Энергия магнитного поля. Плотность энергии.
В
опыте, схема которого приведена на рис.
5.5, после размыкания ключа через
гальванометр некоторое время течет
убывающий ток. Работа этого тока равна
работе сторонних сил, роль которых
выполняет ЭДС самоиндукции
,
действующая в контуре. Пусть за время
dt
по цепи переносится заряд dq.
Работа тока самоиндукции по перемещению
этого заряда есть:
.
Проинтегрировав это выражение в пределах от I до 0, получим полную работу тока:
.
Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в соленоиде и окружающем его пространстве. Остается заключить, что магнитное поле является носителем той энергии, за счет которой производится работа тока, идущая на изменение внутренней энергии проводников – их нагревание. Таким образом, проводник, имеющий индуктивность L, обладает энергией
.
Выразим
эту энергию через величины, характеризующие
само поле. Для этого заменим индуктивность
соленоида ее выражением
.
Далее, замечая, что напряженность
магнитного поля соленоида
,
приходим к формуле:
.
Полученному
выражению для энергии
магнитного поля
можно придать другой вид, если учесть,
что
:
Плотность энергии магнитного поля получим, поделив это выражение на объем V, занятый полем:
Если магнитное поле неоднородно, то чтобы найти энергию поля в некотором объеме V , нужно вычислить интеграл:
.
5.2. Электромагнитные колебания. Явление резонанса. Колебательный контур.
а) LC-контур
C
L
Составим уравнение колебаний в LC-контуре.
J=
+
-
собственная частота
колебательного контура.
-
формула Томпсона.
+
Общее решение уравнения имеет вид:
q=A
cos(
)
A,
=cons’t,
выбор который зависит от начальных
условий. Пусть в начальный момент
времени, конденсатор заряжен с зарядом
,
а
(0)=0
=
-A
sin(
)
(0)=0=A
sin
=>
=0
=
A cos0
=
A
q=
cos
Проверим выполнение закона сохранения энергии в колебательном контуре.
В любой момент времени, энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе и в катушке.
-
та энергия, которая запасена в конденсаторе
в начальный момент времени.
Аналогия между электрическими и механическими колебаниями.
+
-E
+ -K
x
L
В начальный момент времени, вся энергия сосредоточена в конденсаторе.
б) RLC – контур (затухающие колебания).
В
сякий
реальный контур, обладает активным
сопротивлением. Энергия, запасенная в
контуре, расходуется в этом сопротивлении
на нагрев,
C
R
L
J=
Закон Ома для этой цепи:
+
=
+
JR
=
L
+
R+
=0
+
+
=0
+
+
=0
Это уравнение совпадает с уравнением затухающих механических колебаний.
Составим характерное уравнение.
+
+
=0
q=A
Пусть
в начальный момент времени: q=qo,
a
=0,
(J=0)
q=
;
введем
-
характерное время, в течении которого
амплитуда колебаний убывает в е раз.
-
декремент угасания.
Если сравнивать с механическими колебаниями, то присутствие активного сопротивления в контуре, аналогично действию силы трения в механической колебательной системе.
Присутствие активного сопротивления в контуре, приводит к изменению частоты колебаний:
Если
,
то колебания в системе не возникают,
возникает апериодическое затухание.
q
.