 
        
        Biometrija_2011
.pdf 
71
, r -
0.05 n = 13.
4.7q
-
: q , -
.
) q(y/x) q(x/y)
q(y/x) q(x/y) -
X Y, , -
, . , -
Xi Yi, -
Xi Yi, . -
( ) -
, X y Y x . q(x/y) q(y/x) -
:
| q( y / x) | (Y x Y ) 2 | ; q(x / y) | ( X y X )2 | (4.7) | 
| (Yi Y ) 2 | ; | |||
| 
 | 
 | ( Xi X )2 | 
 | 
i 1 n.
:
X y = (X1+X2+...Xm)/m; Yx = (Y1+Y2+...+Yk)/k,
:
| D y / x | ; q ( x / y ) | D x / y | . | 
| q ( y / x ) | D ( x ) | ||
| D ( y ) | 
 | 
 | 
:
| 
 | n | 
 | 
 | n | |||||||||
| D( y / x) ( | Y | xi | Y | )2 ; | D(x / y) | X | yi | X | )2 ; | ||||
| i 1 | 
 | 
 | i 1 | ||||||||||
| n | n | ||||||||||||
| D( y) ( | Y | Yi )2 ; D(x) ( | X | Xi )2 . | |||||||||
| i 1 | i 1 | ||||||||||||
 
72
Yxi Xyi
Xi Yi.
) q
q -
T -
k = n - 2, n - . T -:
| Tq | q n 2 . | (4.8) | 
| 
 | 1 q | 
 | 
q q(y/x) q(x/y).
q , Tq > tk,p .
q . q(y/x) q(x/y) , ,
-
.
q(y/x) = q(x/y)
:
| T | 
 | 
 | . , | 
 | (4.9) | 
| 
 | 
 | 
 | |||
| l | 
 | 
 | 
 | ||
| 
 | 
 | 
 | |||
| q 2 r 2 ; | 
 | 2 ( 2 | (2 q 2 | r 2 )) | |
| 
 | 20 | . | |||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
Tl 2.5, X Y .
.
2
4.1 -
- - , -
.
. Y X -
X ( . 4.2), - Y ( .4.3).
:
 
73
| n | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | n | 
 | 
 | 
 | n | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||||||||||
| X i | = 237.4; | Yi = 14.06 ; | ( | 
 | x i | 
 | 
 | ) 2 =0.0558; | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||||||||||||||
| Y | Y | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||||||||||||||||||||
| i 1 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | i 1 | 
 | 
 | 
 | i 1 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||||||||||
| n | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 237,4 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 14,06 | 
 | n | 
 | ||||||||
| (Yi | Yx ) 2 = 0.0658; X | =11,84 ; Y | =0.703 ; | 
 | X | yi | X | )2 =25.75; | 
 | ||||||||||||||||||||||
| 20 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||||||||||||||||||||||||||
| i 1 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 20 | 
 | i 1 | 
 | ||||||||||||||||
| n | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | n | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
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 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||
| ( X i X )2 =40.386; | (Yi Y | )2 0,0756 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||||||||||||||||||||
| i 1 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | i 1 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||
| n | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
| ( X i | X | yi ) 2 | = 26.59; | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||||
| i 1 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
| 
 | 
 | 
 | 
 | : X=11,3 | Y | ||||||||||||||||||||||||||
| 
 | 
 | Yx | |||||||||||||||||||||||||||||
| - 0.7 | 0.75. , | 
 | 
 | = | |||||||||||||||||||||||||||
| Yx | |||||||||||||||||||||||||||||||
(0.7+0.75)/2 = 0.725 0,73. -
(4.7) q(Y/X) q(X/Y):
| q(Y/X) = | 0,0558 | = 0,859 , q(X/Y) = | 25,75 = 0,798 . | 
| 
 | 0,0756 | 
 | 40,386 | 
(4.8) q, -
q(Y/X) q(X/Y):
| Tq( y / x ) | 0,859 20 2 9,7; Tq( x / y ) 0,798 | 20 2 7,5 . | 
| 
 | 1 0,859 | 1 0,798 | 
= 0.05 k = 20-2, 2 -
tk,p = 2.1. Tq(y/x) = 9,7
> tk,p =2,1 Tq(x/y) = 7,5 > tk,p =2,1
q, , , X Y. Tq(y/x) Tq(x/y) . -
, -
.
(4.9) r = 0.564
= (0.859)2 - (0.564)2 = 0.42 ;
2  (0,42 0,422 (2 0,8592 0,5642 )) 0,225;
 (0,42 0,422 (2 0,8592 0,5642 )) 0,225;
 20
 20
Tl = 0.42 / 0,225 = 1.9
Tl =1.9 < 2.5, X Y -
.
74
1.. -
.
2., (4.1) (4.2) -
r. -
(4.7) q(y/x) q(x/y), X,Y X Y.
q(x/y)=q(y/x) . q(y/x) q(x/y) (4.9) Tl . Tl >2.5 X Y .
3.-
. (4.5), ,
X Y . -
,
(4.3) Z- , (4.4) - (TZ ). 2
tk,p TZ> tk,p , r . -
q(x/y) q(y/x) , (4.8) Tq
tk,p . Tq> tk,p q(x/y) q(y/x) .
4.r q , (4.6) -
nmin , r q .
4.2
Y X, X
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ( | 
 | ) | |
| - | - | 
 | Y | x | X | |||
| } | 
 | ) | ) | |||||
| X | ) Y | |||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||
| 10.0 | 0.70 | 0.70 | 0.660 | |||||
| 10.0 | 0.70 | 0.70 | 0.660 | |||||
| 10.1 | 0.65 | 0.65 | 0.624 | |||||
| 10.2 | 0.61 | 0.61 | 0.669 | |||||
| 10.8 | 0.73 | 0.73 | 0.680 | |||||
| 11.0 | 0.65 | 0.65 | 0.684 | |||||
| 11.1 | 0.65 | 0.65 | 0.684 | |||||
| 11.3 | 0.70 | 0.73 | 0.690 | |||||
| 11.3 | 0.75 | 0.73 | 0.690 | |||||
| 11.4 | 0.70 | 0.70 | 0.693 | |||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| - | 
 | X | Y (x) | |||||
| 
 | 
 | |||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||
| ) X | 
 | ) | 
 | ) | ||||
| ) | Y | 
 | ||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||
| 11.8 | 0.69 | 
 | 0.69 | 0.703 | ||||
| 12.0 | 0.72 | 
 | 0.66 | 0.703 | ||||
| 12.0 | 0.60 | 
 | 0.66 | 0.708 | ||||
| 12.1 | 0.75 | 
 | 0.75 | 0.710 | ||||
| 12.3 | 0.63 | 
 | 0.63 | 0.715 | ||||
| 13.0 | 0.80 | 
 | 0.80 | 0.732 | ||||
| 13.4 | 0.78 | 
 | 0.78 | 0.794 | ||||
| 13.5 | 0.70 | 
 | 0.70 | 0.744 | ||||
| 14.5 | 0.70 | 
 | 0.70 | 0.768 | ||||
| 15.6 | 0.85 | 
 | 0.85 | 0.794 | ||||
 
75
4.3
Y X, Y
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
| - | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| 
 | 
 | X y | 
 | 
 | 
 | ||
| 
 | 
 | X ( y) | |||||
| 
 | 
 | 
 | |||||
| ) | } | 
 | ) | 
 | ) | ||
| Y | X | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| 0.6 | 12.0 | 12.0 | 10.52 | ||||
| 0.61 | 10.2 | 10.2 | 10.65 | ||||
| 0.63 | 12.3 | 12.3 | 10.91 | ||||
| 0.65 | 10.1 | 10.73 | 11.17 | ||||
| 0.65 | 11.1 | 10.73 | 11.17 | ||||
| 0.65 | 11.0 | 10.73 | 11.17 | ||||
| 0.69 | 11.8 | 11.8 | 11.69 | ||||
| 0.7 | 11.4 | 12.02 | 11.82 | ||||
| 0.7 | 10.0 | 12.02 | 11.82 | ||||
| 0.7 | 11.3 | 12.02 | 11.82 | ||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
| - | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| 
 | 
 | X y | 
 | 
 | 
 | ||
| 
 | 
 | X ( y) | |||||
| 
 | 
 | 
 | |||||
| ) | } | 
 | ) | 
 | ) | ||
| Y | X | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| 0.7 | 14.5 | 12.02 | 11.82 | ||||
| 0.7 | 13.5 | 12.02 | 11.82 | ||||
| 0.7 | 11.4 | 12.02 | 11.82 | ||||
| 0.72 | 12.0 | 12.0 | 12.0 | ||||
| 0.73 | 10.8 | 10.8 | 12.2 | ||||
| 0.75 | 11.3 | 11.7 | 12.5 | ||||
| 0.75 | 12.1 | 11.7 | 12.5 | ||||
| 0.78 | 13.4 | 13.4 | 12.9 | ||||
| 0.8 | 13.0 | 13.0 | 13.1 | ||||
| 0.85 | 15.6 | 15.6 | 13.8 | ||||
, -
, ,
.
. ,
, -
, -
.
.
 
76
V .
X Y c -
.
( ) -
. . -
,
- ( . 4.2 ) ,
, (
). -
, -
, - X
) Y X .. ,
,
. 4.1) .
. -
-
, - ,
. , -
. , -
.
-
. -
-
, . ,
.
. ,
. -
,
. ,
,
, ,
 
77
. , ,
X Y. -
.
, , -
-
. -
, " ",
.
5.3
)
-
. , -
), - ( ),
: X- - Y-
| . | Y x | ||
| 
 | 
 | 4.2 | 4.3 | 
| 
 | X y | ||
Y x X X y Y, . -
,
. , , -
. , -, .
. 5.1 5.2 -
, 4.2 4.3.
,
-
. -
Y X
.
)
-
( . -
) - -
. -
-
, -
. ,
 
78
, -
. ,
Y = + *X. , -
, , -
. -
, ,
, . -
.
, -
" ."
:
n
(Yi Y ( X i )) 2 min
i 1
Yi - Y
Xi, Y(Xi) - Yi Xi ,
. ,
-
Y(x),Y X ( )
| 0.8- | 3 | 
 | 
 | 
 | • | 
 | 
 | 
 | 
 | • | ||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| 0.7- | • | • | • | 2 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||
| • | • • | 
 | • | 
 | • | • | 
 | 
 | 1 | |||
| 
 | 
 | 
 | 
 | |||||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||||
| 0.6- • | 
 | 
 | 
 | 
 | • | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 3 | |
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||||
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 
 | 
 | 
 | X, | |||
5.1 Y (x) X:
1- Y x ( x) ;
2- Y (x) =0.42+0.024*X;
3–
( . .5.4)
 
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 79 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| 
 | ( y), | 
 | Y | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| X | X | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||
| ( ) | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||
| 15- | 
 | 
 | 
 | 3 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | • | |||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||||
| 14- | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |
| 13- | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 2 | 
 | 
 | • | 
 | 
 | ||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 1 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | • | 
 | 
 | |
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||
| 12- | 
 | 
 | • | 
 | • | • | 
 | • | 
 | 
 | |||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 3 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||
| 11- | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | • | 
 | 
 | |||||
| 10 | 
 | • | • | 
 | • | 
 | 
 | ||||||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | ||||
| 0.6 | 
 | 
 | 0.7 | 
 | 0.8 | 
 | Y, | ||||||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 5.2 X(Y) Y: | |||||||||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | y (Y); | |||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 1 - | X | ||||||||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 2 - | 
 | (Y)=2.7+13.04*Y; | |||||||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | X | |||||||||||||
| 
 | 
 | 
 | 3 - | 
 | |||||||||||||
| 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | . . 5.4). | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | |||
, Yi
Y(Xi) .
.
Y(X) = A + B*X
.
, , - , -
:
Y (X) = Ay/x + By/x * X ; X (Y) = Ax/y + Bx/y * Y ;
Ay/x Ax/y ; By/x Bx/y
Y(X) X X(Y) Y, . -
, ., r = 1, -
. ( . r = 0),
 
80
( X ,Y ). -
, .
:
| 
 | n | 
 | n | 
 | 
 | 
| 
 | (Yi Y)2 | 
 | (X i X )2 | 
 | 
 | 
| By / x | r i 1 | ; Bx / y | r i 1 | ; | (5.1) | 
| 
 | n | 
 | n | 
 | 
 | 
| 
 | (X i X )2 | 
 | (Yi Y )2 | 
 | 
 | 
| 
 | i 1 | 
 | i 1 | 
 | 
 | 
i 1 n. 5.1 :
r  By / x Bx / y
 By / x Bx / y
, , -
. -
:
| AY / X = Y BY / X X ; AX / Y X B X / Y Y ; | (5.2) | 
-
, .
-
. , .
.
(4.4), (5.1) (5.2) , -
.
. -
:
| 
 | 
 | 5.3( ) | 
| Y (x) A B X | ||
:
| LgY (x) Lg A X Lg B | 5.3( ) | 
