2.1 Построение и оценка однофакторных связей

Форма связи между признаками (Х и У) выбирается на основе сочетания качественного, теоретического анализа и исследования исходных данных.

Например, установим форму связи между баллом бонитета почвы и урожайностью. При повышении балла бонитета урожайность будет повышаться. Однако необязательно участку с большей оценкой качества земли соответствует большая урожайность культуры.

Такую форму связи приближенно можно выразить уравнением параболы второго порядка:

у_х=α_о+α₁х+α₂х²,

где у_х – теоретические значения результативного признака;

α_о , α₁, α₂ – параметры уравнения;

х – значение факторного признака.

В связи со сложностью землеустроительных мероприятий не всегда удается теоретически обосновать форму связи присущей изучаемому мероприятию. В этом случае используют графический метод. Строят график в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладывают значения факторного признака, на оси ординат – результативного. Если точки концентрируются приблизительно относительно прямой, то выбирают линейную форму; если образуют кривую с экстремальными значениями – параболу и т.д.

После выбора формы связи и построения уравнения регрессии в общем виде находят числовые значения его параметров.

Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной.

1. Под линейной корреляционной зависимостью между двумя признаками Х и Y понимают такую зависимость, которая носит линейный характер и выражается уравнением прямой линии:

y_х= a_о+a₁х

Это уравнение называется уравнением регрессии Y на Х, а соответствующая ему прямая линия – выборочный линией регрессией Y на Х. Линейная регрессия – это зависимость, когда при любом значении аргумента Х одинаковые приращения его вызывают одинаковые изменения функции Y.

Параметры уравнения прямой определяются решением системы нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов:

где n – численность изучаемой совокупности;

у – фактическое значение результативного признака.

Метод наименьших квадратов служит источником получения нормальных уравнений для определения искомых значений параметров α₀…α₁.

2. Параболическая регрессия y на х:

3. Гиперболическая регрессия у на х:

,

тогда система нормальных уравнений имеет вид:

2.2 Построение многофакторных корреляционных моделей

Аналогично составляются системы нормальных уравнений в случае большего числа производственных факторов. Например, для случая трех факторов при необходимости построения линейных регрессий вида:

у_х=a_о+a₁х₁+a₂х₂+a₃х₃

система нормальных уравнений имеет вид:

2.3 Расчет показателей тесноты корреляционной связи

Для измерения тесноты связи между факторными и результативными признаками используется показатель, называемый индексом корреляции (или корреляционным отношением). Он рассчитывается по формуле:

где i – индекс корреляции;

σ²_у/х – факторная дисперсия;

σ²_у – общая дисперсия.

Факторная дисперсия рассчитывается как средний квадрат отклонений расчетных значений ух вычисленных по уравнению регрессии, от их средней величины :

Общая дисперсия результативного признака вычисляется по формуле:

Индекс корреляции находится в пределах от 0 до 1. Чем ближе он к единице, тем связь между признаками теснее. Отношение факторной дисперсии к общей дисперсии результативного признака носит название индекса детерминации:

Индекс детерминации показывает, какая доля общей вариации результативного признака У объясняется признаком – фактором, входящим в уравнение регрессии.

Для расчета коэффициента корреляции r существует несколько формул:

,

Чем ближе r к+1 или -1, тем теснее прямолинейная корреляционная связь, она ослабевает с приближением r к 0. Когда r=0, между Х и У нет линейной связи, но криволинейная зависимость может существовать.

Считается, что при r<0,3 корреляционная зависимость между признаками слабая, r =0,3-0,7 - средняя, r>0,7 – сильная.