Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
765.23 Кб
Скачать

Задание 13. Найдите объем тела, образованный вращением фигуры, ограниченной графиками функций.

 

x

 

1

 

13.2. y 2x x2 , y x 2 , во-

13.1. y 2

 

, y 4 , вокруг оси ОХ

круг оси ОХ

 

13.3. y x3, y x2 , вокруг оси ОУ

13.4. y (x 1)2 , x 0, x 2, y 0 ,

 

 

 

 

 

вокруг оси ОУ

 

 

 

13.5. y x 2 3x 2, y 0 , вокруг

13.6. y 2x x2 , y 0 , вокруг оси

оси ОУ

 

 

 

 

ОХ

 

 

 

 

13.7. y x2

1, y x, x 0, x 1,

13.8. y x 8, y x, x 0, вокруг

вокруг оси ОУ

 

 

оси ОУ

 

 

 

 

13.9. y x2 , y2

x, вокруг оси ОХ

13.10. y x3, y x, вокруг оси

 

 

 

 

 

ОХ

 

 

 

 

13.11. y 3 x2 , y x2 1, вокруг

13.12. y x2

1, y 3x 1, вокруг

оси ОХ

 

 

 

 

оси ОХ

 

 

 

 

13.13. y2 4x,

x 4 , вокруг оси

13.14. y 2x x2 , y 4x 2x2 , во-

ОУ

 

 

 

 

круг оси ОХ

 

 

 

 

 

13.15. y x2 , x 2, y 0,

вокруг

13.16. y x2

2x 1, x 2, во-

оси ОУ

 

 

 

 

круг оси ОУ

 

 

 

 

13.17. y x2 5x 6, y 0, во-

13.18. y x3

2, y 1, вокруг

круг оси ОХ

 

 

 

 

оси ОХ

 

 

 

 

13.19. y 1 x2 , x 0, x

y 2,

13.20. y x3, y 8, x 0, вокруг

вокруг оси ОХ

 

 

оси ОУ

 

 

 

13.21. y (x 2)2 , y 0, x 0 , во-

13.22. y x2 , y 1, x 2 ,вокруг оси

круг оси ОУ

 

 

 

 

ОХ

 

 

 

13.23. y x2 2, y 0, x 1, во-

13.24. y x2 , y x, вокруг оси

круг оси ОХ

 

 

 

 

ОУ

 

 

 

13.25. y (x 2)2 , y 0, x 0, во-

13.26. y x2 8x 7, y 0, во-

круг оси ОУ

 

 

 

 

круг оси ОХ

 

 

 

 

 

 

 

 

71

13.27. y x2

8x 7, y 0, во-

13.28. y

x 1, x 5, y 0, во-

круг сои ОХ

 

круг оси ОУ

 

 

 

 

 

13.29. y x2

2, y 1, вокруг

13.30. y

2 x, y 0, x 2, во-

оси ОУ

 

круг оси ОХ и ОУ

 

 

 

 

Образец выполнения задания 13

Найдите объем тела, образованный вращением фигуры, ограниченной графиками функций:

y 4 x2 , y 2 x, x 0 , вокруг оси ох и оси оу.

Р е ш е н и е .

1) Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиком функций вокруг оси ох.

Найдем координаты точек пересечения графиков функций

y 4 x2 , y 2 x ,

4 x2 2 x, x2 x 2 0, x 1, x

2

2, т.к.

 

1

 

x 0, то х1 = 1, следовательно у1 = 2 + 1 = 3.

Координаты точки пересечения А(1; 3). Построим графики функций у = 4 - х2, у = 2 + х.

у

у = 2 + х

у = 4 – х2

х

72

Для нахождения объема воспользуемся формулой:

b

V f 2 (x) dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

V = V1 V2 , где V1 – объем

образованный вращением у = 4 - х2,

x

 

 

вокруг

оси ОХ, V

2

– объем

образованный

вращением

 

0;1

 

y

2 x, x

 

 

 

вокруг оси ОХ.

 

 

 

 

 

 

0;1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

V (4 x2 )2 dx (2 x)2 dx ((4 x2 )2 (2 x)2 )dx

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5

 

12x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x4

12x2

12)dx

x

 

 

12х

1

1 4 12

8 1 ед3.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

5

 

3

 

 

0

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т : 8 15 ед3.

2)Найдем объем тела вращения, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси ОУ.

y 4 x2 , x2 4 y, x 4 y, т.к. x 0 ,

x 4 y .

y 2 x x y 2.

Для нахождения объема воспользуемся формулой:

d

V x2 ( y)dy.

 

 

 

c

 

V = V1 + V2 , где V1 – объем образованный вращением x

4 y

y 3; 4 вокруг

оси ОУ, V2 – объем образованный вращением

x y 24, y

 

 

 

 

 

2;3 вокруг оси ОУ.

 

73

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V V1 V2

 

4 y 2 dy ( y 2) 2dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

4

 

 

 

 

y

3

 

 

4 y

2

 

 

3

(4 y)dy ( y 2)2 dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

9

 

 

 

 

27

2 9

12

 

 

 

 

8

2 4

4 2

 

 

16

2

 

12

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

15

 

 

 

3

8

 

 

1

 

1

 

 

5

ед3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

2

3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т :

5

ед3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 14. Найдите несобственные интегралы или доказать их расходимость.

14.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

3

 

x4

dx ;

 

1)

 

2x dx

 

;

 

 

 

 

 

x

e

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 6

 

 

 

 

(3 x)

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

25 4x

2

 

 

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

5

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 x2

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

14.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

x

2

8x 25

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

xln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xln

3

x

 

 

 

 

x

2

 

4x 3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74

14.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

9

 

 

 

 

 

x2 25

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

14.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln3 x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

1)

x2e x3 dx ;

 

 

 

e

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 (x 1)4

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

2x dx

 

 

1)

e x

dx ;

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xln x

 

 

 

 

 

 

 

 

3 (4 x)2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

14.13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

2x

2dx

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

1)

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

x

2

6x

11

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

14.15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1)

 

 

 

 

;

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

2

6x

10

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 x)

5

 

 

 

 

 

xln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 dx

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

10

 

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

(7 x)

4

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

75

14.19.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

e

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

8x

 

20

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x

2

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

14.21.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.22.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

1)

0

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 2x)2

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.23.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

x

2

8x

17

 

 

(1 x)2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

2) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x2

 

 

 

(2x 3)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.25.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.26.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

x ln

3

x

 

 

 

 

 

(1 x)

 

x

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.28.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

xe x2 dx ;

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

25 9x

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

1 хln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.29.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.30.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

x

2

2x

5

 

 

x

2

2x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

4

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

76

Образец выполнения задания 14

Найдите несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1) x dx ;

x4 9

6dx

2)2 x x 2 .

Р е ш е н и е .

 

 

xdx

 

 

 

1

 

 

 

dx2

1

 

1

 

 

x2

 

 

 

1

 

 

( )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

(arctg

 

 

 

4

 

 

2

 

2

 

2

2

2

3

3

 

6

3

 

x

 

9

 

 

 

(x

 

)

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

( )2

 

1

(arctg( ) arctg( ))

1

 

 

 

 

0,

интеграл

3

 

)

6

6

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится.

О т в е т : 0, интеграл сходится.

2)

6

 

 

 

 

y

 

1

 

, x 2 2;6 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

точка разрыва второго рода.

 

x

 

x 2

 

 

введемзамену:

x 2

t, x 2 t2 , x t2

2, dx 2tdt

 

 

 

 

 

 

приx

2,t

0,приx 6,t 2

 

 

 

2

 

2tdt

 

2

 

 

dt

 

 

 

1

 

 

t

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

arctg

 

 

 

 

0

 

2(arctg 2

arctg0)

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

(t

 

2)t

 

0 t

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(arctg

2 0)

 

2arctg

2 , интеграл сходится.

 

 

 

О т в е т :

2arctg

2 ,интеграл сходится.

 

 

77

Литература

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 2003.

2.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие.- 22 изд., перераб. – СПб.: Профессия, 2003 – 2006.

3.Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: учебник для вузов. –

М.: ВЛАДОС, 2004. – 399 с.

4.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.А. Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах: в 2 ч. – 6-е изд. – М.: ОНИКС, 21 век. Мир и образова-

ние, 2002. – Ч. 1.

5.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расче-

ты). – М.: Высш. шк., 1994.

6.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – М., 2004.

7.Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова. –

М.: Наука, 2004. – Ч. 1 – 3.

8.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.:

Наука, 1985.

78

Оглавление

 

Введение ..........................................................................................................

3

Введение в математический анализ ..............................................................

4

Дифференциальное исчисление функции одной переменной ..................

21

Интегральное исчисление функции одной переменной.............................

40

Литература ......................................................................................................

78

Печатается в авторской редакции Технический редактор М.Н. Авдюхова Лицензия А № 165724 от 11.04.06 г.

Подписано в печать 27.07.12 г. Формат 60 84 1/16 . Гарнитура таймс. Уч.-изд. л. 4. Усл. п.л. 4,5.

Тир. 4. Зак.

ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет» 162600 г. Череповец, пр. Луначарского, 5.

79