Основная часть

1 Уравнения поперечных колебаний стержней и связанные с ними краевые задачи, учитывающие точечные взаимодействия в неконцевых точках

Поперечные колебания стержней с различными видами закреплений их концов широко применяются в различных отраслях современной техники. В промышленном и гражданском строительстве это покрытия, перекрытия, рабочие площадки, некоторые виды фундаментов; в машиностроении – элементы технологического оборудования. Указанные конструкции подвергаются разнообразным статическим и динамическим воздействиям, при этом их характеристики могут в процессе эксплуатации изменяться, что не желательно. В данном разделе приводятся некоторые математические модели поперечных колебании стержней с различными видами закреплении и учитывающие точечные взаимодействия во внутренних точках. Приведенные моделей позволяют анализировать собственные частоты и собственные формы поперечных колебаний стержней. В дальнейшем на основе указанных модели проводятся диагностика физических характеристик стержней и условии закреплении их концов.

1. Поперечные колебания стержней

Уравнение поперечных колебаний стержня длины при записывается в виде

Рисунок 1.1.1 - Поперечное сечение стержня

Если записывать уравнения теории упругости, то в случае стержня должны фигурировать и соответствующие дифференциальные уравнения имеют второй порядок [11].

Обычно от избавляются в силу естественных предположений, но при этом повышается порядок уравнения. Причем при разных предположениях (Кирхгова-Лява , Тимошенко) порядки дифференциальных уравнений могут повышаться на разных величины. В данной работе нами выбран случай, когда порядок дифференциального уравнения равен 4. [12]

В дальнейшем нам необходимы физические смысли величин, входящих в уравнение (1.1.1)

- плотность материала;

- площадь поперечного сечения;

- поперечное перемещение;

- модуль Юнга;

- момент инерции площади поперечного сечения относительно нейтральной оси;

- поперечная нагрузка.

Свободные поперечные колебания стержня соответствуют случаю . В дальнейшем мы исследуем задачи связанные со свободными колебаниями стержня, то есть у нас всюду. Обычно, концы стержня каким-либо образом закрепляются. В зависимости от вида закрепления концов стержня имеем различные краевые условия. Приведем несколько примеров закрепления концов стержня (Рисунок 1.1.2)

Рисунок 1.1.2 - Различные виды закрепления колеблющегося стержня,

лист 1

Рисунок 1.1.2, лист 2

В первом случае левый конец стержня жестко защемлен, а правый конец стержня свободен:

.

Во втором случае конец стержня с обеих сторон шарнирно закреплен:

.

В третьем случае осуществлено с обеих сторон упругое закрепление стержня.

Здесь при описании левого конца стержня на величину возникает поперечная сила, где- коэффициент жесткости пружины. Следовательно, на левом конце

.

На правом конце стержня возникает опорная реакция

.

Таким образом, если оба конца стержня упруго закреплены, то возникают следующие краевые условия:

В четвертом случае левый конец стержня закреплен шарнирно, а правый конец стержня упруго закреплен:

Выше выписанные краевые условия являются локальными краевыми условиями, то есть эти условия дают ограничения в одной точке. Также могут возникать нелокальные краевые условия, которые связывают значения на обоих концах. К примеру, на рисунке 1.1.3 связь между правым и левым концами стержня осуществляется с помощью каната, растянутого силой . В этом случае краевые условия будут иметь вид

,

.

Рисунок 1.1.3 - Нелокальные краевые условия и их реализация.

На рисунке 1.1.4 приведены более сложные краевые условия, где связь осуществляется с помощью каната и нескольких пружин. В этом случае если левый и правый концы стержня упруго закреплены, то нелокальные краевые условия будут иметь вид

.

Рисунок 1.1.4 - Реализация краевых условий с помощью пружин и каната

2. Поперечные колебания стержней при наличии сосредоточенных масс

В реальных конструкциях часто возникает проблема учета сосредоточенных масс на стержне. В точке, где находится сосредоточенная масса, уравнение поперечных колебаний стержня нарушается. Хотя уравнение поперечных колебаний левей и правей этой точки сохраняется. Что же происходит в той точке, где сосредоточена масса?

В данном пункте дается ответ на поставленный вопрос. Естественно, что частоты поперечных колебаний стержня без сосредоточенной массы и с массой существенно разнятся. Следует иметь в виду, что во время эксплуатаций стержня под влиянием внешних воздействий может измениться величина сосредоточенной массы. В результате чего изменяются и частоты колебаний. По изменившимся частотам можно судить о величине сосредоточенной массы, то есть можно проводить диагностику.

Рассмотрим опертый на концах стержень длины с модулем Юнга, моментом инерции площади поперечного сечения относительно нейтральный оси ,плотностью материала и площадью поперечного сечения Стержень на расстоянииот опоры нагружен массой (рисунок 1.2.1).

Рисунок 1.2.1 - Реализация внутренне краевых условий с помощью нагруженной массой

Чтобы написать уравнение поперечных колебаний стержня возьмем ось , совпадающей с неотклоненной осью стержня. Поперечное малое отклонение обозначается через . На элемент стержня в отклоненном положении, кроме силы инерции, действует сосредоточенная сила создаваемая массой . Так что выражение силы будет иметь вид

где - хорошо известная дельта-функция Дирака, сосредоточенная в точке.

Из последнего соотношения следует, что

Заметим, что в точке выполняются также условия

Поскольку смещение, напряжение и момент остаются непрерывными в этой точке.

Для простаты считаем, что на концах стержня имеем следующие краевые условия:

В принципе, можно выбирать другие краевые условия. Решение ищем в следующем виде

В этом случае

Тогда исходное уравнение поперечных колебаний стержня при −перепишется в виде

(1.2.1)

В силу произвольности отсюда вытекает

Причем соответствующие краевые условия принимут вид:

В случае, когда являются определенными константами, мы получим спектральную задачу вдоль стержня длиныследующего вида:

(1.2.2)

(1.2.3)

(1.2.4) (1.2.5)

(1.2.6)

(1.2.7)

(1.2.8)

(1.2.9)

(1.2.10)

Здесь и в дальнейшем всюду обозначение означает скачок функции в точке .

Обозначим через

Тогда рассматриваемое дифференциальное уравнение примет следующий вид:

Ниже в пункте 2.1 исследована задача определения частот поперечных колебании однородного стержня с сосредоточенной массой в одной точке стержня.

1.3 Поперечные колебания стержней с точечными упругими связями

В реальных конструкциях часто возникаем проблема учета точечных упругих связей в неконцевых точках стержня. В точке, где находится точечная упругая связь, уравнение поперечных колебаний стержня нарушается. Хотя уравнение поперечных колебаний левей и правей этой точки сохраняется. Что же происходит в той точке, где сосредоточена упругая связь?

В данном пункте дается ответ на поставленный вопрос. Естественно, что частоты поперечных колебаний стержня без точечной упругой связи и при наличии связи существенно разнятся. Следует иметь в виду, что во время эксплуатаций стержня под влиянием внешних воздействий может измениться коэффициент жесткости пружины. В результате чего изменяются и частоты колебаний. По изменившимся частотам можно судить о коэффициенте жесткости пружины, то есть можно проводить диагностику.

Рассмотрим опертый на концах стержень длины с модулем Юнга, моментом инерции площади поперечного сечения относительно нейтральный оси ,плотностью матерала и площадью поперечного сечения (Рисунок 1.3.1).

Рисунок 1.3.1 - Учет точечной упругой связи в неконцевой точке стержня

Чтобы написать уравнение поперечных колебаний стержня возьмем ось , совпадающей с неотклоненной осью стержня. Поперечное малое отклонение обозначается через . На элемент стержня в отклоненном положении, кроме силы инерции, действует упругая сила создаваемая пружиной жесткости . Так что выражение момента прибудет иметь вид

Аналогично выражение момента при будет иметь вид

Из последнего соотношения следует, что

Заметим, что в точке выполняются также условия

Для простоты считаем, что на концах стержня имеем следующие краевые условия:

В принципе,на концах стержня можно выбирать и другие краевые условия. Решение ищем в следующем виде

Тогда соответственно имеем

Тогда исходное уравнение поперечных колебаний стержня при −перепишется в виде

(1.3.1)

В силу произвольности отсюда вытекает

Причем соответствующие краевые условия принимут вид:

В случае, когда являются определенными константами, мы получим спектральную задачу вдоль стержня длиныследующего вида:

(1.3.2)

(1.3.3)

(1.3.4) (1.3.5)

(1.3.6)

(1.3.7)

(1.3.8)

(1.3.9)

(1.3.10)

Здесь и в дальнейшем всюду обозначение означает скачок функции в точке .

Обозначим через

Тогда рассматриваемое дифференциальное уравнение примет следующий вид:

Ниже в пункте 2.2 исследована задача определения частот поперечных колебании однородного стержня с учетом точечной упругой связи во внутренней точке стержня.

3. Поперечные колебания стержней при скачкообразном изменений напряжений

В реальных конструкциях часто возникает проблема учета скачкообразного изменении напряжений в неконцевых точках стержня. В точке, где скачкообразно меняется напряжение, уравнение поперечных колебаний стержня нарушается. Хотя уравнение поперечных колебаний левей и правей этой точки сохраняется. Что же происходит в той точке, где скачкообразно изменяется напряжение?

В данном пункте дается ответ на поставленный вопрос. Естественно, что частоты поперечных колебаний стержня без скачкообразных изменений напряжений и при наличии скачка существенно разнятся. Следует иметь в виду, что во время эксплуатаций стержня под влиянием внешних воздействий могут скачкообразно меняться свойства материала, из которого сделан стержень. В результате чего изменяются и частоты колебаний. По изменившимся частотам можно судить о величине скачкообразного изменения напряжений, то есть можно проводить диагностику.

Рассмотрим опертый на концах стержень длины с модулем Юнга, моментом инерции площади поперечного сечения относительно нейтральный оси ,плотностью матерала и площадью поперечного сечения (Рисунок 1.4.1).

Рисунок 1.4.1 - Моделирование внутренне краевых условий при при скачкообразном изменений напряжений

Чтобы написать уравнение поперечных колебаний стержня возьмем ось , совпадающей с неотклоненной осью стержня. Поперечное малое отклонение обозначается через . На элемент стержня в отклоненном положении, кроме силы инерции, влияет скачкообразное изменение напряжении. Так что выражение напряжений будет иметь вид

где - хорошо известная дельта-функция Дирака, сосредоточенная в точке.

Из последнего соотношения следует, что

Заметим, что в точке выполняются также условия

Для простоты считаем, что на концах стержня имеем следующие краевые условия:

В принципе, на концах стержня можно выбирать и другие краевые условия. Решение ищем в следующем виде

Тогда исходное уравнение поперечных колебаний стержня при −перепишется в виде

(1.4.1)

В силу произвольности отсюда вытекает

Причем соответствующие краевые условия принимут вид:

В случае, когда являются определенными константами, мы получим спектральную задачу вдоль стержня длиныследующего вида:

(1.4.2)

(1.4.3)

(1.4.4) (1.4.5)

(1.4.6)

(1.4.7)

(1.4.8)

(1.4.9)

(1.4.10)

Обозначим через

Тогда рассматриваемое дифференциальное уравнение примет следующий вид:

Ниже в пункте 2.3 исследована задача определения частот поперечных колебании однородного стержня при скачкообразном изменении напряжения.

Заметим, что продольны изгиб стержня, защемленного на одном конце и шарнирно опертого на другом исследованы в работе [13].

2. Вычисление частот поперечных колебаний стержней при различных точечных взаимодеиствиях

В первом разделе показаны как моделируются внутренне точечные связи при исследовании поперечных колебаний стержней. В данном разделе разработаны конструктивные алгоритмы определения частот поперечных колебаний стержней с учетом различных точечных взаимодействии.

1. Вычисление частот поперечных колебаний стержней при наличии сосредоточенных масс

В пункте 1.2 показано, что колебания стержня при наличии сосредоточенной массы моделируется уравнением

где

краевыми условиями

(1.2.7)

(1.2.8)

(1.2.9)

(1.2.10)

а также наличие сосредоточенной массой учитывается следующими внутренне краевыми условиями

(1.2.3)

(1.2.4) (1.2.5)

(1.2.6)

При решение уравнения ищем в виде

Из условий на левом конце стержня (1.2.7)-(1.2.8) вытекает, что

При решение уравнения ищем в виде

Из условий на левом конце стержня (1.2.9)-(1.2.10) вытекает, что

Для нахождения величин Сучтем условия (1.2.3) – (1.2.6) . В результате нули следующего характеристического определителя

означают собственные значения соответствующей краевой задачи. Таким образом, сначала находим нули характеристического определителя, а затем вычисляем частоты по формуле

Приведем программу вычисления частот.

Расчет собственных частот стержня с учетом сосредоточенных масс

Вычисление частот поперечных колебаний стержня с сосредоточенной массой

>

ввод физических характеристик стержня

материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2= EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y (∓

EJ

>

>

>

>

>

> Вычисление частот собственных колебаний

Приведем пример вычисления частот.

Расчет собственных частот стержня с учетом сосредоточенных масс

Вычисление частот поперечных колебаний стержня с сосредоточенной массой

>

ввод физических характеристик стержня

материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2= EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y (∓

EJ

>

>

>

>

Warning, solutions may have been lost

>

> Вычисление частот собственных колебаний

Таблица 1 - Расчет собственных частот стержня с учетом сосредоточенных масс

6	3	0.5	62.81437179
6	3	0	6.979661923
6	1	0.5	6.979824276

2.2 Вычисление частот поперечных колебаний стержней с точечными упругими связями

В пункте 1.3 показано, что колебания стержня с точечными упругими связями моделируется уравнением

(1.3.2)

где

краевыми условиями

(1.3.7)

(1.3.8)

(1.3.9)

(1.3.10)

а также наличие упругой силой создаваемой пружиной жесткости учитывается следующими внутренне краевыми условиями

(1.3.3)

(1.3.4) (1.3.5)

(1.3.6)

Заметим, что в работе [14] внутренне краевые условия (1.3.3)-(1.3.6) написаны для обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков, а работе [15] исследованы биортогональные свойства систем корневых функций, порождаемых обыкновенными дифференциальными операторами второго порядка.

При решение уравнения ищем в виде

Из условий на левом конце стержня (1.3.7)-(1.3.8) вытекает, что

При решение уравнения ищем в виде

Из условий на левом конце стержня (1.3.9)-(1.3.10) вытекает, что

Решение ищем в виде

при

при .

Из внутренне краевых условий (1.3.4) и (1.3.6) вытекает

В результате получаем эквивалентную систему

Откуда можно записать соотношение

где ипроизвольные постоянные. Для определенияииспользуем внутренне краевые условия (1.3.5)-(1.3.3.).

Учитывая соотношение (2.2.1), получаем систему однородных алгебраических уравнений относительно и.

Отсюда видно, что характеристический определитель примет вид

означают собственные значения соответствующей краевой задачи. Таким образом, сначала находим нули характеристического определителя, а затем вычисляем частоты по формуле

Приведем программу вычисления частот.

Расчет собственных частот поперечных колебаний стержней с точечными упругими связями.

Вычисление частот поперечных колебаний стержня с точечными упругими связями.

>

ввод физических характеристик стержня

материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2= EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y (∓

EJ

>

>

>

>

>

>

> Вычисление частот собственных колебаний

Приведем пример вычисления частот.

Расчет собственных частот поперечных колебаний стержней с точечными упругими связями.

Вычисление частот поперечных колебаний стержня с точечными упругими связями.

>

ввод физических характеристик стержня

материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2= EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y (∓

EJ

>

>

>

>

>

Warning, solutions may have been lost

>

> Вычисление частот собственных колебаний

В заключении приведем расчетные значения частот поперечных колебаний при изменении коэффициента упругости и точки приложения упругой точечной связи

Таблица 2 - Вычисление частот поперечных колебаний стержня с точечными упругими связями

6	1	100	27.3848
6	1	10	27.8658
6	3	100	2.9910
6	3	10	6.6918

2.3 Вычисление частот поперечных колебаний стержней при скачкообразном изменении напряжений

В пункте 1.4 показано, что колебания стержня при скачкообразном изменении напряжений моделируется уравнением

(1.4.2)

где

краевыми условиями

(1.4.7)

(1.4.8)

(1.4.9)

(1.4.10)

а также наличие упругой силой создаваемой пружиной жесткости учитывается следующими внутренне краевыми условиями

(1.4.3)

(1.4.4) (1.4.5)

(1.4.6)

Заметим, что в работе [16] выписаны внутренне краевые условия для оператора Лапласа.

При решение уравнения ищем в виде

Из условий на левом конце стержня (1.4.7)-(1.4.8) вытекает, что

При решение уравнения ищем в виде

Из условий на левом конце стержня (1.4.9)-(1.4.10) вытекает, что

Решение ищем в виде

при

при .

Точно также как в пункте 2.2 получаем, что

где ипроизвольные постоянные. Для нахожденияииспользуем внутренне краевые условия

В дальнейшем считаем, что и- постоянные величины, то есть не зависят от. Величина скачкане зависит от. В результате получаем систему алгебраических уравнении

Заменяя их значениями черези, получаем систему однородных алгебраических уравнений относительнои.

где

.

Отсюда вытекает, что характеристический определитель имеет представление

означают собственные значения соответствующей краевой задачи. Таким образом, сначала находим нули характеристического определителя, а затем вычисляем частоты по формуле

Приведем программу вычисления частот.

Расчет собственных частот поперечных колебаний стержней при скачкообразном изменении напряжений.

Вычисление частот поперечных колебаний стержня при скачкообразном изменении напряжений

>

ввод физических характеристик стержня

материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2= EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y (∓

EJ

>

>

>

>

>

>

> Вычисление частот собственных колебаний

Приведем пример вычисления частот.

Расчет собственных частот поперечных колебаний стержней при скачкообразном изменении напряжений.

Вычисление частот поперечных колебаний стержня при скачкообразном изменении напряжений

>

ввод физических характеристик стержня

материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2= EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y (∓

EJ

>

>

>

>

>

Warning, solutions may have been lost

>

> Вычисление частот собственных колебаний

>

>

В заключении приведем расчетные значения частот поперечных колебаний при скачкообразном изменении напряжений и точки приложения упругой точечной связи

Таблица 3 - Вычисление частот поперечных колебаний стержня при скачкообразном изменении напряжений

6	2		28.2307
6	3		7.3798
6	3		14.139
6	1		8.4451

Заметим, что в работе [17] рассматриваются асимптотические методы решения задач колебаний балок и пластин, где основное внимание уделено гомотопическому методу возмущений, который основывается на введении искусственного малого параметра. Также исследованы нелинейные колебания систем с распределенными параметрами, в которых возникают внутренние резонансы.

3 Обратные внутренне краевые задачи для уравнения поперечных колебаний стержней и их классификация

Под прямой задачей понимают прогнозирование последствий каких-либо действий, а под обратной задачей понимают задачу выяснения того, что явилось причиной этих последствий. Так, например, на первом и во втором разделах мы исследовали уравнения поперечных колебаний стержней и связанные с ними краевые задачи, учитывающие точечные взаимодействия в неконцевых точках. Вычисляли частоты поперечных колебаний стержней при различных точечных взаимодействиях – это прямая задача. Допустим, что теперь частота поперечных колебаний стержней с различными точечными связями известна и надо определить одну из физических величин, которые были известны при решении прямых задач – это обратная задача.

В терминах «причина-следствие» можно сказать, что прямая задача – это определение следствий по причине, а обратная – определение причины по следствию. В некоторых случаях деление на прямые и обратные задачи весьма условно. Однако так уж сложилось, что в математике, механике и физике под прямыми задачами понимают те задачи, которые начали изучать раньше и которые ныне уже являются классическими. Исходными данными в таких задачах выступают коэффициенты дифференциальных уравнений, физические величины, которые составляют граничные условия. В обратных задачах наоборот: решения краевых задач на некотором множестве или собственные значения краевых задач выступают в качестве исходных данных, а в качестве искомых данных выбираются либо коэффициенты дифференциальных уравнений, либо физические величины из граничных условий.

К настоящему времени сложилось следующая условная классификация обратных задач [18].

1. Ретроспективные обратные задачи – задачи определения начального состояния по некоторым функционалам или операторам от решения.

2. Коэффициентные обратные задачи – задачи определения коэффициентов дифференциальных операторов. Первой работой, посвященной определению потенциала по собственным значениям является обратная задача Штурма-Лиувилля, опубликованная В.А. Амбарцумяном [19].

3. Граничные обратные задачи – задачи об определении граничных условий.

4. Геометрические обратные задачи – задачи об определении области, где происходит физическое явление.

5. Обратные задачи смешанных типов – задачи, в которых неизвестными являются несколько факторов из 1-4.

Термин обратные спектральные задачи уже устоялся [20]. Под граничными обратными спектральными задачами мы будем понимать задачи идентификации граничных условий по известному дифференциальному уравнению и известным собственным значениям. Причем, слово идентификация будет использоваться в этой книге в обоих смыслах, принятых в науке: 1) опознание, диагностика; 2) создание оптимальной в каком-либо смысле модели [21], [8].

3.1 Обратные задачи для поперечных колебаний стержней при наличии собственных частот

В пункте 2.1 вычислены собственные частоты колебания стержня при наличии сосредоточенной массы. То есть, решена следующая спектральная

где

краевые условия

(1.2.7)

(1.2.8)

(1.2.9)

(1.2.10)

а также внутренне краевые условия

(1.2.3)

(1.2.4) (1.2.5)

(1.2.6)

В данном пункте рассмотрим обратную задачу, то есть при наличии собственных частот колебания стержня необходимо определить сосредоточенную массу. Для этого существенную роль играет явная формула характеристического определителя, где входить величина сосредоточенной массы:

Известно, что собственные значения определяются соотношением

Считаем, что известны собственные частоты и физические величины, кроме сосредоточенной массы. С учетом известных данных, найдем значение сосредоточенной массы вдоль стержня.

Приведем программу вычисления сосредоточенной массы .

Расчет величин сосредоточенной массы с различными собственными частотами поперечных колебаний стержней.

Вычисление величин сосредоточенной массы с различными собственными частотами поперечных колебаний стержня.

>

ввод физических характеристик стержня материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

k означает частоту поперечных колебаний

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2=EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y(∓)=0;

EJ

Характеристический определитель

>

>

>

>

Приведем пример вычисления сосредоточенной массы.

Расчет величин сосредоточенной массы с различными собственными частотами поперечных колебаний стержней.

Вычисление величин сосредоточенной массы при различных собственных частот поперечных колебаний стержня.

>

ввод физических характеристик стержня материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

k означает частоту поперечных колебаний

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2=EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y(∓)=0;

EJ

Характеристический определитель

>

>

>

>

Как видно из вычисления обратная задача решена, то есть по известным физическим данным нам удалось восстановить величину сосредоточенной массы.

В работе [22] рассматривается метод решения обратной задачи, касающейся восстановления и оценки физических свойств механических систем по известным спектральным данным. В частности, описывается метод, с помощью которого можно судить о величине сосредоточенной массы в системе с одной степенью свободы по собственной частоте изгибных колебаний.

3.2 Обратные задачи для поперечных колебаний стержней c точечными упругими связями

В пункте 2.2 вычислены собственные частоты колебания стержня при изменении коэффициента упругостии точки приложения упругой точечной связи. То есть, решена следующая спектральная

(1.3.2)

где

краевыми условиями

(1.3.7)

(1.3.8)

(1.3.9)

(1.3.10)

а также внутренне краевыми условиями

(1.3.3)

(1.3.4) (1.3.5)

(1.3.6)

В данном пункте рассмотрим обратную задачу, то есть при наличии собственных частот колебания стержня необходимо определить коэффициент упругости. Для этого существенную роль играет явная формула характеристического определителя, куда входить величина коэффициента упругости:

Известно, что собственные значения определяются соотношением

Считаем, что известны собственные частоты и физические величины, кроме коэффициента упругости . С учетом известных данных, найдем значение коэффициента упругостивдоль стержня.

Приведем программу вычисления коэффициента упругости .

Расчет величин коэффициента упругости с различными собственными частотами поперечных колебаний стержней.

Вычисление величин коэффициента упругости с различными собственными частотами поперечных колебаний стержня.

>

ввод физических характеристик стержня материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

k означает частоту поперечных колебаний

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2=EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y(∓)=0;

EJ

Характеристический определитель

>

>

>

>

Приведем пример вычисления коэффициента упругости.

Расчет величин коэффициента упругости с различными собственными частотами поперечных колебаний стержней.

Вычисление величин коэффициента упругости с различными собственными частотами поперечных колебаний стержня.

>

ввод физических характеристик стержня материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

k означает частоту поперечных колебаний

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2=EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y(∓)=0;

EJ

Характеристический определитель

>

>

>

>

Как видно из вычисления обратная задача решена, то есть по известным физическим данным нам удалось восстановить коэффициент упругости.

3.3 Обратные задачи для поперечных колебаний стержней при скачкообразном изменении напряжений

В пункте 2.3 вычислены собственные частоты колебания стержня прискачкообразном изменении напряжений. То есть, решена следующая спектральная

(1.4.2)

где

краевыми условиями

(1.4.7)

(1.4.8)

(1.4.9)

(1.4.10)

а также внутренне краевыми условиями

(1.4.3)

(1.4.4) (1.4.5)

(1.4.6)

В данном пункте рассмотрим обратную задачу, то есть при наличии собственных частот колебания стержня необходимо определить величину напряжении. Для этого существенную роль играет явная формула характеристического определителя, куда входить величина напряжений:

,

где

.

Известно, что собственные значения определяются соотношением

Считаем, что известны собственные частоты и физические величины, кроме величины напряжений. С учетом известных данных, найдем величину напряжений вдоль стержня.

Приведем программу вычисления напряжений.

Расчет величин напряжений с различными собственными частотами поперечных колебаний стержней.

Вычисление величин напряжений с различными собственными частотами поперечных колебаний стержня.

>

ввод физических характеристик стержня материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

k означает частоту поперечных колебаний

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2=EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y(∓)=0;

EJ

Характеристический определитель

>

>

>

>

Приведем пример вычисления напряжений.

Расчет величин напряжений с различными собственными частотами поперечных колебаний стержней.

Вычисление величин напряжений с различными собственными частотами поперечных колебаний стержня.

>

ввод физических характеристик стержня материал алюминий

>

круглое сечение

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

k означает частоту поперечных колебаний

p означает спектральный параметр

связь между ними k^2=EJp^4/(ρA)

Случай, когда концы стержня шарнирно закреплены

y(∓)=0;

EJ

Характеристический определитель

>

>

>

>

Как видно из вычисления обратная задача решена, то есть по известным физическим данным нам удалось восстановить величину скачкообразного напряжения.

4 Различные обобщения результатов предыдущих разделов и их применений

В этом разделе результаты разделов 1, 2 и 3 обобщаются на случай пластин, тонких оболочек и электрических систем. Тонкие оболочки обычно моделируют трубопроводные системы с достаточно большими диаметрами.

4.1 Уравнение колебаний тонких пластин с учетом точечных связей

Пусть справедливы обычные линейные предположения теории тонких пластин, а также сформулированные ниже предположения об «упругости»; из них сразу же следует справедливость принципа Дюамеля [11]. Предполагается, что пластина занимает компактную односвязную область евклидова пространства. Внутренность областимы будем обозначать через, а границу – через. Границасостоит из гладких жордановых кривых.

Введем обозначения и поясним их физический смысл:

- декартовы координаты в ;

- время.

Пластина занимает область , плоскость областипорождается координатами;

- перемещения в направлениях осей исоответственно;

- поперечная скорость;

- модуль Юнга ();

- коэффициент Пуассона ();

- толщина пластины (в);

- изгибная жесткость;

- массовая плотность (масса на единицу площади);

- единичный вектор в направлении внешней нормали к ;

- единичный вектор в направлении, тангенциальном к ;

- приращение длины;

- линейные относительные деформации;

- напряжения (напряженное состояние предполагается двумерным);

- удельные моменты;

- удельные нормальные силы;

- удельные поперечные силы;

- кинетическая энергия;

- энергия деформации;

- полная энергия ().

Перемещения удовлетворяют следующим предположениям «упругости»:

1) Для фиксированного функциии их временные производныеимеют вчастные производные первого и второго порядка пои.

2) Двумерные компоненты деформации являются дважды дифференцируемыми функциями почти всюду в .

3) Для любых фиксированных ифункциянепрерывно дифференцируема по.

4) Функции иограничены, измеримы пои интегрируемы с квадратом в(для каждого фиксированного значения). Здесьобозначает оператор Лапласа, аопределяется по формуле

Рассмотрим управление демпфированием или возбуждением колебаний пластин в рамках классической теории тонких пластин малых отклонений (следуя Лагранжу). Предположения, соответствующие этой упрощенной модели, таковы:

1) Справедлив закон Гука.

2) Угол наклона отклоненной пластины в любом направлении достаточно мал, так что его квадрат по сравнению с единицей довольно мал и им можно пренебречь.

3) Срединная поверхность отклоненной пластины является нейтральной, т.е. действие нормальных напряжений на срединную поверхность не учитывается.

4) Компонентами нормальных напряжений в пластине, перпендикулярными к ее срединной поверхности, можно пренебречь.

5) Нормаль к срединной плоскости недеформированной пластины остается нормалью к срединной поверхности отклоненной пластины.

Выведем основные уравнения рассматриваемой задачи. Предположения 2-5 наводят на мысль, что пластину можно рассматривать как подмножество евклидовой плоскости , а перемещенияв направлениях декартовых координати(из) соответственно является линейными функциями от, т.е. функциями расстояния от срединной поверхности пластины:

Сделаем теперь краткий обзор формальных выводов теории малых отклонений. Здесь есть отклонение пластины, т.е. перемещение в направлении оси. Компоненты деформации задаются обычными линейными аппроксимациями:

(4.1.1)

В силу предположения 3 влиянием компонент деформаций следует пренебрегать.

Мы предполагаем, что справедлив закон Гука:

(4.1.2)

где - модуль Юнга, а- коэффициент Пуассона. Разрешая соотношения (4.1.2) относительнои подставляя формулы (4.1.1), получаем

Рисунок 4.1.1 – Равновесия в удельных усилиях

Удельные моменты, действующие на единицу длины линии координат, определяются по формулам (рис.4.1.1):

где - толщина пластины, а- изгибная жесткость пластины, определяемая соотношением

Удельные поперечные силы (т.е. силы, нормальные к плоскости пластины) определяются по формулам:

Хорошо известно следующее уравнение малых прогибов теории тонких пластин:

,

где - внешняя нагрузка.

В дальнейшем будет обозначать область, занимаемую пластиной, а если не оговорено противное, тобудет связным компактным подмножеством евклидовой плоскости, граница которого- простая замкнутая жорданова кривая.

Рисунок 4.1.2 – Граница области

Приведем три основных типа граничных условий.

Защемленный край:

Свободно опертый край:

Свободный край: отсутствие внешних моментов и сил на свободном крае требует одновременного обращения в нуль ,ина части границы, которая является свободным краем. Еще Кирхгофпоказал, что эти три условия эквивалентны двум следующим условиям:

В случае, когда край оперт так, что опоры оказывают на него обратное действие с восстанавливающей силой , граничные условия примут вид

В частности, если , где- постоянная, имеем обычное упругое опирание.

Подобная задача о собственных колебаниях изучалась в монографии [13, стр 281], где предлагалась вариационная постановка и учитывались упругие точечные опоры и сосредоточечные массы.

Точечные связи приводят к собственным колебаниям, описываемых функциями у которых нарушается гладкость в тех точках, где находятся точечные связи. Подобные эффекты в атомной физике [23] приводят к явно решаемым моделям методом потенциалов нулевого радиуса. Операторная трактовка метода потенциалов нулевого радиуса дана в работах Л.Д. Фаддеева, Ф.А. Березина [24].

Рассмотрим однородную упругую изотропную пластину постоянной толщины , ограниченную гладким контуром. Пусть на пластине находитьсяточечно присоединенных масси она упруго и, соответственно, жестко оперта ви, соответственно,внутренних точках. Шарнирное опирание в точке может сочетаться с защемлением по любому направлению. Расположение опор и точечных масс в плоскости произвольно. Граничное условие на каждой стороне пластины может быть одним из следующих: шарнирное опирание, защемление или свободный край. На рисунке 4.1.3 показано расположение пластины относительно осей используемой системы координат, условное обозначение опор, защемлений, присоединенных масс, граничных условий. В дальнейшем изложении эти обозначения будут сохранены. Требуется определить собственные частоты и формы поперечных колебаний пластины.

При определении частот колебаний будем считать пластину тонкой (толщина мала по сравнению с остальными размерами).

а) б)

в)

Рисунок 4.1.3 – Пластины с точечными связями

В работе [25 ] доказана следующая теорема:

Теорема А Колебание однородной упругой изотропной пластины постоянной толщины , ограниченная прямоугольным контуром с размерами, к которой точечно присоединены массыввнутренних точках и ввнутренних точках она упруго оперта, а также в внутренних точкахжестко оперта или упруго защемлена, описывается дифференциальным уравнением

которое выполняется во всех точках пластины, где нет точечных связей, а в точечных связях справедливы многоточечные краевые условия:

в случае сосредоточенной массы

в случае упругой опоры

в случае шарнирного и жесткого опирания

Для единственности решения к указанным в теореме А многоточечным условиям надо добавить граничные условия.

Выписанные внутренне краевые условия позволяют вычислять собственные частоты поперечных колебаний пластины. Вычисления проводятся точно так же как это показано во втором разделе. Аналогично решается задача идентификации характеристик точечных взаимодействии пластин (см. раздел 3).

4.2 Различные обобщения результатов предыдущих раздел и применения в электрических систем

При расчете электрических цепей вначале необходимо правильно определить число узлов точек и независимых замкнутых контуров. Для того, чтобы правильно осуществить исследование электрической цепи, следует четко определить основные топологические понятия: независимый узел, независимое сечение, независимый контур. В результате вместо исследования реальной электрической цепи изучают так называемый ориентированный граф цепи. Подробные детали замены электрической цепи графом можно найти в книге [26]. С математическими моделями расчета электрических систем на компактных и некомпактных графах можно познакомится в работе [27].

Пусть задан какой-либо граф, скажем граф, изображенный на рисунке 4.2.1. Дальнейшие построения являются частным случаем общей процедуры. Рассмотрим симметричных операторов вс вещественными локально ограниченными измеримыми потенциалами

(4.2.1)

Образуем пространства иследующим образом:

(4.2.2)

,

И рассмотрим оператор на

. (4.2.3)

Рисунок 4.2.1 – Некомпактный граф

А) В узлах исходного графа согласно закону Кирхгофа задаются следующие граничные условия:

(4.2.4)

В) сумма производных по всем исходящим из узла плечам, вычисленная для каждого узла, равна нулю.

Для наша графа эти условия выглядят так:

(4.2.5)

Теорема (Герасименко Н.И., Павлов Б.С.). Дифференциальное выражение и граничные условия А, В определяют самосопряженный воператор.

Задачу о спектре оператора мы назовем далее задачей Штурма-Лиувилля на компактном графе Г.

Собственные числа ее, как и собственные числа обычной задачи Штурма-Лиувилля, являются корнями соответствующего «дисперсионного» уравнения.

Из полученного дисперсионного соотношения вычисляются собственные значения, которые зависят от электрических характеристик цепи.

Исследованы также задача идентификации электрических характеристик по заданным собственным значениям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями возникают при моделировании различных прикладных задач классической механике. Впервые такие задачи рассматривал еще А. Зоммерфельд. Классификация таких задач приведена в работе Нахушева А.М. Корректные сужения классических уравнений исследовал М.Отелбаев. Конечно, в первую очередь результаты М.Отелбаева важны для решения внутренних проблем математики. Для того чтобы расширить область применимости результатов М.Отелбаева необходимо их шире пропагандировать. Это в первую очередь касается практических задач из разных отраслей жизни. В данном отчете предпринята попытка обьяснения результатов М.Отелбаева на конкретных примерах механических, электрических и трубопроводных систем. Надеемся, что прикладники, механики и т.д. оценят наш вклад и заинтересуются теоретическими исследованиями математиков. С другой стороны, этот отчет полезен математикам, так как отсюда можно узнать об механических интерпретациях тех или иных исходных данных задачи.

В отчетном периоде нами показано, как моделируются механические системы с точечными или сосредоточенными связями. Оказывается, что такие связи нарушают гладкость решений и вследствие чего уравнение движения в этой точке перестает соблюдаться. В замен уравнению в этой точке возникают внутренне краевые условия.

Учет таких внутренне краевых условий позволяет выписать дисперсионные соотношения, которые связывают собственные частоты колебаний и физические характеристики в точке связи.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Биргер И.А. Техническая диагностика. – М.: Машиностроение, 1978. -239 с.

2 Вайнберг Д.В. Аналогия между задачами о плоском напряженном состоянии и об изгибе круглой пластины переменной толщины при несимметричной нагрузке // ПММ. – 1952. – Т.16. – С.749-752.

3 Ван Дер Мей К., Пивоварчик В.Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. Анализ и его приложения. – 2002. – Т.36, №4. – С.74-77.

4 Ваньков Ю.В., Казаков Р.Б., Яковлева Э.Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов // Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter .ru/eeaa/ejta/. – 2003/ - №5. – С.1-7.

5 Васильев Н.А., Дворников С.И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акустический журнал. – 2000. – Т.46, №3. – С. 424-426.

6 Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тело. – М.: Физматлит, 2007. – 224 с.

7 Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, 2009. – 184 с.

8 Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. – М.: Физматлит, 2009. – 272 с.

9 Бернулли (Bernoulli J.) Curvatura laminae elasticae, Acta Eruditorum, Lipsiae, 1964.

10 Timoshenko I.S. History of strength of materials, McGraw-Hill, New York.-1953. (Русский перевод: Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из теории упругости и теории сооружений. –М.: Гостехиздат, 1966. ).

11 Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. – М.: Мир, 1975. – 160 с.

12 Sokolnikoff I.S. Mathematical theory of elasticity. - Megram-Hill, New York, 1956. - p.239.

13 Коллатц Л. Задачи на собственные значения. – М.: Наук, 1968. – 504 с.

14 Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б., Токмагамбетов Н.Е. Аппроксимативные свойства систем корневых функций, порождаемые корректно разрешимыми краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков // Уфимск. матем. журн.- 2011,- 3(3). –С. 80–92.

15 Kanguzhin B.E. and Nurakhmetov D.B. On Properties of Systems of Root Functions of Well-Posed Boundary Value Problems for the Second Order Differential Operator // Int. Journal of Math. Analysis.- 2011, -Vol. 5, № 46. –Р. 2285 – 2294.

16 Кангужин Б.Е., Анияров А.А. Корректные задачи для оператора Лапласа в проколотом круге // Математические заметки. -2011. -Т. 89, №6. -С. 856—867.

17 Андрианов Н.В., Даншиевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин. – Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010. – 216 с.

18 Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. – 2000. – Т.46, №3. – С.424-426.

19 Ambarzumijan V.A. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zeithshrift fur Physik. 1929. N 53. S. 690-695.

20 Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. – М.: Физ-матлит, 2007. – 384с.

21 Политехнический словарь / Редкол.: А.Ю. Ишлинский (гл.ред.) и др. 3-е изд., перераб. И доп. –М.: Сов.энцикл., 1989.-656с.

22 Ахтямов А.М., Аюпова А.Р. О решении обратной задачи по восстановлению сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний // Электронный журнал «Техническая акустика» http: //www.ejta.org.

23 Бицадзе А.В. О некоторых свойствах полигармонических функций // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т.24, №5. - C.825-831.

24 Кокебаев Б.К., Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. К вопросам расширения и сужения операторов // Доклады АН СССР. – 1983. – Т. 271, №6. – С. 1307-1311.

25 Берикханова Г.Е., Кангужин Б.Е. Резольвенты конечномерных возмущенных корректных задач для бигармонического оператора // Уфимский математический журнал. -2010. -Т. 2, №1. -С. 17—34.

26 Осипов Ю.М., Борисов П.А. Методы расчета линейных электрических цепей. Учебное пособие по курсам электротехники и ТОЭ. – СПб: НИУ ИТМО, 2012. – 120 с.

27 Герасименко Н.И., Павлов Б.С. Задача рассеяние на некомпактных графах // ТМФ. -1988. – Т.74, №3. – С.345-359.

28 Анурьев В. И. Справочник конструктора-машиностроителя в 3т. Т. 1/В. И. Анурьев; 8-е изд., перераб и доп. Под ред. И. Н. Жестковой — М.: Машиностроение, 2001. — С. 34.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Значения модуля Юнга для некоторых материалов [28]

Материал	модуль Юнга E, ГПа	модуль Юнга E,
Алюминий	70
Бронза	75-125	75-125
Вольфрам	350	35
Германий	83	83
Дюралюминий	74	74
Иридий	520	52
Кадмий	50	5
Кобальт	210	21
Константан	163	163
Кремний	109	109
Латунь	95	95
Лёд	3	3
Магний	45	45
Манганин	124	124
Медь	110	11
Никель	210	21
Олово	35	35
Свинец	18	18
Серебро	80	8
Серый чугун	110	11
Сталь	210	21
Стекло	70	7
Титан	112	112
Фарфор	59	59

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Плотности некоторых материалов

Материал	Плотность 103 кг/м3	Материал	Плотность 103 кг/м3
Вода	1,0	Платина	21,46
Алюминий	2,7	Свинец	11,35
Бронза	8,7-8,9	Серебро	10,5
Ванадий	6,02	Сталь	7,7 - 7,9
Висмут	9,8	Тантал	16,6
Вольфрам	19,34	Титан	4,5
Германий	5,3	Уран	19,1
Дюралюминий	2,79	Хром	7,15
Железо	7,88	Цинк	7,15
Золото	19,31	Цирконий	6,5
Кобальт	8,8	Чугун	7,0
Кремний	2,3
Латунь	8,4 - 8,7
Магний	1,76
Медь	8,93
Молибден	10,2
Натрий	0,975
Никель	8,9
Олово	7,29

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Геометрические характеристики основных плоских сечений

Здесь: C - центр тяжести плоских сечений; A - площадь сечения; Ix , Iy - осевые моменты инерции сечения относительно главных осей; IxI , IyI - осевые моменты инерции относительно вспомогательных осей; Ip - полярный момент инерции сечения; Wx , Wy - осевые моменты сопротивления; Wp - полярный момент сопротивления Рисунок 1 - Прямоугольное сечение Рисунок 2 - Сечение равнобедренный треугольник Рисунок 3 - Сечение прямоугольный треугольник Рисунок 4 - Сплошное круглое сечение Рисунок 5 - Полукруглое сечение Рисунок 6 ­- Четверть круглого сечения Рисунок 7 - Кольцевое сечение Рисунок 8 - Тонкостенное сечение (сечение трубы)

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Список публикаций исполнителей темы за 2013 год

1. Kanguzhin B.E., Nurakhmetov D.B., Tulenov K.S. On an inverse prob-lem of transverse vibrations of rods. Applied Mathematical Sciences (рассматривается);

2. Kanguzhin B.,E., Nurakhmetov D.B. Approximation Properties of some Systems of Root Functions generated by Well-Posed solvable Boundary Value Problems. TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics. – 2013. – V.

3. Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б. Обратные внутренне краевые задачи для уравнения поперечных колебаний стержней и их классификация // Электронный журнал «Техническая акустика» (рассматривается).

ПРИЛОЖЕНИЕ Д