Задание 3. Дисперсионный анализ

Сущность дисперсионного анализа состоит в том, что с его помощью изучается степень влияния одного или нескольких факторных признаков на результативный признак. Дисперсионный анализ служит также для оценки существенности, достоверности выборочных показателей связи, возможности распространения выводов, полученных при выборке, на всю совокупность.

В основе дисперсионного анализа лежит закон сложения вариаций (дисперсий). В соответствии с ним общая вариация результативного признака при сгруппированных данных равна сумме межгрупповой и внутригрупповой (остаточной) вариации:

W₀=W_гр+W_ост,

где W₀ – общая вариация, сумма квадратов отклонений вариантов от общей средней;

W₀=;

–варианты,

–общая средняя;

W_гр – сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней;

W_гр=;

–групповые средние;

–численность групп;

W_ост=

W_ост рассчитывается по каждой группе, после чего находится их сумма, которая и является остаточной вариацией всего комплекса.

Общая вариация (дисперсия) характеризует общую изменчивость результативного признака. Межгрупповая (факторная) дисперсия показывает вариацию результативного признака под влиянием факторного признака, положенного в основу группировки. Остаточная дисперсия показывает вариацию результативного признака, обусловленную действием случайных (неучтенных) факторов.

Если исследуется влияние нескольких факторных признаков на результативный, то рассчитываются объемы вариации, обусловленные влиянием каждого фактора и совместным влиянием анализируемых факторов. Например, при изучении влияния факторов А и В общий объем вариации равен:

W₀=W_А+W_В+W_АВ+W_ост,

где W_А, W_В, W_АВ – объемы вариации, обусловленные факторами А и В, а также их взаимодействием.

Рассчитываются дисперсии на одну степень свободы. Факторная (групповая) дисперсия:

D_гр=

Остаточная (случайная) дисперсия:

D_ост=,

где n – число наблюдений;

m – число групп.

Остаточная вариация обычно вычисляется из формулы соотношений вариаций:

W_ост=W₀-W_гр

Отношение факторной дисперсии к случайной, рассчитанных на одну степень свободы, носит название F – критерия Фишера. Он позволяет определить достоверность вывода, сделанного по выборочному обследованию. Фактическое значение F – величины сравнивается с теоретическим, которое берется из специальных таблиц.

Если F_факт>F_табл, то делается вывод о неслучайном характере вариации, о существенности влияния фактора на зависимую переменную. Если F_факт≤F_табл, то можно утверждать, что различия между дисперсиями (факторной и остаточной) носят случайный характер.

Дисперсионный анализ осуществляется в следующей последовательности:

– расчет общей, факторной и остаточных сумм квадратов отклонений;

– вычислений дисперсий на одну степень свободы;

– расчеты F – критерия и его сравнение с табличным для установления достоверности влияния каждого фактора на варьирующий признак;

– вычисление корреляционных отношений, показывающих степень влияния факторов на зависимую переменную.

3.1 Однофакторный дисперсионный анализ

При проведении научных исследований участок, разбивается на блоки с предельно выравненными условиями плодородия, рельефа, урожайности и т.д. Каждый вариант опыта получает при этом повторности во всех блоках, тем самым достигается выравнивание условий каждого варианта. Такой способ построения опыта называется способом рендомизированных блоков. Общая сумма квадратов отклонений (общая дисперсия) в этом случае равна:

W₀=W_вар+W_повт+W_ост,

где W₀ – общая сумма квадратов отклонений (общая дисперсия);

W_вар – сумма квадратов отклонений вариантов опыта;

W_повт – сумма квадратов отклонений повторностей (вариация, связанная с различием участков);

W_ост – остаточная сумма квадратов отклонений.

Число степеней свободы равно:

для общей дисперсии – ν₀=N-1;

для групповой – ν ₁=m-1;

для повторностей – ν ₂=n-1;

для остаточной – ν ₃=(N-1)-(m-1)-(n-1);

где N – общее число наблюдений;

m – число вариантов (групп);

n – число повторностей (число наблюдений в группе).

Рассмотрим на примере методику проведения однофакторного дисперсионного анализа. В полевом опыте выявлялось влияние орошения на урожайность яровой пшеницы. Опытный участок был разделен на три блока, имеющих различия между собой по рельефу и плодородию. Каждый из проверяемых вариантов имел делянки во всех трех блоках, т.е. проводился в трех повторностях. Получены результаты наблюдений (таблица 9).

Таблица 9