Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

К неформальным методам проверки стационарности можно отнести визуальный анализ графиков спектральной плотности и автокорреляционной функции.

В настоящее время самым популярным из формальных критериев является критерий,разработанный Дики и Фуллером (DF-тест).

Предположим,нужно выяснить,какой из двух процессов лучше подходит для описания временного ряда:

xt = µ0 + µ1t + εt или xt = µ0 + xt−1 + εt ,

где εt Ñстационарный ARMA-процесс.Первый из процессов является стационарным относительно тренда,а второй содержит единичный корень и дрейф.Каждый из вариантов может рассматриваться как правдоподобная модель экономического процесса.

Внешне два указанных процесса сильно различаются,однако можно показать, что оба являются частными случаями одного и того же процесса:

xt = γ0 + γ1t + vt,

При ϕ = 1 получаем

xt − γ0 − γ1t = xt−1 − γ0 − γ1t + γ1 + εt ,

т.е.

xt = γ1 + xt−1 + εt .

Таким образом,как и утверждалось,обе модели являются частными случаями одной и той же модели(17.3)и соответствуют случаям |ϕ| < 1 и ϕ = 1.

Модель(17.3)можно записать следующим образом:

xt = γ0 + γ1t + ϕ(xt−1 − γ0 − γ1(t − 1)) + εt .

Это модель регрессии,нелинейная по па раметрам.Заменой переменных мы можем свести ее к линейной модели:

xt = µ0 + µ1t + ϕxt−1 + εt ,

где µ0 = (1 − ϕ)γ0 + ϕγ1, µ1 = (1 − ϕ)γ1.

Эта новая модель фактически эквивалентна(17.3),и метод наименьших квадратов даст ту же самую оценку параметра ϕ.Следует,однако,иметь в виду,что линейная модель скрывает тот факт,что при ϕ = 1 будет выполнено µ1 = 0.

Базовая модель,которую использовали Дики и Фуллер, Ñавторегрессионный процесс первого порядка:

При ϕ = 1 это случайное блуждание.Конечно,вряд ли экономическая переменная может быть описана процессом(17.4 ).Более реалистично было бы предположить наличие в этом процессе константы и тренда(линейного или квадратичного):

Нулевая гипотеза в критерии ДикиÑФуллера состоит в том,что ряд нестационарен и имеет один единичный корень ϕ = 1,при этом µi = 0,альтернативнаяÑ в том,что ряд стационарен |ϕ| < 1:

H0 : ϕ = 1, µi = 0,

HA : |ϕ| < 1.

Здесь i = 0,если оценивается(17.5), i = 1,если оценивается(17.6),и i = 2, если оценивается(17.7).

Предполагается,что ошибки εt некоррелированы.Это предположение очень важно,без него критерий работать не будет.

Для получения статистики,с помощью которой можно было бы проверить нулевую гипотезу,Дики и Фуллер предложи ли оценить данную авторегрессионную модель и взять из нее обычную t-статистику для гипотезы о том,что ϕ = 1 .Эту статистику называют статистикой ДикиÑФуллера и обозначаютDF.При этом критерий является односторонним,поскольку альтернатива ϕ > 1,соответствующая взрывному процессу,не рассматривается.

DFзаключается в том,что с помощью одной t-статистики как бы проверяется гипотеза сразу о двух коэффициентах.Насамом деле,фактически подразумевается модель вида(17.3),в которой проверяется гипотеза об одном коэффициенте ϕ.

Если в регрессии(17.6)нулевая гипотеза отвергается,то принимается альтернативная гипотезаÑо том,что процесс описывается уравнением(17.6)с ϕ < 1, то есть это стационарный относительно линейного тренда процесс.В противном случае имеем нестационарный процесс,описываемый уравнением(17.5),где ϕ = 1,то есть случайное блуждание с дрейфом,но без временного тренда в уравнении авторегрессии.

Часто встречается несколько иная интерпретация этой особенности данного критерия:проверяется гипотеза H0 : ϕ = 1 против гипотезы HA : ϕ < 1,

и оцениваемая регрессия не совпадает с порождающим данные процессом,

каким он предполагается согласно альтернативной гипотезе,а именно,в оцениваемой регрессии имеетсяÇлишнийÈдет ерминированный регрессор.Так,чтобы проверить нулевую гипотезу для процесса вида(17.5), нужно построить регрессию (17.6)или(17.7).Аналогично для проверки нулевой гипотезы о процессе вида (17.6)нужно оценить регрессию(17.7).Од нако приведенная ранее интерпретация более удачная.

Поскольку статистика ДикиÑФуллера имеет нестандартное распределение, для ее использования требуются специальные таблицы.Эти таблицы былисоставлены эмпирически методом Монте-Карло.Все эти статистики получены на основе одного и того же процесса вида(17.4)с ϕ = 1,но с асимптотической точки зрения годятся и для других процессов,несм отря на наличие мешающих параметров, которые приходится оценивать.

Чтобы удобно было использовать стандартные регрессионные пакеты,уравнения регрессии преобразуются так,ч тобы зависимой переменной была первая разность.Например,в случае(17.4)имеем уравнение

xt = δxt−1 + εt ,

где δ = ϕ − 1.Тогда нулевая гипотеза примет вид δ = 0.

Предположение о том,что переменная следует авторегрессионному процессу первого порядка и ошибки некоррелированы,является,конечно,слишком ограничительным.КритерийДикиÑФуллерабылмодифицировандляавторегрессионных процессов более высоких порядков и получил название дополненного критерия ДикиÑФуллера (augmented DickeyÑFuller test, ADF).

Базовые уравнения для него приобретают следующий вид:

Распределенияэтихкритериевасимптотическисовпадаютссоответствующими обычными распределениями ДикиÑФуллера и используют те же таблицы.Грубо говоря,рольдополнительной авторегрессионной компоненты сводится к тому,чтобыубратьавтокорреляциюизостатков.Процедурапроверкигипотезнеотличается от описанной выше.

Как показалиэкспериментыМонте-Карло,критерийДикиÑФуллерачувстви- телен к наличию процесса типа скользящегосреднего в ошибке.Добавление в число регрессоров распределенного лага первой разности(с достаточно большим значением k)частично снимает эту проблему.

На практике решающим при использовании критерияADFявляется вопрос о том,как выбирать k Ñпорядок AR-процесса в оцениваемой регрессии.Можно предложить следующие подходы.

1)Выбирать k на основе обычных t- и F -статистик.Процедурасостоит втом, чтобы начать с некоторой максимальной длины лага и проверять вниз,используя t-или F -статистики для значимости самого дальнего лага(лагов).Процесс останавливается,когда t-статистика или F -статистика значимы.

2)Использовать информационные критерии Акаике и Шварца.Длина лага с минимальным значением информационного критерия предпочтительна.

3)Сделать остатки регрессииADF-крит ерия как можно более похожими на белый шум.Это можно проверить при помощи критерия на автокорреляцию.Если соответствующая статистика значима,то лаг выбран неверно и следует увеличить k.

Поскольку дополнительные лаги не меняют асимптотические результаты, то лучше взять больше лагов,чем меньше.Однако этот последний аргумент верен только с асимптотической точки зрения. ADFможет давать разные результаты взависимостиоттого,какимвыбраноколичестволагов.Дажедобавлениелага,которыйÇне нуженÈсогласно только что приведенным соображениям,может резко изменить результат проверки гипотезы.

Особую проблему создает наличие сезонной компоненты в переменной.Если сезонность имеет детерминированный характер,то достаточно добавить в регрес-

сию фиктивные сезонные переменныеÑэто не изменяет асимптотического рас- пределенияADF-статистики.Для случая стохастической сезонности также есть специальные модификации критерия.

До сих пор рассматривались критерии I(1) против I(0).Временной ряд может быть интегрированным и более высокого порядка.Несложно понять,что критерии I(2) против I(1) сводятся к рассмотренным,если взять не уровень исследуемого ряда,а первую разность.Аналогичный подход рекомендуется для более высоких порядков интегрирования.

Имитационные эксперименты,проведенные Сэдом и Дики,показали,что следует проверять гипотезы последовательно,начиная с наиболее высокого порядка интегрирования,который можно ожидать априорно.То есть сначала следует проверить гипотезу о том,что ряд является I(2),и лишь после этого,если гипотеза отвергнута,что он является I(1).

17.5.Коинтеграция.Регрессии с интегрированными переменными

Как уже говорилось выше,привычные методы регрессионного анализа не подходят,если переменные нестационарны.Однако не всегда при применении МНК имеет место эффект ложной регрессии.

Говорят,что I(1)-процессы {x1t } и {x2t } являются коинтегрированными порядка 1 и 0,коротко CI(1, 0),если существует их линейная комбинация,которая является I(0),т.е.стационарна.Таким образом,процессы {x1t } и {x2t },интегрированные первого порядка I(1), Ñкоинтегрированы,если существует коэффициент λ такой,что x1t − λx2t I(0).Понятие коинтеграции введено Грейнджером в1981г.и использует модель исправления ошибок.Коинтегрированные процессы {x1t } и {x2t } связаны между собой долгосрочным стационарным соотношением, и предполагается,что существует некий корректирующий механизм,который при отклонениях возвращает x1t и x2t к их долгосрочному отношению.

Если λ = 1,торазность x1t −x2t будетстационарнойи,грубоговоря, x1t и x2t будутдвигатьсяÇпараллельноÈвовремен и.Нарисунке17.2изображеныдве такие коинтегрированные переменные,динамика которых задана моделью исправления ошибок:

где ε1t и ε2t Ñнезависимые случайные величины,имеющие стандартное нормальное распределение.

Если переменные в регрессии не стационарны,но действительно связаны друг с другом стационарной линейной комбинацией(модель специфицирована верно), то полученные оценки коэффициентов этой линейной комбинации будут на самом деле сверхсостоятельными,т.е.будут сходиться по вероятности к истинным коэффициентам√со скоростью,пропорциональной не квадратному корню количества наблюдений T ,какврегрессиисостационарнымипеременными,асоскоростью, пропорциональной просто количеству наблюдений T .Другими словами,в обычнойрегрессии √T (λ −λ) имеетневырожденноеасимптотическоераспределение, где λ Ñполученная из регрессии оценка λ,а в регрессии с I(1)-переменными T (λ − λ) имеет невырожденное асимптотическое распределение.

Обычные асимптотические аргументы сохраняют свою силу,если речь идет об оценках параметров краткосрочной динамики в модели исправления ошибок. Таким образом,можно использовать t-статистики,получаемые обычным методом наименьших квадратов,для проверки гипотез о значимости отдельных переменных.Важно помнить,что это относится к оценкам краткосрочных параметров.

Этот подход не годится для проверки гипотез о коэффициентах коинтеграционной комбинации.

Определение коинтеграции естественным образом распространяется на случай нескольких переменных произвольного порядка интегрирования.Компоненты k-мерного векторного процесса xt = (x1t , . . . , xkt) называют коинтегрированными порядка d и b,что обозначается xt CI(d, b),если

1)каждая компонента xit является I(d), i = 1, . . . , k;

2)существует отличный от нуля вектор β,такой что xt β I(d −b), d " b > 0.

Вектор β называют коинтегрирующим вектором.

560 Интегрированные процессы...

Коинтегрирующий вектор определенс точностью до множителя.В рассмотренном ранее примере коинтегрирующий вектор имеет вид β = (−1, λ).Его можно

17.6.Оценивание коинтеграционной регрессии: подход ЭнглаÑГрейнджера

Если бы коэффициент λ был известен,то выяснение того,коинтегрированы ли переменные x1t и x2t ,было бы эквивалентно выяснению того,стационарна ли комбинация x1t − λx2t (например,с помощью критерия ДикиÑФуллера). Но в практических ситуациях обычно стационарная линейная комбинация неизвестна.Значит,необходимооценитькоинтегрирующийвектор.Послеэтогоследует выяснить,действительнолиэтотвектордаетстационарнуюлинейнуюкомбинацию.

Простейшимметодомотысканиястационарнойлинейнойкомбинацииявляется метод ЭнглаÑГрейнджера.Энгл и Грейнджер предложили использовать оценки, полученные из обычной регрессиис помощью метода наименьших квадратов.Одна из переменных должна стоять в левой части регрессии,другаяÑв правой:

x1t = λx2t + εt .

Для того чтобы выяснить,стационарна ли полученная линейная комбинация, предлагается применить метод ДикиÑФуллера к остаткам из коинтеграционной регрессии.Нулевая гипотеза состоит в том,что εt содержит единичный корень, т.е. x1t и x2t не коинтегрированы.Пусть et Ñостатки из этой регрессии.Проверка нулевой гипотезы об отсутствии коинтеграции в методе ЭнглаÑГрейнджера проводится с помощью регрессии:

Статистика ЭнглаÑГрейнджера представляет собой обычную t-статистику для проверки гипотезы ϕ = 1 в этой вспомогательной регрессии.Распределение статистики ЭнглаÑГрейнджера будет отличаться(даже асимптотически), от распределенияDF-статистики,но имеются соответствующие таблицы.Если мы отклоняем гипотезу об отсутствии коинтеграции,то это дает уверенность в том, что полученные результаты не являются ложной регрессией.

Игнорированиедетерминированныхкомпонентведеткневернымвыводамокоинтеграции.Чтобы этого избежать,в кои нтеграционную регрессию следует добавить соответствующие переменныеÑконстанту,тренд,квадрат тренда,сезонные