termeh_lections

Уравнения (2.3) JIВJШOТCЯ уравнеИЮIМИ движения точки

в пря:моугольных дeI<apТOBЫX координатах.

Естественный способ. Этотспособ зaдaниJl движения ТОЧКИ может бьrrь применев. ecJIВ заранее

известна траектория движущейся ТOЧICВ. Пусть кривая АВ

является траекrорией движения точки М OТRосиreльно си~мы отсчета oxyz (рис. 2.2). Выберем на траекropИli неподвижную точку о', которую примем за начало отсчета I<pИВОJlИИейной

(дуговой) координаты S, и условимся о ваправлеииях

положительноro и отрицательиого отсчета координаты s.

Тогда, чroбы звать положение точки М в любой моыеиr

Уравнение (2.4) и выpaжaeIТдвижения ТОЧКИ М вдоль

траекroрии.

3амerим, чro величина s представляет собой расстоmие

от точки О' до ТOЧICИ М, измерениое вдоль дуги траектории и

Взятое с соответствующим ЗИЭI«>м. э1у величину не следует

путать с величиной пути. пройдеииоro точкой.

2.2. Опредедеиие скорости и ускОРеНИЯ точки Скоростью точки в лаииый момеиr времени называется

вепориая величина V, равная первой производиой от радиус­

вeкropa точки по времеии, Т.е.

dr

dt

Вeкrop скорости ТОЧКИ в lc8ждый момеиr времени направлен по жасателъиой к траeкrорни точки в сторону движения (рис. 2.3).

При пря:молииейиом движении точки вепор скорости все время направлен вдоль npя:моi, по которой движется точка. он может измеЮIТЬCЯ JIВDIЬ численно. При криволинейном

движении ТОЧКИ в общем случае измеюпотся направление

вектора скорости и его числениое значение.

Изменение вelCfOpa CICOрости харaкrepизуется

вепорной величиной а, называемой ускорением точки.

23

Ускореивем ТOЧkВ В цаивый момент времени

называется :вепорВ3JI величина а, p3В1I8JI первой провзводной от вепора скорости ВJIR второй провзводвой от радвус-вепора

вдоль прямой, по которой дввжeтcs точка. при хриволивейноы -

вектор а направлен в croроиу вогнутости траектории (рис. 2.3).

Вепор а располaraeтcя В так называемой соnpикасающейся

ПЛОСJl.OCТИ (плOCltOCТИ, в жoropoй происходиr 6ecIcoвечио мзлый

ооворот касательной при элементарном перемещеиии

движущейся ТОЧDI). EcJJи траекroрвя движущeicя ТOЧkВ ЯВШIercJI npocтpaиствениой ICpИВOй, то в каждой ее точке

положение СОnPИI<aсающейся ПЛОСКОСТИ будет свое. EcJJи траеIa'OРВЯ ЯВШIется плоской кривой, то соnpmcacaюЩШICЯ

IIJIOCROCТЬ СОВПаДаеТ С lIлocItoctыо этой Iфивой.

EcJJи движевие ТOЧkВ за.паио IoopдивaI1lым способом, то

cкopocrь и ускорение '1'0'001 ОnpeдeJШOТCJl по проеlЩИlМ эrвx

векторов на Iфopдииa'Iвые оси.

Так, ДmI опредеJIения скорости, дифференцируя по

24

дли определеllШl ускорения соrласио формуле (2.6) сле.цуer

продифференцировать по времени выражение (2.7). Получим

a=v=vx' +Vy } +vzk

или

При ecrecrвeииом сnocoбe зa.дaв:u движения точки

значеиu вепоров v И а опредemпoт по их проеIЩWIМ ие на

ОСИ неподвижвой сиcreмы отсчета oxyz. а на ОСИ подвижной

сиcreмы координат М'(nЬ, имеющей начало в точке М и

двиraющейся BMecre с нею по траепории (рис. 2.4). Эrи оси,

называемые ОСЯМИ ecrecrвeвиоro тpexrpaвmпca. ваправлев:ы

следующим образом: ОСЬ М'( (жасательвая.) - по жасательиой к траепории в cropoну полoжиreльвоro orcчera s; ОСЬ мn

(rлавв:ая нормаль) - по ROpмaJIII IC траеI<7'OpRИ, лежащей В

сопршсасающейся IIJ1OC1tОСТИ И направленной В сторону

воrиyтocти траепории; ось мь (бинормаль)

перпевдикузщ>ио первым двум OCJIМ Т3IC, чro она составляет с

ними правую сиcreму осей, ДШllCOТOрой справеДJПlВO равеиcrвo

25

li = F хН, где Т, н, li - едиRичныe векторы (орты)

соответствующих осек

Вектор CIWpOCТИ 1ОЧIaI, ваправлевный по касательной к

т.е. числовое (азпебраическое) значение скорости v в данный

вапpuдена В cropoнy полoжиreльноro отсчета pacc1'OJIIIЮI s;

если v<O - в противоположную сторону. Тахи:м образом,

величина v, ВЬ1ЧIICJllIемая по формуле (2.14), одновременно

определяет и модуль скорости. и сторону по оси t, куда

направлен вeкrop v .

определим ускорение 1ОЧКИ по формуле (2.6), продифференцировав по времени выражение (2.13)

_ dV d(v.F) dv _ dF

а=-= =-'f'+V-.

I<pивJIзны траеюорни в рассматриваемой точке. учитыв8JI это,

получим

(2.15)

Тахи:м образом, ускорение точки равно геометрической

сумме двух вепоров, один из которых направлен по

касательной (и называетсв касательным ускорением), а дpyroй

вектор направлен по главной нормали (и называется

нормальным ускорением)

26

ПЛОСКОСТЬ, npoхо.!J:j(ЩU через жасательную н rnaвиyIO

нормаль, ЯВJDreICЯ сопрпасающейсJl, в ией и расположен

вelCl'Op YCKopeНWI точки.

Проекцви вектора а на оси естествеииoro

треxrpaв:иикa определяется по формулам:

перпендикущиы. то модуль ВelCI'OPa а получим

Orметим, чro величина Q-r может быть поJЮжиrельиа,

orpицатеJIЬна лвбо равна нуmo, а величина аn при

КРИВОJlИИеЙRОЙ траектории вcerдa полOЖИIem.иa (чro указывает

на направление вепора в сторону воrиyтocти кривой). Анализ формул (2.17) npиводит К выводу: касательное

ускорение хараперизует изменение числового зиачеИИJI

скорости, нормальное УСRореиие характеризует измеиеиие

скорости по иаправлеиию.

2.3. Равиомерное и равиоперемеииое дВижеИИJI

'I'OЧЮI

как быоо orмечеио ранее, траепорu ТОЧКИ может

быть прямолииеЙRОЙ ИJIИ КРИВОJIИИеЙИой. по этим траекториям ТОЧRa может дввraтьcЯ по moбoму закону. Рассмотрим

иекоторые частные случаи, при xoropыx кинематические

xapaкrepвcrики ДВJDКeИИJI точки имeюr определеииые

особениости.

р а в и о м е р и о е д в и ж е и и е. Равномерным

называется такое движение точки. при котором числовое

значение скорости все врею остается постоJlИВЬ1М: v=const.

27

равно НУJПO, ЯВJIJIe1CJI равномерное DpDfоливейное движение. Найдем закон равномерною движения. из формулы

(2.14) имеем ds = v-dt . Ииrerpируя обе части :поro paвeнcrвa,

Г~ So - крвволинеЙШUI координата ТOЧlCИ в начальный момеиr

времени to = О.

Равнопеременное движение. Равноперемевным называется: движение точки, при котором

ICaCareJIЬИое ускорение ocтaercя все время 11OCТOJIIIIIЬD(:

0r =coпst.

Согnaсно первой из формул (2.17) dv::: 0r ч/t . Беря от

обеих частей этоro paвeиcrвa ииrerpaлы. получим захон

изменеlOOl скорости при равноnepeмениом движеиин

(2.20)

ds

Формулу (2.20) предcraвим в виде - = Vo +Qr -t или

dt

ds = vodt+O,,-t-dt. Интеrpируя обе части ЭТОГО равенства,

найдем зажон равноперемениою движения точки

28

ВeJDIЧИIIa скорости при равиоперемевном движении

меНJIercя по закону (2.20). Если модуль скорости возрастает, то движение называercя ускореlпlым (равиоускореllllым,' а если у6ывает - замедленным. При ускоренном движении величины

Рис. 2.5

v и ат имеют одинаковые звап (yroл между векторами v и

аострый. рис 2.5, а), при замедлеlПlОМ движении величины v

иar имеют разные знаки (yroл межщу векropaми v И а тynой,

рис 2.5,6).

Если равиоперемеlПlое движение совершаетс. по прямолииейиой траектории, то в ЭТОМ случае в выpaжeиJIx

(2.20), (2.21) следует прв:вимать ат = а.

2.4. Решение задач

Задача 1. Закои двRЖeRИJI ТOЧIaI М В плоскости ху

задануравиениями Х= 4sin(1l" t)-l, у=3cos(1l" 1)+2 (где

6 6

х, у - в саитиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траекroрии ТОЧКR~ ДmI момеиra времени t1=2 С найти скорость н ускорение точки, а также ее

касательное и нормальное ускореRИJI н радиус Iq>ИВИЗВЫ в

соответствующей точке траекторни.

29

Решение. 1. ДrOI определеmu: уравнешu: траекropни

ТОЧКИ сле.цуer установить завнсвиость меЖдУ координатами

ТОЧКИ. ДШI нсюпочеmu: из уравнений ДВIOКeIIШI времени 1. I<OТOPOe ВХОДИТ в аргументы тригонометрических фymщий,

из уравнений двRЖemu: находим вьtpaЖemu: cooтвercтвующих функций н ПОДCТ8ВJDIем их в равеиcrвo (а). В

уравиение траепорни (6) ecrь уравнение эллипса.

2.CKopocrь ТОЧICII найдем по ее проекциям на

:касательные оси

30

~ = 1,02 см!с2•

Заметим, что так как движение точки было задано

коордиватвым способом, то величины скоpocrи И ускорения

были определены по проеКЦШIМ этих величии на коордивaтllыe

ОСИ.

4. ОпредeJIИМ касательиое и иормальиое усКореИЮI

точки, Т.е. npoeIЩИИ вепора а на оси естествениого

треXIp3IIIIИКЗ.

Касательное ускорение может БЪП'Ь опредеJIeНО по

dv

формуле ar = ш' есJIИ производная от вьtpaЖeИЮI (г) берется

ДJIИ моДУШl СКорости. Но проще это сделатьиначе.

Продифферев:цируем по времени равенство (в). Получим

умзываer, чro направление ~t' противоположно ва.правлеввю

~).

Нормальное ускорение опредеJIИМ по формуле

а = 'а2 _а2

,," t'

Подставив сюда числовые значеИЮI ~, ~Т' получим

~,,=O,98 см/с2•

5. Радиус Iq)ИВИЗИЫ траекroрии определим по формуле

31

v2

pt =-l-~з.о см.

а1n

Ответ:

2.5. ПOCIyIJaТeJIЬвое движение твердого тела

ПocтynaтeлъJlЪВ[ вазы:вается такое движение твердого reлa, при КО1'ОрОм JПOбag прямц проведеllll3Я В теле, перемещaercя. 0CТ3ВЗJICЪ параллельиоi своему начальному

ваправлевию.

Свойства поступательиого движения опредешпотся следующей теоремой: при поступательном движеиив все ТОЧПI

тела описывают reoметрически одинаковые (при наложении совпадающие) траепории и имеют в 1WIЩЫЙ момеиr времени

одииажовые по моДУто и вanpaвлевию скоpocrи и ускорения.

ДоIC8З3ТeJJЬCТВO ЭТОЙ теоремы ОСУЩecтвзDlется путем рассмотреивя векторного paвeHcrвa (рис. 2.6)

Дифференцируя обе части равеиства (2.22) и прииимаи

во ввимаиие, чro АВ=соnst, получим

(2.23)

Рис. 2.6

32