Расстояние от точки до плоскости

Обозначим через d расстояние от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости α, заданной общим уравнением вида ().

28

Свойства определителей второго и третьего порядков

Будем рассматривать в дальнейшем только определители 3-го порядка. Для определителей 2-го порядка все свойства аналогичны.

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (операция транспонирования), т.е.

.

Действительно,

Δ=а₁b₂с₃+b₁с₂а₃+с₁а₂b₃—с₁b₂а₃—а₁с₂b₃—b₁a₂c₃. (*)

Δ'=а₁b₂с₃+c₁a₂b₃+b₁с₂а₃+с₁b₂а₃+а₁с₂b₃+b₁а₂с₃ . (**)

Сравнивая равенства (*) и (**), получаем, что Δ=Δ'.

2. При перестановке 2-х строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство проводится проверкой.

3. Если определитель имеет 2 одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, определитель Δ, очевидно не изменится. С другой стороны, по свойству 2 он изменит знак на противоположный. Следовательно, Δ= -Δ, т.е. Δ=О.

4. При умножении любой строки (столбца) определителя Δ на некоторое число λ, определитель умножается на это число, то есть, например,

.

45

Применим формулы параллельного переноса

, ,

Тогда уравнение примет вид

где . Если же с ≠ 0 и е ≠ 0, то аналогичным образом исключаем в полученном уравнении член с у.

Итак можно считать, что КВП представляется одним из трёх видов уравнений:

ах² + by² + c = 0;

ах² + by + c = 0;

аy² + bх + c = 0.

Рассмотрим случаи:

1. с ≠ 0. Тогда

Если – (а/с) › 0 и – (b/c) › 0, то это уравнение эллипса.

Если – (a/c) ‹ 0 b – (b/c) ‹ 0, то получаем пустое множество точек на плоскости.

Если – (a/c) › 0 и – (b/c) ‹ 0, то уравнение гиперболы.

Аналогичным образом получам гиперболу вытянутую вдоль оси ОУ.

2. с = 0. Тогда ах² + by² = 0;

Если a и b – разных знаков, то всегда можно считать, что а › 0

b ‹ 0.

Уравнение будет задавать две пересекающиеся прямые ax – by = 0

Если же a и b одного знака, то уравнению удовлетворяет единственная точка О (0,0).

Вывод: любая кривая второго порядка является эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых, парой параллельных прямых, прямой, точкой или пустым множеством.

Укажем еще один способ классификации КВП.

44

Тогда

Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть плоскости α₁ и α₂ заданы уравнениями:

α₁: А₁х + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

α₂: А₂х + В₂y + С₂z + D₂ = 0.

Теорема. Тогда и только тогда плоскости α₁ и α₂:

1) совпадают, когда А₁=λA₂, B₁=λB₂, C₁=λC₂, D₁=λD₂;

2) параллельны и различны, когда

A₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁=λС₂, D₁λD₂;

3)пересекаются, когда коэффициенты А₁, В₁, С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂

Пучок и связка плоскостей

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.

Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α₁ и α₂ .

Тогда уравнение пучка имеет вид

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ + λ(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0, где λ R.

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S₀ (x₀,y₀,z₀) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S₀ имеет вид

А(х-x₀) + В(у-y₀) + С(z­­-z₀) = 0,

где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.

29