- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Координаты на прямой.
Прямая l, на которой задана точка 0, называемая началом координат, задан единичный вектор , называемыйортом, называется координатной осью.
Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-
12
– пара параллельных прямых: и
Если же а"33/I1>0, то уравнению (31) не удовлетворяют
координаты ни одной точки плоскости, т.е. геометрический образ является мнимым. Поэтому и говорят, что в атом случае получаем пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.
VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
Определение. Поверхностью второго порядка (ПВП) называется множество всех точек пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:
(1)
Теорема. Для любой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат OXYZ, в которой уравнение(1) имеет один из следующих 17 видов:
1) эллипсоид:
2) мнимый эллипсоид:
+
3) однополостный гиперболоид:
61
Доказательство. Итак, для уравнения (1)
(28)
Так как I1О, то при I30 следует, что а"13О, а при I3=0 получаем, что а"13=О. Тогда уравнение (27) можно записать так
при I3О,(29)
при I3=О, (30)
Очевидно, что уравнение (29) — уравнение параболы. Чтобы
оно стало каноническим, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат 0"Х"У":
y"=Y;
и обозначить – а"13/I1=р. Тогда в системе координат ОХУ получаем уравнение
У2 = 2рХ.
Уравнение (30) можно записать так:
(31)
Тогда, если a"33/I1<0, то из (31) получаем
60
линеарен вектору и, значит,. Векторназываетсярадиус-вектором точки М, а число х называется координатой точки М на координатной оси l (обозначается: М(х)) или координатой радиус-вектора (обозначается:=(х)).
Так как - единичный вектор, то каждой точке М на осиl поставлено в соответствие вполне определенное действительное число – ее координата.
Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, координата которой равна х. Таким образом, положение любой точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.
Координаты на плоскости.
Пусть на плоскости αзаданы две координатные оси ОХ и OY с
неколлинеарными ортами иcоответственно. Тогда тройка (О,,) называетсяафинным репером, или афинной системой координат плоскости α.
Точка 0 называется началом кооpдинат, векторы и-базисными векторами. Если М – произвольная точка на плоскости α, то
Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0,,), причем х называетсяабсциссой, а у – ординатой
(записывается: М(х,у)). Вектор называетсярадиус-вектором точки М, числа х, у - координатами вектора ОМ (записывается:ОМ=(х,у)).
Афинная система координат (0,,) обозначается также OXY. Ось ОХ называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат.
Теорема. Пусть =, где
.
Тогда
Следствие 1. Пусть даны точки А (х1,y1) и В (х2,у2).
13
Тогда
Следствие 2. Два вектора = (х1,у1) и = (х2,у1) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, то есть
.
Афинная система координат (0,,), в которой ортыивзаимно ортогональны, называетсядекартовой, или прямоугольной системой координат. В этом случае орты иобозначаются соответственно и .