- •Основное содержание лекционного курса
- •«Геометрия и алгебра»
- •Для специальности «Прикладная математика»
- •Аналитическая геометрия.
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •Параболоид
- •Гиперболоид.
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Скалярное произведение векторов.
- •Конические поверхности
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Цилиндрические поверхности
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Пучок прямых
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Пучок и связка плоскостей
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые
- •Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Гипербола
- •Угол между прямой и плоскостью
- •V кривые второго порядка Парабола
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пусть прямые l1 и l2, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α1 и α2, где плоскости α1 и α2 одновременно параллельны векторам и, и проходят соответственно через прямыеl1 и l2
Тогда
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями
, α: Ax + By + Cz + D = 0.
34
. (3)
По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:
1. Координатные оси являются осми симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.
2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (3)
решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(—а,0), А2(а,0), называемых вершинами гиперболы.
3. Так как
|х|а. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x=а.
4. Если x возрастает от а до +, то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.
5.
- наклонные асимптоты гиперболы.
По полученным свойствам строим гиперболу (рис.7). Отрезок А1А2 и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА1 и его длина а — действительной полуосью. Отрезок В1В2 и его длина 2b — мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ1 и его длина b— мнимая полуось. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.
x2—у2=а2
39
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число
Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса
совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.
.
Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:
r1=а+εх, r2=а—εх
Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а, а>0, меньшая чем расстояние между фокусами.
Выберем декартову прямо-угольную систему координат ОХY так, как показано на рисунке. Тогда F1F2=2с, F1(—с,0), F2(c,0).
Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей гиперболе, имеем МF1—MF2=2а, а<с.
Обозначим с2-а2=b2, тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:
38
1) прямаяl лежит в плоскости α, если
Am + Bn + Ср = 0,
Аx0 + Ву0 + Cz0 + D = 0.
2) прямая l параллельна плоскости α, если
Am + Bn + Ср = О,
Аx0 + Ву0 + Cz0 + D ≠ 0.
3) прямая l пересекает плоскость α если
Am + Вn + Ср 0.
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l1 на плоскость α
Тогда и
.
35