termeh_lections

(3.23)

Кииerическвй момеиr вращающеГОСJl тела

относнreл:ьно ОСИ вращеНWI опреДeJIeR." в соответствии с

выражением (3.23), yчиrывu, чro ДJIJI любой ТОЧIat, отcroищей

от осв вращения на раССТОJIИИН 4, CICOPOCIЬ V k = ш·hk'

получим

К; =Lmz(mk·Vк)=(Lmk-JJ;)еШ

Велич:ива. croJПЦ3J1 в cmбках, представля.ет собой момеиr инерции тела относиreльно оси z [см. формулу (3.9)].

Tauм образом, кииerичecICИЙ момеиr вращающеГОСJl

тела отнocиreпьио оси вращеИIIII равен пронзведению момеиra

инерции тела относиreльно этой оси на УГJIОВУЮ скорость тела.

Теорема об изменении кииerического момеиra системы

отнocиreJIЬИО ОСИ (теорема момеиroв) записываетси в таком

вце:

(3.25)

Эroй теоремой широко ПОJIЬЗУЮТСЯ при изучении

вращательного ДВRЖeНWI тела.

Подcтaвwrи В равенство (3.25) значение К; = Jz -ш ,

найдем

Т1Iepдoгo тела. Эro уравиеиве может быгь представлено н В

такОМВJЩе

Равевсгво (3.26) по Своему ВИДУ аиалоrично ОСНОВНОМУ

закону ди:нaмиICИ (3.2). Поэтому имеютс. аналогии и в физичесКОМ СМЫСJIе вел:ичин этих равенств: меры действВJICИJI

- момеиr cIlJIы; ускорение ТОЧ1tИ - YГJIOвoe УСICOpeние тела,

71

масса - момеиr инерции тела orиосительво оси вращевu.

Orcю.zщ ВИДНО, чro осевой момеиr инерции при вращательном

движевви тела иrpaeт такую же роль, IaUtYIO массу прн

поступательном, Т.е. он JIВШIeТCS мерой инертности тела при

вращательном дВвжеввв.

Уравнение (3.26) по своему ВИДУ авалоrично дифференциальвыи ypaввeвuм ТOЧIaI (3.3).

Задача. Колесо массой m н радиусом R,

представшпощее собой сплошной одиород;IIЫЙ ЦИ1IВВ.ZIp,

ПРИВОДИI'CJI во вращение првложеввым: к нему ПОСТОJIIПIЫМ

момeиroм М найти ЗЗI<ОН изменеllИ1l угловой скорости колеса

0), если момеиr сил СОDpOТllВJJeIlИ1l воздуха npoпорциовалеН о) И

равеН Мoonр = Р·Ш .

Ре m е R н е. ДиффереНI~иаm.Rое уравнение (3.26) ДШI

вращающеI'OCJ( колеса имeer вид

dш

J - =М - Р.Ш

dt

Разделим перемеивые И, подставив ДID[ данного слyчu

mR2

согласно (3.12) J = --, возьмем: or обеих чacreй paвeHcrвa

2

где k = 2р . mR2

Окончательно найдем, чro

М( -/а

ш=-l-е ).

}l

из этого закона изменCIЦDI угловой ClCopocтв ВИДНО, чro со

временем о) вoзpacтaer, cтpeмJICЬ к предельному звачеввю

72

ш =М/

пр /р'

дифференпиальныe уравнеВШI Шlоскопаралдельного

двDЖeIIЮI твepдoro тела. как :взвеств:о, ПJlоскопараллельное

движение тела предe'I'3ВШreТ собой совокупность

поступательного движения вместе с IIOJПOCOМ И вращате.пьноro

двDЖeВИЯ вожруг оси, проходищей через поJПOC. Выбиpu в качecrвe поJП0C3 центр масс С тела, получим ТCUaIe уравневия

А1Х1 = LF~,

Jzc·ф=LmiF:).

Первые два уравиевп отpaжaюr тщвэмцу поступательНОЙ чаcrи движеиц а третье - вращательную часть

движения тела, совершающего ПJlоскопараллельиое движение.

3.4. Квиетичесщ энерлu: ТОЧКИ И CHcтeMЬL

Введем поюrrие еще об ОДНОЙ динамическОЙ xap8КТepВCТllКe дввжевиа: (Мере движевп) - о квиетической

энергии.

Кивerичесmй энергией материальной точки называercк

сК3.ШlpIl3Jl величина mVh' равная половине произведеВШI

массы точки на I<ВaДPaТ ее скорости.

Кииerичесmй энергиеЙ системы называетск СIC3ЛlpeaJI

величина Т, равНЗJI сумме D1Нетвческвх энергий всех точек

Так как mJIИЧeCТВO двRЖeВИЯ Q J!ВJDreТCJI

характеристикой поступательноro ДВRЖeвия системы, то

кииетвчecкиii момеиr Кz хара:первзуer вpaпrareльное

движение системы (твердоro тела) вокруг осв z. Кииerическая

энергвя xapaк:repвзуer в совокупности и поступательное и

вращательное движения сиcreмы.

73

При IIOC'IyII31'eЛЬном движеиии твердого тела (все точки

двиraютcя с одв::иахоВЫ:МИ скоростями. равВЬ1М.И C1tOJЮCТИ

цеигра масс)

или

(3.29)

При вращательном движеиии твердого тела (скорость moбoй его ТОЧКИ Vk = OJ.hk ) получим

Т.,= 'Lmt·OJ2.hVz = ('L mJ1;).OJh

ИJIИ

(3.30)

где Jz - MOMeнr инерцииотносительно осн вращеllЮl Z.

При IIJIOClCOпараллепьном движеиии твердого тела скорости его точек в кaжzn,di момеиг времени распределены тu, как будro тело вpaщaercя вoкpyr оси, прохoдaщei через

мrиовеииый цeв:rp скоростей р. СJКЩOвательно, по формуле

(3.30)

(3.31)

где J р - иоиснr инерции О1Вocвre.пьно оси, проходищей через

м:rиовеllllый цeнrp скоростей р.

Так JC3I{ положев:ие цеигра р при движении тела все

масс С до мгиовениого центра скоростей. Подставив это

выражениедu J p в(3.31)и,yчиrы:вaя, что OJ.d=ю.рс=vс,

окончательно найдем

74

(3.32)

Следовательно, при плоскопараллеJIЬИОМ движении

киветичесlWl энерrия тела равна сумме энерrий

поcтyпareльиого движеИWI со скоростью цеиrpa масс и энергии враш.ательиого движеllЮl вoкpyr цеиrpa масс.

Определим ки:н:erическую энерnno кривоmиnиО·

ползунного мехавизма, изображенного на рВС. 3.6.

Рис. 3.6

КинетичесlWl эиергиа: системы равна сумме квиетичесICИX энерПIЙ кривошипа 1, IШnyНЗ 2 и ползуна 3:

Т=1; +1; +1'з.

Кинетическую энергию кривошипа 1 находим как

энергию тела. которое совершает вращательное движение, т.е.

по формуле (3.30)

1; = Jо·Шу{,

где Jo • момеиr инерции кривошипа orвосиreльио оси

вращеиияО;

l»t •yrловая CICOpocrь кривошипа.

Кинетическую энергию шапиа 2, совершающего

ПЛОСICOnapaллелъное движение, определяем по формуле (3.32)

75

момеиr инерции II131)'II8 orвocиreльно оси, ПРОХОДlЩей через

точку С перпеllДllКyлярно плоскости чepreжa. Ш2 - угловая

скорость II131)'II8.

КииerичесlC3Jl ЭReprия ползуна 3, совершающего поcryпaтeльное движение, опредeлиrcя по формуле (3.29)

Т, - "'зVв2

3 - 2 '

где 11lз - масса ползуна.

Vв - скорость ползуна.

Окончательно кинетическую энерrию механизма (рис. 3.6)

найдем

2222

3.5.Рабora силы. Momвocть.

Рaбora xapaкrepизует действие на тело cилы при

перемещении точки ее приложеllЮl.

Рис. 3.7.

Элемеиraрной работой силы F , прИJIOЖeИИОЙ в точке

М (рис. 3.7), называетея сIC8JЩ)НIUI величина

76

перемещеИШI ТОЧICВ М (ТOЧlCИ приложеИШI силы Р), а - угол

между направлением силы F и валравлев:ием элемеиraрного

перемещеИШI.

Если угол а острый, 1'0 работа полoжиrелъна; если

угол а тупой - работа отрицателъва, еСЛИ а = 90· - работа

равна НУШО.

знак работы имеет следующий мехаиичесПfЙ смысл

(это будет следовать из теоремы об изменении кинетической энергии): работа cиJIы положвтельва, когда сила увеличивает скорость (ускоряет) движение; работа отрищrreлъва, когда сила ЗЗМeдIDIeТ движение ТОЧКИ (тела); если работа сиJIы равна нуmo, 1'0 дейсгвие этой силы не измеЮIeТ численно cкopocrь

движеиия.

Таким образом, работа JIВJIJIeтcJI 1'Ой мерой cиJIы,

ICOТopм приводит К изменению модуля скорости.

Разложим силу F на составшпощне F: и ~.

учи1"ывu, чro Ft: = F -cos а, можно записать элемеиrapную

рабcny

(3.34)

исделать ВЫВОд, чro изменять модуль скорости будет

составляющая ~, а направление вектора v будет изменять

составшпощая ~.

Если учесть, чro ds = Idrl, где ItirI - вектор

элемеиrapного перем:ещеиия точки, 1'0 paвeHcrвo (3.33) можно

представиrь как CкaJDIpHoe произвtЩение двух вепоров

M=P~. (3.35)

Если в этой формуле величивы задать через проеJЩИИ

на коордвнатвые оси, 1'0 получим аналитическое выражение

77

Рабora CВJIЫ на шобом конечном перемещевив

Рассмотрим некоторые приме.ры вычислеlOOl работы.

РвС.3.8

работа силы тяжести Р (рис. 3.8) прн перемещевии

ТOЧlCII М, на mropyю она дейcrвyет, из положевп

zo

Следо:вareльно, paбora силы 'DDICeCТR равна взпому со

знаком ПJПOC влв мввус провзведеВИlO модуля силы на

верпп,эльиое перемещesие ТOЧlCII ее ПРR.JIOЖeИIUI. работа IЮложительва, если вачальная ТOЧl\a выше конечной, и отри:цательва, если наЧ3JJЬВ3JI ТOЧlC3 ниже конечной.

Рaбora сил 1D<CCТИ, действующих на систему,

(3.39)

78

где Р - вес систем:ы, Ьс - вepтиI<ЗJlЬное перемещенве цеиrpa

масс (цеиrpa Т1IЖeCТН).

Элемеиrapиая работа силы, прнложеивой к

вращающемуся телу опредeuется по формуле

где Мz = mz (Р) - момеиr cиJIы отиосиreльио оси вращеНЮI z,

dlfJ - элемеиrapный yrол поворота тела.

будет, очевидно, означать момеиr этой пары.

Работа cВJIЫ треllЮl l{.p, действующей на колесо,

катящееся без скольжения (рис. 3.9), будет равна иуmo, так J(aJ(

эта сила прикладывается к телу в точке k - мгновенном цешре

скоростей (ВеДЬ dsk =Vk ·dt = О, Т.К Vk =О). По ЭТОЙ же

причине в этом случае равна вуmo и работа нормальной

peaIЩIIII N.

Рис. 3.9

79

Мощиость. Мощиост:ыо сИJIЫ В3ЗЬ1И8eТCJI вел:ичива, опредешпоlDЦ рабory, совершаемую смой в едвв:вцу времени.

3.6. Теорема об изменении кинетической эне.рrии. Теорема об изменении квиетической энерrии тоЧkИ в

диффереицвал:ьной форме будer

2

т.е. провзвоДIWI квиетической эиерrии точки по времени равна мощности действующей на нее сиJIы.

Умножая обе чacrи равенства на dt и учитывая, чro

N·dt = dA , получим

Проинтегрировав обе чacrи этоro равенства в пределах,

соотвercтвyющвх звачев:иям перемеJlllblX при движеиви ТOЧkИ

из JCaI(()ro-то Мо в ПРОВЗВОJlЬиое положение М1 , найдем

окончательно

mv: тv; _~.4

2 - 2 - ~~"(M,}ll)· (3.47)

Уравиеиие (3.47) выражает теорему об изменении квиетической энерrии точки в конечном виде: измевеlllfе I<RReТИЧeCkой эиерrии точки при некотором ее перемещеиви равно ameбраической сумме paбor :всех дейcrвующих на точку

сил.

Рассмотрим теперь механическую систему. на IC3ЖдYIO

k-ю точку этой сиCIeМЫ действуют внеmиие сшIы ~e И

80