Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l₁ и l₂ будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0  φ 

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

cosφ=

Пусть теперь прямые l₁ и l₂ задана уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ в k₂ соответственно. Тогда

Наконец, если и- направляющие вектора прямых, то

Расстояние от точки до прямой

Пусть d - расстояние от точки М₀(x₀,у₀) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + С=0.

Тогда

.

26

=

7. (Основное). Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число, то величина определителя не изменится.

Итак, например,

Доказательство следует из последовательного свойств 6 и 5.

8. (О разложении определителя по элементам i-й строки или j-го столбца).

47

Доказательство следует из того факта, что вычисляя определитель по правилу треугольника, получим, что каждое слагаемое содержит множитель . Вынося этот множитель за скобку, получим в скобке определитель Δ.

5. Если элементы 2-х строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть

Тогда по свойству 4,

т.е. по свойству 3 Δ₁ = 0.

6. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму 2-х слагаемых, то данный определитель равен сумме соответствующих определителей.

Пусть

Тогда

46

III плоскость Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М₀(х₀,у₀,z₀). Возьмем произвольную точку М(х,у,z)α и обозначим(А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х-х₀) + В(у-у₀) + C(z-z₀) = 0

Раскроем скобки и обозначим D = -Аx₀ - Ву₀ - Cz₀. Получим

Ax + By + Сz + D = 0 ()

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

Теорема 3.1 Линейное уравнение () (A²+B²+C² ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

27

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Пусть точки А(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃) принадлежат плоскости α.

Тогда

- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Нормальное уравнение плоскости

Пусть задана плоскость α и пусть - единичный, вектор нормали к плоскости α проведенный из начала координат. Обозначим р - расстояние от начала координат до плоскости α.

Для любой точки М(х,у,z)α

=p

Так как = (х,у,z),

= (cosα, cosβ, cosγ), где α, β, γ – углы, образованные вектором соответственно с осями OX, OY и 0Z, то отсюда получаем

xcosα + ycosβ + zсозγ – p = 0

– нормальное равнение плоскости.