![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пусть
прямые l1
и l2,
заданные уравнениями вида (2), являются
скрещивающимися. Тогда расстоянием d
между ними называется длина перпендикуляра,
проведенного из одно прямой на другую.
Заметим, что искомое расстояние равно
отрезку перпендикуляра, закаченного
между плоскостями α1
и α2,
где плоскости α1
и α2
одновременно параллельны векторам
и
,
и проходят соответственно через прямыеl1
и l2
Тогда
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями
,
α:
Ax
+
By
+
Cz
+
D = 0.
34
.
(3)
По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:
1. Координатные оси являются осми симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.
2.
Если у = 0, то x
=
а.
Если х = 0, то уравнение (3)
решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(—а,0), А2(а,0), называемых вершинами гиперболы.
3. Так как
|х|
а.
Поэтому гипербола расположена вне
полосы, ограниченной прямыми x=
а.
4.
Если x
возрастает от а
до +,
то из (1.12) следует, что у возрастает от
0 до +
в первой координатной четверти.
5.
- наклонные асимптоты гиперболы.
По полученным свойствам строим гиперболу (рис.7). Отрезок А1А2 и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА1 и его длина а — действительной полуосью. Отрезок В1В2 и его длина 2b — мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ1 и его длина b— мнимая полуось. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.
x2—у2=а2
39
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число
Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса
совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.
.
Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:
r1=а+εх, r2=а—εх
Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а, а>0, меньшая чем расстояние между фокусами.
Выберем
декартову прямо-угольную систему
координат ОХY
так, как показано на рисунке.
Тогда F1F2=2с,
F1(—с,0),
F2(c,0).
Для
произвольной точки М(х,у), принадлежащей
гиперболе, имеем МF1—MF2=2а,
а<с.
Обозначим с2-а2=b2, тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:
38
1)
прямаяl
лежит в плоскости α, если
Am + Bn + Ср = 0,
Аx0 + Ву0 + Cz0 + D = 0.
2) прямая l параллельна плоскости α, если
Am + Bn + Ср = О,
Аx0 + Ву0 + Cz0 + D ≠ 0.
3) прямая l пересекает плоскость α если
Am
+
Вn
+
Ср
0.
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l1 на плоскость α
Тогда
и
.
35