termeh_lections

внутренние силы F;. дла точки системы с массой т"'

имеющей скорость v", в соответствии с paвeнcrвoM (3.46) будет

d(m"vVz) = м;+d.-( ,

где м; и d4~ - элемеиrapные рабorы действующих на точку

виеmвиx и виyrpeииих CИJL Cocтaвлu Т3ICИе уравиеИЮI ДIUI

каждой из точек системы и cюmЦЫВЭIf их почленио, вaiдeм, чro

PaвeHcrвo (3.48) пpeдcтaвJVlет собою теорему об

изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинrerpировав обе части этого paвeнcrвa в пределах,

соотвeтcrвующих перемещению системы из некоторого

начальноro положеиия, где кинетическая эНерПDI равна 1'0, в

положение, где значение хниетичесхой энергии равно I; ,

получим

(3.49)

это уравнение Выражает теорему об изменении кинетической энергии в иитerpaльной форме; изменение КИНетичесЕой энергии системы при некотором ее перемещеиии равно сумме работ на этом перемещеиии всех приложеиных к

системе внешних и виутреииих CВJI.

3аметим, "П'О В отличие от предьщущих теорем

внутренние силы в ypaвнeНВJIX (3.48) и (3.49) не исхлючаeтc.tl.

Если система образована из твердых тел и нерастяжимых ииreй, то она JIВШIeТCI: неизмеueмой системой.

Так как у ЭТОЙ системы расстоJIIIЮI меящу точками приложеИЮI

внyrpeииих CВJI ocтaIOТCЯ во все Bpe:мs движения пocrояв:в::ыми,

то сумма работ всех виутревиих СИЛ ЭТОЙ системы равна ИУJDO. для иеизмеюreмой системы уравиеИЮI (3.48) н (3.49)

прИIIИМaIOТ ВИД

81

Рис. 3.10

Задача. Мехаввческая cвcreмa (рвс.3.10) состоит из rpуза 1, etyПенчатоro ппсива 2 с радиусами R,. = 0,2М и 72 = 0,1М , масса которого распределена по ободу радиуса R,.

и ICЗТICa 3 - СПЛОDIВоro однородного ЦИЗIIIIЩp3. Тела системы соедивевы дpyr с ,lфyroм вер8CD1ЖВИЬ1М11 IIIП'JJЮI. Под действием силы F = 60 Н система приходит в движ.еиие из cocroJIJIЮI DOltOJL l1pи двRЖeИИВ на пnmв 2 деЙСТ8уer

пocroJIIIвый момеиr М = 2Н-оМ~ СОDpOТllВ.JleНЮI (or

трев:п в ПОUШИIIИИках), коэфф~y:ll о плоскость f =

определить yrJ10ВУЮ скорость Ш2 В тот момeиr времеви, ltOrдa

груз 1 пройдет по ПJ1ОСICOCТВ paccтoJIIIВC SI :: 2м .

Ре m е в и е. 1. Рассмотрим дввжевве веизмеюreмой

мехавической системы, состоящей из тел 1,2,3, соедивеииых ивrями. изобразим действующие на систему виеmвве свлы:

82

для опрмелеllD Ш2 воспользуемся теореМОЙ об

учнтывwI, что тело 1 движется пocтyшrreльно, тело 2

вращается вокруг неподвижиой оси, а тело 3 движется

плоскопараллельно, получим

искомую Ш2• При этом ПРIOlИМ8eМ во внимание, что точка k -

мrновенный цeиrp скоростей кarкa 3, радиуС коюрого обозначим ГЗ • Тогда

Подставив все вeJIIIчины (г) и (д) в равенство (В),

получим выражение (б) ДJIJI кинетичесКОЙ энергии сиcrемы

83

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих

Bвemввx СИЛ на перемещеиии, которое будет иметь система,

когда груз 1 пройдет путь S•.

Учиrывaя, чro при перемещевии груза 1 на SI ПOOIВ

поворачиваercянаугол f/12 = ~, ацешрмасскапса3 имеет

перемещение Sз = (~)-'2'получим:

А(Рз)=-Рз-siпр-sз =-Рз·Siпр!L'2 l?z

~ =m,g, Pz =mzg, рз =mзg.где g=9,8%2

Работы остальных сил равны НУJПO: сила Н.

перпендикушrpна перемещению rpyзa, ТОЧICИ, где приложевы

СИJIЫ l{,Н2, - веподвllЖllЬt; ТОЧICЗ К, где приложевы CИJIЫ

4. ПодcraвJWI выpaжeюI (е) и (ж) В уравнение (а) и

учитывая, чro 1'0 = о ,прцем 1( равенству

=~.~.sina+F.s,-f·~·sl.cosa-M..i- (и)

l?z

-рз-'2 i-sin Р

l?z

84

из равенства (и), подставив в него числовые значеНИJI

заданных величив. найдем искомую yrловую скорость й)2'

Orвer: й)2 = 21,8с-1

3.7. Принцип даламбера

Методы реmения: задач механики, которые до сих пор

рассматривались, освовывались на использовании законов

Ньютона ИJIИ же на общих теоремах, явлпощихся следствием этих законов. Однако при решении дв:вамических задач вместо

законов Ньютона MOIYf быть использованы дpyrие оБЩие

положения:, называемые принципами мехаюоси. Рассмотрим один из общих ПРИНЦИПОВ меXЗllllDl, называемый прив:п;ипом

даламбера.

Пусть материальная тоЧICa массой m ПОД действием

активной силы ро и pe8IЩИИ связи N двшается с аеквм:

ускорением а.

имеющую размерность силы. Эty векropвую вел:ичив:у

называют силой инерции точп. СJlедует обpanrrъ внимание на

то, чro сила инерции не JlВJlЯется физической СИJIой (не есть воздействие J(3JtOro-JIRбo дpyroro тела). Ее введение в систему

DpВJIожевных к точке CВJI чисто УСJlОВНое, чro позволяет сделать

эту систему СИЛ равновесной и примеюrrь уравнения CТ3ТИJ(И.

ЕсJIИ В шобой момент времени к деicrвующим на

точку aжrивllЬ1М силам и peaIЩВИ сlUlЗИ приcoeдивиrь СИJIY

иверции, то ПОЛУЧСНВ3JI' система CВJI будет уравновemениой.

Эro ПОJlожение выражает приицип даламбера ДfIЯ материальной

эквивaлeиnro второму закону Ныoтo~ ecJIИ подставиrь

Р" = -т-а и переиecrв эту величину в дрyryю часть этоro

равенства.

Рассмотрим теперь механическую систему. Введя для

lWI\дой точки ЭТОЙ системы си.лу инерции Р: = -m-l4, мы

85

получим ураввовешеввую сиcreму всех внеlllllИX, внутреввих И

ииерцвоввых сил эroi системы.

Пр!lR!!1l!! далам6ера дл! свcreмы. Еслв в .любой момеиr

времевв к JaI)I(ЦOЙ из точек системы кроме дeiствующих из нее

ввеJПВВX и Bвyrpeвввx сил приcoeдивиrь сooтвercrвующве

CВJIЫ вверцив. то получеввая cиcreма сил будer уравновешенной.

А ДЛJI ураввовemеввой cвcreмы сил можно првмеюrrь

все уравнеlDUl СТ3IИkIL

Тогда ДЛJI ПРОИЗВОJIЫЮЙ простравствеввой системы сил будем иметь следующие вепорвые уравиеlDUl C'IaIНП:

L(F; +Р: +F.:") = о

(3.53)

L[mo(F;)+mo(F:)+mo<F;)] =о

Заметвм, чro reoметрвчесIaUI сумма векторов

Bвyrpeвввx СИJI И сумма моментов этих СИJI раввы вузпо.

Введем обозвачеllВЯ

R" = LF; ,M~ = Lmo(F") , (3.54)

k

Т.е. гJ18ввый вепор сил инерции и глa:ввый момент эrвx сил orиocиreJIЬио цеиrpa О.

В результате равеиства (3.53) првмyr такой вид

УраввеииOOf (3.55) удобно ПOJIЬЗOваты:JI при изучеиии

движеВИJI тела ИJIВ системы твердых тел. В проеltЦИJIX из кoopдввaI1lые оси равевства (3.55) дают уравиевц

aвaJIOI'JIЧIIbl coorвercтвyющвм ураввеllИDl статшси.

Чтобы поJIЬЗOВaТЪCJl ЭI'IIМИ ураввеВИJlМИ, надо звать

выpэжeшI главного вепора и главиоro момеИI'8 сил виерции.

Главиый вепор сил инерции механической сиcreм:ы (в частиocrи твердого тела) равеи провзведевию массы системы

(тела) на ускоревве цеиrpa масс. Направлен он ПРОТИВОПOJIожио

этому ускореввю, Т.е.

При пocтynaтельвом движеивв тела все CИJIЫ lПIерции тела

прввод;пCJI к равнодействующей, равной R" и проходищей

через центр масс тела.

86

Если тело совершает вращательное движение вoxpyr

жакой-либо оси OZ, ТО система сил инерции Т3ICoro тела

npв:вoДИТCjl It силе Лu , опредeШIемой ФОРМУЛОЙ (3.56) н

прнложенной к точке О, и к паре с моментом М;. ,

определяемым по формуле

М;. = -Jоz.в,

где В - yrловое ускорение тела.

Если тело движется nЛОСItОпараллельио, то система сил

инерции ПРИВОДIП'CЯ к силе 'й", nPИ1Iо~виой в цеНтре масс

тела, и паре с моментом M~ =-Jcz·B .

Задача. С иевесомым валом АВ, вpaщaI01ЦИМСЯ С постоявиой yrловой скоростью OJ, жеспсо скреплен стержень OD ДJIИИOЙ 1 и массой т] , имеющей на конце rpуз массой mz

(рис. 3.11)

Рис. 3.11

87

1IмQ: ~ =0,5М, Ь2 = 0,2М, а =300,1 =0,5М,

~ =3К2, m2 =2К2, ш=6с-I .

9nJx';!!'oцm: pea1ЩIIИ ПОдmn'llllll:a А и ПОДШИlIИИJ<a В.

Решевве. дml оnpeдeлевu ИСКОМЫХ peaIЩИЙ

рассмотриы дввжевве мехаиической cиcreмы, СОСТО.IIIЦеЙ из вала АВ, cтepжu OD И хруза, И примеииы прmщип даламбера. Проведем ВрапшющвecJI вместе с валом оси Аху так, чroбы

стержень лежал в IIJIOCEOCТИ ху, И изобразим действующие на

сиcreму Bвemввe силы: силы ~ ~~, составшпощие

ХА 'УА реакции ПОДППIIIIКЗ И peaIЩIIЮ ХВ ПQIIIIIНIIННК3.

Согласно прввципу даламбера присоеДIПIИМ IC этим

силам сИJJЫ инерции э.пемевтов стержня н груза, CЧВ'I'U rpyз

материальной точкой. Таа: lC3К вал вращается равномерно

Поскольку все Р: пропорциоИ3JIЪИЫ Ь", то эmoра этих

параллельвых сил образуer треугольВИIC в их можно замeииrь

равнодейcrвующей R,.", JIIIВJDI дeйcrввя которой проходиг

через центр ТJIЖeCТВ этого треуголъJOПal, Т.е. на расстояввв Н\

от вершввы О, где Н1 =-23Н,- (Н2 =l-cosa).

Но, IC3IC известно, равнодействующая JПOбoй снстемы СИЛ равна ее главному вектору, а чвслевво главный вепор cВJI

инерции cтepжu я; =="'t-ас, где ас - ускорение цеиrpa масс

стеpжюr, при этом, как и ДJIJI JПOбoго элемента стержня.

ас = асп =ш2-Ьс= {J)2 -ос-sin а (ОС = f;;.). в результате,

получим

88

плоскоcrи ху, то и реакции ПОдmrI'IIIIU А и ПQФIIИIIИИка В тоже

лежат в этой плоскости, чro было учгеио при их изображении. По привципу Даламбера при.ложеввыe виешние cиJ1ы и

силы инерции образуют уравновешенную систему сил.

составлп ДJDI ЭТОЙ плоской сиcreмы сил три уравнеllЮl

вычисленных величин и решив Э1У систему уравнеИRЙ, найдем

искомые реакции.

Orвeт: ХА =-1l,8Н'УА = 49, 1Н,ХВ =-19,7Н.

Знаки ужазывают, чro cилы ХА И Хв нaпpaвJIeвы

пporивоположно показанвым на рис. 3.11.

Раздел п. 1ЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ.

1.Введевве в теорию механизмов

Теория механизмов изучаer общие методы струкrypиоro,

I<ИНематнческоro и цинамическоro анализа и сииreзa различных

механизмов. Излaraемые в теории механизмов методы

приroдны для построеНЮI математической модели moбoro

89

2.КИНЕМАТИКА

2.1.Способы 'УЩдНИtlдвижеJIЮI точки

Ве к т о рвы й с п о с о б. Положение точки М.

опредemпь, задав ее радвус-вепор r (рис. 2.1). Изменение r с

течением времени по моД}'mo и напpuлeвию выражается

вепором-фув:щией, ЗЗВIICJIЩИМ or apryмeвтa t:

Paвeвcrвo (2.1) и опредemrег закои движеИWI ТОЧКИ в

вепориой форме. НепрерЫВIIШI JIIIВЮI, которую описывает

движущаиси orвосительво данной сиcreмы точка, называется траекторией точки. Если траекторией ЯВШIeтcJI прJМU JIIIВЮI,

движение точки вэзывaeтcJI DpJмоливейвым' а если ICpИВ3Я -

ICpиволвиеЙIIЫМ.

К о о р д и в а т и ы й с п о с о б. Положение ТОЧКИ

можно опредeлиrь ее декартовыми координатами Х. у, Z,

кorорые при движении ТОЧКИ будут с течением времени

измеlUlТЪCJI. Бвeдg едивичиые вeкropы (oprы) i, j, k

координатных осей и обозначив проеIЩНИ вепора r на:пи оси

Тогда положение ТОЧКИ в пpocrpaнcrвe в moбoй MOMeнr

22