termeh_lections

ИЗ теоремы следует, 'ПО поступательное движение твердого тела вполне опредеШleтcJI движением жакой-ввбудъ одной из его точек. С.педовательно, изучение lCИВематики

поступательного дввжеllЮl СВОДИТСЯ К задаче lCИВемЗ11IКИ точки.

2.6. Вря1'l!дТ!Щ!.ное движение твердого тела вокрл

неподвижной осн.

Вр8щательвым движением твердого тела вокруг

неподвижвой оси наз~я такое его движение, при котором

какие-нибудЬ две тоЧRИ, ПРиНадлежащие телу (или неизменио С

ним СlUМЯииые), 0CТ3Ю'ICЯ во все время движеиия неподвижными (рис. 2.7). Прsмaя, npoходпцая через

неподвижные ТОЧIЩ называется осью вращевия. все ТОЧIЩ привадлежащие оси вращеввя, будут иenодвижвц траеICrOpИИ движеиия всех остальных точек будут окружиocrи., плоскости

кoropыx перпевдикуШlpИЫ оси вращеВIЦ а центры лежат на

ЭТОЙ оси.

РиС. 2.7

1.Характеристикн движения тела

Проведем через ОСЬ вращения Az (рис. 2.7) две полynлоскости: полynлоскость Ц твердо связаввую с телом и

33

ВpaщaIOlJIYIOCИ вместе с вим. н веподвижвую в пространстве

полуплоскость IIO. Положеиие тела в JIЮбoй момент времеии

оnpeДeшleIa УТJIOМ ер между этими полyп.tlОСкocт:s:ми. который вазъmaетс,. углом поворота тела. Уroл ер cчиraется

ПОЛOЖRТeЛЫIЫМ, если он arcчвтaи or неподвижвой

IIOJIYПЛOCltОСТИ в ваnpaвлeвви против хода часовой стрелки (ДrOI

ваБJПOдатец CМOТPJIIЦero с ПOJIOЖlПeJIЬноro коица осв Az), и orp:ицательиым. если он orcч:итaи по ходу часовой CIpeJШI. fuм~~~лсрв~щmва~

ивыражает закон вpam;neльвого дввжеllШl твердого тела

вoкpyr неподвижвой оси.

ОсиОВIlЬ1Мll кивематическими характерИCТIIIC3МII

вpam:aтeJlЬиоro движeвшI твердого тела DJDПOТC" ero угловая

скорость (1) и угловое ускореиие г.

УГJIOВU скорость xapaкrepизует изменевве со временем

угла поворота тела, н ее численное (aлreбpaвческое) значевве равно П~ВОЙ ПРОВЗВОДВОЙ от уг.ла поворота по времевв

вращение происходит против хода часовой CТPeJIКII, если (1)<0,

то тело вращаете" по ходу часовой cтpemcи. Эro oбcroJПeJJЬCТВO отражается вэображевием DeJDIЧИВЫ о) С помощью ЦVI'OВОЙ

cтpe.mcи (рис. 2.7). Разм~иостьугловой скорости c-1.

В 1'eXИИltе угловую cкopocrь часто опредешпот числом

оборотов в мивуту. обозначая эry вeJIИЧИИy через n oБIмин. Так

как за один оборот тело поворачиваете,. на угол 2к, а 1 МИII =

60 с, то

2кn кn

Ш=--=-.

60 30

Угловую скорость тела можно изобразип. в виде

вепора lб, MOДYJIЬ ICOТOPOГO равен 1(1)1 и который направлен

BДOJIЬ ОСИ вращев:u в ту сторону, откуда вращение видно

происхоДВIЦИМ пporив хода часовой стреmcи (рис. 2.7).

34

Угловое ускорение 8 харапервзует изменение угловой

СКОРОСТИ С течением времеви, и ero ЧИCJIенное (aлreбраическое)

значение равио первой ПРОИЗВОдной ел УГJlОВОЙ скорости или

вropoй производиой or yrJJ3 поворота тела по времени

размернocrь YГJlOВOroусI<OpeIOOl с-2 •

IIpи совпадениtМ Зll3l«)в численных значений 8 и 00 дyroваи cтpeJ1I(3 & будет совпадать С .цyroвой стрелкой 00, при ра3иых ЗИ3I(3X дуговые cтpemcи: будУТ напраВJIeИЫ взаимно

противоположно.

ЕCJIИ YГJlOВWI CI<:OPOCТЬ тела 0C'l'ae'fCj(во все время

движения посюяииой (ro=coDSt), то вращение ТeJJa называется

равиомерным. Ииrerpируя равенство dlfJ = aNJt (cч:иraв: при

этом в начальный момеиr времени t=O, q>=O), получим ЗЗICOи

равиомерного вращеlOOl

ЕсJIИ YГJlOвoe ускорение тела во все время движения

остается посюJIIIIIым (s=const), то вращение называется

равиоперемеииым.

Иитеrpируя равеиство dOJ = 8.dt (CЧИТ8JI, чro при t=O fP =fPo' OJ =OJо ), получим закои изменеНЮI угловой скорости

2. Ха р а К т е р и С т и К и Д в и ж е н и я т о ч е К

вращающегося TeJla

как уже БЫJЮ orмечево, траекториями движения всех

точек, не лежащих на осв вращеllШl, JIВJUIIOТCЯ окружности,

ПJIOCКОСТИ кorорых перпевдикуляриw оси вращевия, а цеиrpы

лежат на этой оси.

35

Paccм01pIlМ жакую-вибудь точку М вращающеrocя тела. ваходsщyIOCЯ на раССТОJIВИR Ь от оси вращеИИJI (рис. 2.7). Если за врем.а dt происходит эJJeмеиrapllый поворот на yroл d<p,

ТО 'I'OЧXa М при этом совершaer вдоль своей траепорив nepeмещевие ds = ЬчJ<р. Тогда числовое значение скорости

точки согласно формуле (2.14) получим

dt dt

Таким образом. числовое значение скорости ТOЧIaI

вращающеrocя тела равно произведеиию угловой скорости тела

на раССТОJlИИе от этой ТОЧКИ Д1J ОСИ вpaIЦelDUL Направлена cкopocrь по кacareльвoй к описываемой точкой окружности по

иаправлеиию ДВDЖeИИJI (рис. 2.7).

Вепоры скоростей v всех точек сечеИИJI будут

расоолaraтьcJI в ero плоскости, образуя поле скоростей, вид

которого изображен на рве. 2.8. Скорость v точки

вpam,aющегося тела виогда называют JIВИeiвой, или окружвой,

в отличие от угловой скорости тела.

Рис. 2.8

ДтI вахождеИИJI ускореИИJI ТОЧКИ М воспользуемся

равенства (2.30) иyчиrывaя, что р = h , окончательно получим:

36

Касательная cocтaвmooщая ускореНШI а, направлена

по ЮlC3ТeJJЬиой к траектории двRЖeIllUl ТОЧКИ В сторону дуговой

стрелки; нориальная cocтaв.wпoщая а" иаправлена по радиусу

Т.е. заиетнм, чro УСRореввя точек тела пропорциов3JIьвы их

расстоЯIIЮIМ or оси вращеввя.

Отклонение вектора а or радиуса описываемой точкой

окружности опредemlе1'СЯ углом !-1> который вычиmrercяя по формуле

а

tgр = --.!.. . Использовав равенства (2.31), получим

а"

врашающеrocя тела будет одинакова.

37

2.7 I1лocкопаJ)3JIJICJJЬиое движение твepnoro тела

1. Уравиеиия и хараltтеРИСТИltи

ПЛОСltопаралле,Льиого движеиия тела

ПлОСltOпараллельвым (ИJIR DJIOCIaIМ) называется такое

движение твepдoro тела, при юropoи все ero ТОЧIal движутся в

ШIОСКOCТJlX, параллепьвых иекоторой ПJlOCltOCI'В. ReПОДВВЖВОЙ В рассматриваемой системе отсчета.

При тaICOM движении тела JJЮ6aJI прямц перпеидпущиая веподвижной ПJIOCltOCТИ П (рис. 2.10), будет

совершать пOCIyП3ТCJIЬИое движение, а эначиr. все

ICИИeматические xapaпepвcI'IIDI точеIt, лежащих на эroй прямой, бу.цут ТО)ЦCC'I1leИИbl. OrcюJЩ эauючаем, чro ДIIJI

изучения Дl'ижеиия вcero тела достаточно изyчиrь. юuc движется

в ПJIOCКости ОХУ сечение эroro тела. образующее иеltОЮРУЮ плосltyIO фигуру.

Положение IDIOCltой фвrypы в ШIOCltOCТII ОХУ определяется положением юucoro-либо проведениоro на эroй

фигуре отреза АВ (рис. 2.11). В свою очередь положение отреза АВ опpeдeJI1leтcs. например, ltOOpдв:натами ТОЧICВ А и

величиной угла ер мeJIЩy 01peЗI«>М АВ и осью Х. Точку А, выбраииую дпJI определения положения ПJIOCltой фиrypы

называют поJ1lOCOМ.

Рис. 2.11

3aItoи ШIоCltоro движения твердого тела опреДeJDIется

38

Авализируg зависимости (2.34), можно заключить. 'по движение Ш1ОСlCOй фиrypы в ее Ш1ОСI(ОСТИ представ.пет собой

СОВОКУПИOC'I'Ь двух движений: поступательиого двDЖeИШI BMecre с ПОJПOсом (при I(()Т()J>OM все точки фиrypы движутсg ТЗJ(

же, I\Зl{ и ПОJПOC А) и вpanщтeльноro движенu вoкpyr этоro nomoca (при этом фmypa вpaшaercя вoкpyr оси, npoходоцей

через точку А перпевдикуmlpНО ПJlоскocrи П). Orметим, 'по на

данном выводе осиовывается: рассмarpeние кинематики

ПJlоского движеиия твердоro тела.

ОсН0811Ь1МИ mнематичесl(ИМИ xapaxrepиCТJII(8МИ

ПJlоскоro движеllШl твердого тела ЯВJШOТCЯ clCOpocrь И

ускорение поmoca (VA , 'i... -хараперИCJ'III(И ПocтynaтeJIЬной

части движеllШl), а 1'3IOke yrловu cкopocrь И угловое ускорение

тела (О), g - хаpaкreристики вращатеЛЬНОЙ чacrи движения).

В качестве поmoca вообще можно выбирать moбую точку фиrypы. IIpи изменении положеВШI поmoca

хаpaкrepистики пoetyпaтeJIЬиой части движеllШl ИЗмеЮIЮТCg

(скорость и ускорение другой точки фигуры в общем случае

будут отличаться от VA И аА)' а характерИCТlOOl вращательиой

части движения, Т.е. 00 и &, остаются неизмеииыми.

ПЛОСКОЙ фигуры.

Напомним, 'по движение ПJЮCкой фиrypы можно

рассматривать I\Зl{ cлaraющееся из пocrynaтeльноro движеВШI

тела вместе с ПОJПOCом Н вpanщтeльиоro движеиu тела вoкpyr

поJПOCa.

В соответствии с этим скорость nPOИЗВОJIЬиой ТОЧКИ М

ПJlоской фиrypы геометричесп складывается: из скорости какОЙ-нибудь точки А, ПРВlШOЙ за ПОJПOC, и скорости. которую

точка М получает при вращении фигуры вoкpyr этого пomoса,

Т.е.

При этом скорость Vш опредeШlется: по веJIRЧИИе и

направлеRRЮ ТЗJ( же, I\Зl{ если бы тело совершало вращательное

движение вoкpyr неподвlDКllОЙ оси, проходоцей через точку А,

Т.е.

39

xapaкrepllCТllXll плоского ДВRЖeIlllЯ тела, Т.е. скорость полюса

УА И yrлоВ3JI скорость тела 00, то скорость moбoй точки reла

опредеШleтcJI в соответствии с равеиС1ВОМ (2.35) двaroиалью

параллелоrpaимa, построеииого на вeкropax УА И Уш ICaК на

где у - yrол мехщу направлеlllDlМИ векторов УА И Vш .

Рис. 2.12

Теорема о проекциях скоростей

двух точек тела'

Согласно равенству (2.35) ДШI двух nPOИЗВОЛЬRЫX точек

А и В тела имеет место зависимость УВ = "А + "ВА' В coorвeтcrвии с которой BыIIoJIввм построение, пожазаииое на рис. 2.13. Проектвру.а обе части этого равеиcrвa на ОСЬ,

40

направленную по АВ, И, yчиrывaя, чro вeкrop VНА

перпендикуupeн АВ, находим

(2.38)

Рис. 2.13

Эroт результат и Выражает теорему: проеlЩИИ

скоростей двух точек твердоro тела на ОСЬ. проходпцую через

эти ТОЧICИ, равны. Заметим, что равеиство прое1ЩИЙ вепоров

означaer равенство этих проекций по их моДУmo и знаку.

Orметим, что равеиство (2.38) отражает математически

ТО, что тело рассматриваетсll J.(8I( aбco.n:ютио твердое и p8CCI'OJlllllе Между точками А и В ;ве изиеиercJL

Задача. Ползуиы А и В, соединенные стержнем с

шарнирами на mвцах, перемеIЦ3Юl'CJl по взаимно

перпеВДИКУЛЯРНЫМ ваправлеВIIIМ (рис. 2.14,а). Определигь при

данном угле а скорость точкиВ, если извecrвa величина vA •

Р е m е н и е. Проведем ось х через точки А и В. зная

напpsuшенве VA ' находим пpoe1ЩИlO этоro вeкropa. на прямую

АВ VАХ = vA·cosa (нарве. 2.14,6 это 6yдer orpeзоК Аа). Далее

I

на чepreжe On11811,ывае..,; ВЬ=Аа И, восстанав.ливаи в точке Ь

перпевдикуляр к пp1IИой АВ, находим направление VB .

41

РвС.2.14

Согласно теореме о проеIЩИЯX VА-cos а = Vв·COS Р .

Отсюда окончательно получим (учц чro р = 900 - а)

VB = vA·cos7cos(900 -а)'или VB =vA·ctga

Мгновенный центр скоростей. Опре

деление скоростей точек с помощью мг

HOBeHHOrO центра CKopOCTe~

При выборе какой-нибудь точки Р в качестве полюса

скорость ПРОllЗВOJlЪной ТОЧICИ М согласно формуле (2.35)

опреДeJDIeтc.t равенством

Vu=Vp+Vмp ,

где

Vмp =ш.мр, vмp.lмp.

Если бы скорость тоЧки р в цаlПlЫЙ момент времени

была равна нулю, то пpaвu часть ЭТОГО равенства была бы

представлева оДlПDrf cлaraeмым "мр и скорость любой точки

опреде.шшась бы как ливеЙIWI (окружная) скорость точки при

42