termeh_lections
.pdfрешении болыпввcrвa технических задач инерциальной можно считать систему отсчета, жестко cвsзaинyю с Землей.
IlpaкIически ВЮlОJПIение первoro закона динамики мы можем наБJJIOДЭ:ГЬ В случае paвHOвecIOl сил, дейcrвyющих на
материальноетело, Т.е. есJПI L F =о ,ТО V =const.
Второй закон (основной закон дииаМВICВ)
устававлввает, как измепется скорость точки прн действии на
вее какой-нибудь cllJJЦ а имеиио: произведевие массы
материальной ТОЧКИ на ускореиие, кoropoe она получает под действием данной сИJIЫ, равно по мо.цулю этой силе, а
направление ускорeJIШI совпa.z:щет с ваправлевием СИJIЫ.
Математичесп этот закон выражается вепориым
paвeнcrвoM
mii=F, |
(3.1) |
а зависимость между м:о.цуJDIМИ вeJПIЧИИ такова |
|
m-а=F. |
(3.1') |
Второй закон дивaмIIIЩ как н пеРВы:й:, имеет место
ТОЛЬКО по отиошеиию к ииерцвальиой системе отсчета.
Если на точку действует несколько CИJI, ТО уравиевие,
Выражающее основной закон цивамищ принимает тажой ВИд
т-а = L~ . |
(3.2) |
Третий закон (закон равенства действия н
противодействия) гласит: две материальные точки действуют
.zфуг на дрyrэ с СИЛ3Мll, равными и ваправлеllВblМИ вдоль одной прямой в пpo1'IJВOположиые стороны.
Если во взавмодействЮl вступают две свободные
материальные точки, ТО они (согласно третьему н второму законам) будут дВJП'Э1'ЬCj( в протввоположвые стороны с
усtropeВИJlМВ, обратно пропорциональиыми их массам.
Thrффeneнmщльные ураввеип движения мaтmиальной
Основное уравнеиве цивамики (3.2) может быть представлено в таких формах
61
(3.3)
or llelCJ'OРНОЙ формы этих основных соотношений
можно переЙI'И к авалвтической форме в проеlЩllЯX на осн
деI<aproвой системы координar |
|
~x=L~, т.у=LFky' mez= IFlcz |
(3.4) |
Если ураввевие (3.2) спроектировать на оси
естествеввоro тpexrpaIIIIИJC3 то ПОJJYЧ3eМ дифференциальные
уравнеиия: движев:п в такой форме
dv |
v |
т-= L~~' т-= LFbt , 0= LFtЬ . (3.5) |
|
dt |
р |
име. основные nввaмвческие ураввеиия: ДВRЖeНВЯ
ТОЧЮl, можно поставиrь и pemиrь две З3,!ЩЧИ циваМИЮl:
1.ЗIfЗJI закон движеввя точки, определить
действующую на нее силу (первая зaдJlЧ8 дииамики)~
2.ЗIfЗJI дейcrвyющие на ТOЧICy CII.JIЬ1, определить
закон ДВRЖeИИЯ: точки (ВТOP3JI зa.щtча mmaмиm).
Решение первой зa.zщчи, I<8IC правило, не в:ьnывaют больших затрудиевий, так I<aК по известному закоиу ДВRЖeВИЯ
опредепercя: ускоревие (проеlЩИИ ускореНШI) н затем вахоДIПCЯ действующие на ТOЧICy СИJIЬL
Вторая ~ча ди:вамики сложнее уже потому, чro cuзaвa с необходимостью ввтеrpироваип основноro
диффереllЦll3JlЬиоro ypaввeвu при заЦЭIl1lЫX силах (которые могут быть перемеввы), массе материальной ТОЧDI в начзльвых
условвп движевия.
ПOJlСИВМ это простейm:имв првмерамв.
Задача 1. МатервальВШI 'I'OЧI<a массой m ДВI1ЖeТCJl по
прямоливейвому ropИЗОJП8JIЬвому учаCТJ()' траеlCl'OpИИ (вдоль
1ft
оси х) под действием CВJILI F = 2 +cos-. Определить заков
3
ДВDЖeншr ТOЧЮI, есJIИ известно, чro в начальный момеиr
времеви t = О х =Х |
в v =V (рвс.3.1). |
О |
o |
62
Рис. 3.1
р е m е н и е. Изображаем материальную точку в
ПРОИЗВОJIЬном положении И показываем дейcrвующие на нее
cиJIы F , G (cиnaтпrecти) и N (peaIЩIDIплоскocrи).
Cocтa.вшrем дифференциальное уравнение
тХ= LFb:.
В нашем случае оно приобperaeт такой ВИД:
|
.. - 2 |
cos(1ft) |
(а) |
|
mx-+ |
- . |
|||
|
|
|
3 |
|
Уравнение (а) - дифференциальное уравнение второго |
||||
.. |
dv |
|
|
|
порядIta. Подcraвив х |
= - , получим |
|
||
|
dt |
|
|
|
dv |
|
1ft |
|
|
т dt = 2+СОS(з) |
(6) |
|||
Умножив обе части уравиеНWI (6) на dt н беря от них |
||||
ииreгралы, найдем, чro |
|
|
|
|
|
2 |
3 . Н! |
(В) |
|
v=v +-t+-Sln(-) |
||||
o |
т |
нm |
3 |
|
|
|
|
dx |
|
Заменив в эroм paвeнcrвe v на - , получим |
|
|||
|
|
|
dt |
|
dx |
23 . 1ft |
(г) |
||
dt =Vo + тt + нmSIП(з) |
||||
УмиоЖWI обе чacrн полученного уравнеНШI на dt н
снова ивтегрируя, найдем
1 291ft
x=vJ+-t --cos(-)+C.
т н2m 3
из начальных условий (при |
t = О |
Х = Хо) ваходим, что |
||
c=x |
9 |
|
|
|
+ -- ' |
|
|
|
|
o |
2 |
|
|
|
|
кт |
|
|
|
Тогда окончательно получим |
|
|
||
|
( |
2 |
9 |
К! |
|
Х = ХО +vJ +- |
+-2-[1- 008(-)]. |
||
|
т |
к т |
3 |
|
Задача 2, Телу массы m в roчкe О ПРJIМолв:вейвой плоскости, вамонеивой к ropвзоиry под углом а. сообщaюr
начальную скорость Vo' Cчиru силу сопротивлеВШI при спуске
по плоскости измешпощейcs по закону R = р2. определвть,
:какое расстояние х; пройдef точка до тoro },fО},fеиra, Iroгда ее
скорость будетравна V =0,4vo (рис. 3.2). t
Рис. 3.2
р е m е н и е. Изображаем тело в ПРОИЗВOJIЬНО},f
положении И показываем действующие на вero силы а, н,
R.
CocтaвлIeм диффереициальное уравневве движеllВJl
тела В проекцвв на ось х:
|
|
тnX= LFb; |
влв |
dv |
G . |
2 |
(3) |
тv dx = |
·sша -}JV |
|
Так :как необходимо опредезmть раccrоявне. то целесообразно
произвеств замену
64
.. dv dvdx dv x= - = -- = - v .
dt dx dt dx
Уравнение (а) npeдставвм в в.иде
vdv |
р. |
mq . |
2) |
(б) |
-=-(-Slna-v |
|
|||
dx |
т |
J.l |
|
|
Введем ДШI сокращеВЮI записей обозначение k = Р. ,
т
mq .
n=-sша. Тогда уравнение (6) после разделеВЮI
J.l
перемеввых првмer такой ВИД
vdv
--=kdx (В) n-v2
Следовательно,
}~=~Jkdx или
Jn-v2
"о о
ln(v; -n)-ln(v; -n)= ~.
Orcюда находим
1 1 v;-n
x;=-n 2 •
2! O.16vo -n
3.2. Мехавичec:E3JI система. ГеомeIpШI масс.
Совокупность матервальвых точек или тел, движение кoropыx рассматривaeтcJl, вазываетсх механической сиcreмой. Если мехщу элемеиraми механической системы дейcrвyIOт CIIJ1Ы
взаимодействп, то положение или движение lC3Qой точки
(тела) зависит от ПOJlожеВШI и ДВDЖeВЮI всех остальных. СИJIЫ взаимодействИJI меащу точками даивой системы будут
вaзывaтьcJI ВвутреlПlИМll (F;), а cилы, действующие на точки
системы со стороны обьекrОВ, не ВХOДSIЦИX В cocraв данной
системы. будутвазывarьcJlВнеПIНЮfИ(i{е).
65
Ввyrpeиние cвJIы обладают следylOПOIМИ свойcrвaмв:
1. ГеометричесК3JI сумма всех ввyrpeввих СМ системы равЮlется ВУJПO. В самом деле, по третьему зuoву динамики moбые две точки системы дейcrвyюr друг на дрyrз с равными
по МОДУJПO, но противоположно Н3IIp8ВJIeИНЬ1М силами,
векторная сумма Koropыx равна ВУJПO. Таким образом, |
|
Lf; = о |
(3.6) |
2. сумма моментов всех внутренних СМ системы
ооносителъно moбoro центра (или оси) равЮlется НУJПO, т.е.
Liiio(i~)=O и Lmж(F:) =0 |
(3.7) |
из этих свойcrв не следуer, ЧIO ввутрениие CИJIЫ
взаимно уравновеmивaюrcя и не ВJIЮIЮТ на движеине системы,
так как эти сIIлы MOIyI'вызывать в38.IDпIые п~щеВИJI этих
точек. Ввутреиние силы будут образовывать уравиовеmеивую систему сил, если мехавичесхая: система будет преДCТ3ВJD1ТЬ
собой абсоJПOТНО твердое тело.
Движение мехаинческой системы зависит также и от ее
суммариой массы и распределеИЮI масс. Масса системы равна сумме масс всех точек или тел, образующих систему:
M=Lmk •
Инертность мехаинческой системы характеризуется не только массой системы, но и распределением масс системы.
Центр масс механической системы - геометрическая
точка С, положение которой опредeшreтcя по формуле
_ |
1 ~ |
_ |
|
гс =- ~mkTk . |
(3.8) |
||
|
т |
|
|
Координаты центра масс |
|
|
|
Х =Lxkmk |
=Lу.тk |
Z =LZkmk |
(3.9) |
с м' Ус |
м' с М |
|
|
Моментом инерции тела ооносительио данной оси OZ (или осевым момeиroм инерции) называется скалярная
величииа, равная сумме провзведеиий масс mk всех точек на
КВЗЩ>3Т ихрасстояиня: ( hk ) от ЭТОЙ оси.
66
(3.10)
Например, ДJIJI однородного тонкого стерЖЮI длиной АВ=! и массой М вычислим момеиr инерции относиrельно оси,
перпеИДНICyШlpИОЙ 1: нему И проходящей через ero конец (рис.
3.3):
J |
1 |
212М |
мz2 |
|
=jxdт=jx-dx=- |
(3.10') |
|||
z |
о |
о / |
3 |
|
Рис. 3.3 Првведем величивы моментов инерций некоторых'тел.
Момeиr инерции тонкого круглого однородного ICOЛЫШ pa.ФIyсом R И массой М относительно осв CZ, перпсщцикулярной
ПЛОСКОСТИ ICOльЩt И проходsщeii через ero центр С (рис. 3.4):
Jcz =МR2 |
(3.11) |
Момеиr инерции круглой однородной ПJIaC'J'ИВЫ или |
|
цилиндра радиусом R и массой М |
отиосиreльно осв cz (рис. |
3.5):
Рис. 3.4 |
Рис. 3.5 |
67
Jcz |
МR2 |
|
=2- |
(3.12) |
|
|
|
Если известен момеJП инерции тела orв.ОСИIeльно оси
Z С' проходящей через центр масс С, то момеиr инерции
orв.осиrельно оси Zt 'параллельиой оси Zс И OI'CIOJЩей or нее
на расстояние d, опредеJljletCЯ по теореме Гюйгенса-Штейнера:
Jz |
= Jz +м.а2 |
(3.13) |
I |
с |
|
из этой теоремы ВИДНО, чro из всех осей даввого направления наименьший момеиr инерции будет относиrельно
той оси, которая проходит через цешр масс.
ИСПОЛЬЗУJl Э1У теорему ГЮЙI'eвса-Штейнера, ВЫЧИСЛИМ
момеиr инерции ТОВ1«)I'O одиородиоro cтepжIIJ[ (рве. 3.3)
orв.осиreльно оси Zс
J |
2 |
мР |
1 |
М12 |
(3.14) |
=) -ма |
=__ М(_)2 |
= - |
|||
Zc |
z |
3 |
2 |
12 |
|
в дальнейшем будет поIC8З8JlO, чro осевой момеиr
инерции играет при Вp3IIЩ'eJIЬROм движении тела такую же
роль. :какую масса тела шрает прн ero поступательном
движении.
3.3Теоремы цииаМИЮI ТОЧlCИ и системы материальных точек (твердоro тела>
Общие теоремы динамики JlВJDlЮТCJI следCТВИJIМJI системы
дифференциальных уравнений движенu orдельиой ТОЧlCИ или же точек мехаввческой системы. Математически они JlВJDlЮТCJI результатом ииreIpировавии :mIX уравнений.
Значение общих теорем cocroиr В том, чro они
устававливают зависимости Между мерами мехаввческого
движенu материальных объекroв И мерами мехаввческоro воздействИJI на эти обt.eПЬL
Теорема о движении центра масс
в |
|
векториой форме |
|
м.ае = LF.e ; |
(3.15) |
68
в аналитической форме в проеlЩЮlX на оси дежартоВОЙ системы
КООРдинат
М-Хе =LF:, М-Уе =LF;, M-ze =LF': (3.15')
из эrиx уравиений при сопоставлении их с равенствами
(3.2) и (3.4) следует, чro центр масс системы маrepИ3JIЬИЫХ
точеК двllЖeТCJl так как двиraлacь бы матервальиая точка., в
КОТОРОЙ была бы сосредoroчена масса всей системы и к ией БЫJIИ бы ПРИJIOжеиы все ввеmвие cВJlbl эroй свстемы.
В частности, ССJIИ reпо двиraercя поступательио, то его
движение ПОJIИОСТЬЮ опредеJIJleI'CЯ движением цеиrpa :масс, и
ураввев:ии (3.15') следует раССМ31ривать lC3К двффереВЦИ3JlЪиые
уравиеИШI пOCIyпательиого движеllllJl.
Теорема об измеиеиии количества
движеиия.
КОJIИЧеством движeиu штервальиой точки называется
векториая веJIIIЧIIИЭ 7fA'. КОJIИЧecтJЮм движев:ии систе:мы
называercя векrориая величина Q, равная геометрической
сумме lЮJIИЧССТВ движеИИJI всех точек системц |
|
Q= L1I\Vk • |
(3.16) |
Вычисление kOJlИЧества ДВRЖeВ:ИИ систе:мы, В Ч3СП1ОСТИ
твердого тела, ПРОИЗВОДИТCJI по формуле
Q=M-~. (3.17)
Теорема об измевевии КОJIИЧества двRЖeИИJI точки:
d(mv) LF, |
(3.18) |
dt
Т.е. произвоциая по времени от КОJIИЧества движеИИJI равна
сумме действующих на точку CИJI.
Умиожив обе части равеиства (3.18) на dt. беря от них
ПРОИЗВОДИУЮ, получим
IJ
~-mvо=LJ~dt.
о
69
СтоJIПXВЙ В правой части этоro равенства иитеrpaл
предcтaвшrer собой импульсы дейcmующих сил (Л=JFdt ).
поэтому окончательно будer |
|
mv; - mVo = LSk |
(3.19) |
Уравнение (3.19) выражает теорему об изиенении
КОJIВЧества движeвюI ТОЧI<И В коиечном виде: изменение
количества движения точки: за векоторЬ1Й промежуток времени
равно сумме ИМПУЛЪСОВ всех дейcrвyюш.их на точку сил за ror
же npoмежуток времени.
При решении задач вместо векторнoro ypaввeвu (3.19)
чacro пользуются ураввeвJI.IIИII В IIpQe1ЩИ.llX на коорди:вa1вые
ОСИ:
mv1x -mvОх = ~Sh ИТ.д. аиалоrичвo.
Внекоторых задачах В качестве дивамичесжой
характерИcrвк:в дВRжeИR.II точки вместо самоro вектора
количества дв:вже1lJDl 11iV рассматривают ero момеиr
относительно HeKOТOporo цеиrpa или оси. Эrи моменты
опредешоотся так же, как и иомевты: cIIJIы. т.е. |
|
то(mv) = r х mv |
(3.20) |
Теорема об изменении КОJlИЧества движения ТOЧIaI относительио цеlПpa и оси будer Выражаться В Виде
~[тo(mv)]=то(Р), ~[mz(11iV)]=mz(F), (3.21)
dt dt
В правой чacrи этих равеиCI'В croиr момеиr действующей на
точку CИJIЫ.
Гnaвиым момеиroм КOJIВЧества дВRЖeНП (или
жинетичесI<ИМ момеиroм) системы относительно даввоro цeиrpa
О называется велвчива Ко' ра8В3.11 reoмetpической сумме
момеиroв количеств ДВRЖeНИ.II всех точек системы
относите.пьно этою цеитра |
|
Ко =~mO(mk~) |
(3.22) |
Аналогично ОпpeдeлПOТC.ll моменты КОJlИЧеств
ДВRЖeНИ.II системы отиocиreльио mopдивarвыx осей, например
70