- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Угол между двумя прямыми
Под углом φ между двумя прямыми l1 и l2 будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 φ
Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что
cosφ=
Пусть теперь прямые l1 и l2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k1 в k2 соответственно. Тогда
Наконец, если и- направляющие вектора прямых, то
Расстояние от точки до прямой
Пусть d - расстояние от точки М0(x0,у0) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + С=0.
Тогда
.
26
=
7. (Основное). Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число, то величина определителя не изменится.
Итак, например,
Доказательство следует из последовательного свойств 6 и 5.
8. (О разложении определителя по элементам i-й строки или j-го столбца).
47
Доказательство следует из того факта, что вычисляя определитель по правилу треугольника, получим, что каждое слагаемое содержит множитель . Вынося этот множитель за скобку, получим в скобке определитель Δ.
5. Если элементы 2-х строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Пусть
Тогда по свойству 4,
т.е. по свойству 3 Δ1 = 0.
6. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму 2-х слагаемых, то данный определитель равен сумме соответствующих определителей.
Пусть
Тогда
46
III плоскость Общее уравнение плоскости
Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М0(х0,у0,z0). Возьмем произвольную точку М(х,у,z)α и обозначим(А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.
Очевидно, что , то есть (х-х0) + В(у-у0) + C(z-z0) = 0
Раскроем скобки и обозначим D = -Аx0 - Ву0 - Cz0. Получим
Ax + By + Сz + D = 0 ()
- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.
Теорема 3.1 Линейное уравнение () (A2+B2+C2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.
Пусть
1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.
2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ
3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.
Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.
Тогда
- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
27
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Пусть точки А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3) принадлежат плоскости α.
Тогда
- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Нормальное уравнение плоскости
Пусть задана плоскость α и пусть - единичный, вектор нормали к плоскости α проведенный из начала координат. Обозначим р - расстояние от начала координат до плоскости α.
Для любой точки М(х,у,z)α
=p
Так как = (х,у,z),
= (cosα, cosβ, cosγ), где α, β, γ – углы, образованные вектором соответственно с осями OX, OY и 0Z, то отсюда получаем
xcosα + ycosβ + zсозγ – p = 0
– нормальное равнение плоскости.