Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы каноническими уравнениями

Обозначим == (х₂-x₁,y₂-у₁,z₂-z₁), =(m₁,n₁,р),

= (m₂,n₂,р₂).

1) если прямые совпадают, то все три вектора ,,коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а векторим не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , ,не коллинеарны, и все три вектора компланарны

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы ,,некомпланарны.

32

уже отмечалось, эксцентриситет окружности равен нулю.

Фокальный параметр эллипса и гиперболы

Пусть эллипс и гипербола заданы соответственно своими каноническими уравнениями. Проведем через один из фокусов этих кривых прямую перпендикулярную оси ОХ и обозначим точки ее пересечения с кривой через Р и Р'.

Обозначим длину отрезка РР' через 2р. Тогда величина р(р>0) называется фокальным параметром эллипса (гиперболы) и равна: .

Если обозначить через d – расстояние между фокусом и деректрисой, то .

Так как для параболы ε = 1 и d = р, то делаем следующий Вывод: для эллипса (кроме окружности), гиперболы, парабол фокальный параметр р равен:

p = εd,

где c – эксцентриситет, d – расстояние от фокуса до соответствующей директрисы.

Заметим, что для окружности фокальный параметр равен ее радиусу.

41

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина

.

Так как для гиперболы с > а, и следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.

Директрисы эллипса и гиперболы.

Определение. Прямые х=(а/ε), где ε — эксцентриситет эллипса (гиперболы) называются директрисами эллипса (гиперболы).

Теорема. Отношение расстояния от любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).

Доказательство, например для эллипса, следует из того, что

MF₁=а+εх, МF₂=а—εх.

Заметим, что, так как все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса, то отношение этих расстояний равно 1. Пo этому можно говорить об эксцентриситете параболы и считать его равным 1. Как

40

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l₁ и l₂ равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

Следовательно,

- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо (^,) либо (-^,). Следовательно,

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояниеd от точки M₁(x₁,у₁,z₁) до данной прямой , проходящей через точкуM₀(х₀,у₀,z₀) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так.

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые

Пусть плоскость α проходят через прямые l₁ и l₂, заданные соответственно уравнениями:

33

, (2)

Обозначим М₂(x₂,y₂,z₂), =(m₁,n₁,р₁), =(m₂,n₂,p₂) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α

Тогда

- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.