстояние от точки до плоскости
Обозначим через d расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости α, заданной общим уравнением вида ().
28
Свойства определителей второго и третьего порядков
Будем рассматривать в дальнейшем только определители 3-го порядка. Для определителей 2-го порядка все свойства аналогичны.
1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (операция транспонирования), т.е.
.
Действительно,
Δ=а1b2с3+b1с2а3+с1а2b3—с1b2а3—а1с2b3—b1a2c3. (*)
Δ'=а1b2с3+c1a2b3+b1с2а3+с1b2а3+а1с2b3+b1а2с3 . (**)
Сравнивая равенства (*) и (**), получаем, что Δ=Δ'.
2. При перестановке 2-х строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.
Доказательство проводится проверкой.
3. Если определитель имеет 2 одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, определитель Δ, очевидно не изменится. С другой стороны, по свойству 2 он изменит знак на противоположный. Следовательно, Δ= -Δ, т.е. Δ=О.
4. При умножении любой строки (столбца) определителя Δ на некоторое число λ, определитель умножается на это число, то есть, например,
.
45
Применим формулы параллельного переноса
, ,
Тогда уравнение примет вид
где . Если же с ≠ 0 и е ≠ 0, то аналогичным образом исключаем в полученном уравнении член с у.
Итак можно считать, что КВП представляется одним из трёх видов уравнений:
ах² + by² + c = 0;
ах² + by + c = 0;
аy² + bх + c = 0.
Рассмотрим случаи:
с ≠ 0. Тогда
Если – (а/с) › 0 и – (b/c) › 0, то это уравнение эллипса.
Если – (a/c) ‹ 0 b – (b/c) ‹ 0, то получаем пустое множество точек на плоскости.
Если – (a/c) › 0 и – (b/c) ‹ 0, то уравнение гиперболы.
Аналогичным образом получам гиперболу вытянутую вдоль оси ОУ.
с = 0. Тогда ах² + by² = 0;
Если a и b – разных знаков, то всегда можно считать, что а › 0
b ‹ 0.
Уравнение будет задавать две пересекающиеся прямые ax – by = 0
Если же a и b одного знака, то уравнению удовлетворяет единственная точка О (0,0).
Вывод: любая кривая второго порядка является эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых, парой параллельных прямых, прямой, точкой или пустым множеством.
Укажем еще один способ классификации КВП.
44
Тогда
Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть плоскости α1 и α2 заданы уравнениями:
α1: А1х + B1y + C1z + D1 = 0,
α2: А2х + В2y + С2z + D2 = 0.
Теорема. Тогда и только тогда плоскости α1 и α2:
1) совпадают, когда А1=λA2, B1=λB2, C1=λC2, D1=λD2;
2) параллельны и различны, когда
A1=λA2, В1=λВ2, С1=λС2, D1λD2;
3)пересекаются, когда коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2
Пучок и связка плоскостей
Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.
Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α1 и α2 .
Тогда уравнение пучка имеет вид
А1х + B1y + C1z + D1 + λ(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, где λ R.
Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S0 (x0,y0,z0) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S0 имеет вид
А(х-x0) + В(у-y0) + С(z-z0) = 0,
где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.
29