Пучок прямых

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l₁ и l₂ , проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями

l₁: A₁x + B₁y + C₁= 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂= 0.

Уравнение:

A₁x + B₁y + С + λ (A₂х + В₂y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l₁ и l₂

Замечание. 1 При доказательстве разложения по элементам i-го столбца, предварительно протранспонируем определитель.

Общая теория кривых второго порядка

Удобно будет рассматривать уравнение кривой второго порядка

в следующем виде:

(1)

Сформулируем признаки, позволяющие узнать тип линии по ее уравнению (1).

Введем некоторые определения.

Группу слагаемых a₁₁x²+2а₂₁xy+а₂₂у² назовем группой старших членов. Группу слагаемых 2а₁₃х+2а₂₃у+а₃₃ назовем линейной частью уравнения (1).

Коэффициенты а₁₁, a₁₂, а₂₂ назовем коэффициентами группы старших членов или старшими коэффициентами, а коэффициенты а₁₃ , а₂₃ ,а₃₃ — коэффициентами линейной части или линейными коэффициентами . Отметим, что коэффициент а₃₃ также называется свободным членом уравнения (1).

Осуществим параллельный перенос системы координат ОХY вточку 0'(х₀,у₀), Тогда, как известно, х=х'+х₀, у=у'+у₀ и в новой системе координат уравнение (1) примет вид:

Обозначим коэффициенты при степенях неизвестных в уравнении (*) следующим образом:

Пусть дан определитель

Тогда минором элемента a_ij определителя Δ называется определитель M_ij полученный из данного, вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

Имеет место следующее равенство:

Δ=(-1)ⁱ⁺¹a_i1M_i1+(-1)ⁱ⁺²a_i2M_i2+(-1)ⁱ⁺³a_i3M_i3 (*)

(разложение по элементам i-й строки.) Доказательство. Если i=2, то поменяем местами 2-ю и 1-ю строки. Получаем определитель Δ₁,равный —Δ (свойство 2).

Если i=3, то поменяем вначале 3-ю строку со 2-й, а затем

полученную вторую с первой. Получим определитель Δ₂, равный

Δ(свойство 2). Итак,

Аналогично,

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l₁ и l₂. своими общими уравненими; = (А₁,B₁), = (А₂,В₂) – нормальные векторы этих прямых; k₁= tgα₁, k₂= tgα₂ – угловые коэффициенты; = (m₁,n₁), (m₂,n₂) – направляющие векторы. Тогда, прямые l₁ и l₂ параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий: