Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.

Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида

Аx + By + С = О, (1)

где А, В, С R и А² + В²0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.

Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.

Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда

-Ах-By=-С, и .

Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим

- уравнение в отрезках.

Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.

Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M₁(x₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) принадлежит l. Тогда

Аx₁ + Ву₁ + С = Ах₂ + Ву₂ + С, то есть A(x₁-x₂) + В(у₁-у₂) = 0.

Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору=(x₁-x₂,у₁-у₂). т.е. Вектор(А,В) называетсянормальным вектором прямой l.

22

, т.е.

a'₁₃=a₁₃cosφ+a₂₃cosφ

a'₂₃=a₂₃cosφ-a₁₃sinφ

a'₃₃=a₃₃ (4)

Вывод: старшие коэффициенты а'₁₁, а'₁₂ и а'₂₂ , выражаются только через угол φ старшие коэффициенты а₁₁, а₁₂ и а₂₂. Коэффициенты а'₁₃ и а'₂₃ выражаются только через угол φ и коэффициенты а₁₃, а₂₃. Коэффициенты а'₃₃ и а₃₃ равны.

Для упрощения равенств (4) введем следующие обозначения:

.

Тогда

,

если А0 . Введем угол α, где

,

51

(2)

Тогда уравнение (*) примет вид:

(3)

Вывод: при параллельном переносе системы координат, коэффициенты группы старших членов не изменяются, а коэффициенты линейной части изменяются по формулам (2).

Применим формулы поворота системы ОХУ на угол φ т.е.

х=х'соsφ-y'sinφ;

y=x'sinφ+y'cosφ;

Получим:

Тогда в новой системе координат, уравнение (1) примет вид:

где

50

Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда

=А(-В)+ВА=0. т.е. .

Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором прянойl.

Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямаяl, ее направлящий вектор = (m,n) и точкаM₀ (x₀,y₀) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем

и так как то.

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M и M₀, то

- уравнение прямой в векторной форме.

Так как =(х,у), =(х₀,у₀), то

x = x₀ + mt,

y = y₀ + nt

- параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

- каноническое уравнение прямой.

Наконец, если на прямой l заданы две точки M₁(х₁,у₁) и

M₂(x₂,у₂), то вектор =(х₂-х₁,y₂-у₁) является направляющим вектором прямой l. Тогда

23

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

Взаимное расположение двух прямых.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы своими общими уравнениями

l₁: А₁х + В₁у + С₁ = 0, (1)

l₂: А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Теорема. Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A₁=λA₂, В₁=λB₂;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А₁=λA₂, B₁=λB₂, С₁=λС₂;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁λС₂.