Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

765.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>


3)	lim		x 4 3		;

	x 5		x 1 2
4)	lim	cos x 1 ln 1 x				;

	x 0		x2 sin x
5)		x 2		2 x 3
	lim			.
			x 1
	x

Ре ш е н и е.

1)Домножим и разделим на сопряженное выражение:

lim

n2 5n

n2 1

lim

n2 5n n2 1

n2 5n n 2 1

n2 5n n2 1

lim

5n 1

n2 5n n2 1

n n2 5n n2 1

Разделим числитель и знаменатель дроби на n:

	5n 1			1
lim	n	lim	5 n			5	2,5
lim	n2 5n n2 1	lim	5		1	1 1	2,5
n	n2 5n n2 1	n	5		1	1 1
			1 n	1	n
	n		1 n	1	n

О т в е т : -2,5.

2) Имеем неопределенность вида 00 . Разложим числитель и зна-

менатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители и произведем очевидные сокращения общих множителей. Неопределенность при этом исчезнет, и предел будет равен значению дроби при х = – 1:

lim	x3	x 2	lim	x 1 x2 x 2	lim	x2	x 2	2.
		x2 1		x 1 x 1			x 1
x 1			x 1		x 1

О т в е т : -2.

3) Выполним элементарные преобразования, используя формулу a b a b a2 b2 . Получим

lim

x 4 3

lim

x 4 3

x 1 2

x 4 3

x 1 2

x 5

lim

x 5

x 1 2

lim

x 1 2

x 5

x 4 3

x 5

От в е т : 23 .

4)Воспользуемся замечательными пределами

lim sin	1,	lim	ln 1	1,

0		0

известными тригонометрическими тождествами

sin 2sin	cos	;	1 cos 2sin	2
	2	2		2

и теоремой о пределе произведения. Тогда

cos x 1 ln 1 x

2sin2

ln 1 x

lim

x2 sin x

x 0

2x2 sin

cos

lim

sin

1 x

1 .

x 0

2cos

О т в е т : 1 .

x 2 2 x 3

x 1 3 2 x 3

2 x 3

lim

lim 1

x 1

2x 3

x 1

3 lim 2x 3

lim 1

1 lim

x x 1

x 1

	2x 3				3 10
3 lim		x		3 lim	2 x
		x			10
		x 1			10
x		x 1		x	1
=e			e		1 x	e 32 e 6.
=e		x	e		1 x	e 32 e 6.

О т в е т : e 6 .

Задание 3. Исследуйте функцию на непрерывность и схематично постройте график.

3.1.

3x 1

3.2.

1) y

;

x2 2x

x2 2x 1

2) y 2

;

x 3

2) y e

;

2 x

, x 0

x, x 2

3) y

x 2

2 x 0

x, x 2

, x

3.3.

3.4.

1) y

;

1) y

;

x2 x

x2 9

2) y e

;

x 2

2) y 2

;

3 x

sin x,

x 0

x 1

3) y

0 x 1

x 0

ln x,

ln(x

1),

x 1

cos x, x 0

3.5.

x3 1

3.6.

1) y

;

x3 4x2

x2 3x 2

2) y e

3 x

;

2) y e

( x 2)2

;

x 0

cos x,

ln x,

x 0

3) y tgx,

x 4

3.7.

3x2

3.8.

1) y

;

x(x 2)2

x2 4

2x 1

2) y 2 2

;

2) y 3

2 x 1

;

x2 ,

x 0

2cos x, x 0

0 x

0 x 1

sin x,

3.9.

2x2

;

3.10.

;

1) y

x2 5x 6

2) y 1 2 x 1 ;

2( x

;

cos x,

x 1

1),

1 x 0

ln(x

x 0

2cos x,

ex 1,

lg x,

x 2 0

3.11.

3x2 2

3.12.

x 1

;

1) y

;

x2 2x 3

x 2 4x 4

;

2) y 1 e

;

1 2x

1, x 1

cos x,

x 0

1),

1 x 0

ln(x

, 0

x 1

2cos x, x

ln(x

1),

3.13.

x2 2

3.14.

4x2 3

;

x2 9

(x 1)2

2) y e

7 x

;

x 1

2, x

1 x 1

3) y

ln(x

1),

x 1

tgx, 0 x

3.15.

3.16.

1) y

;

1) y

;

x2 3x 2

4 3x x2

y 4x 2 ;

2) y 1 1 ;

1 e x

x 0

cos x,

3) y

cos x,

ln x,

x 1

3) y

x 1

, x 1

x 0

ln x,

3.17.

3.18.

1) y

;

1) y

;

12 x x2

x(x 3)2

2) y e

;

2 x 3

2 x

2) y e

;

2 x 4

, x 2

1 x, 0

x 3

ln(x 3),

3) y 2x 3, 2 x 2

x 2

3.19.

3.20.

;

1) y

;

2) y 1 3x

;

2) y 2 1 ;

1 2

x 1

3, x 0

x 0

y 4x 3,0 x 2

3) y

, 0 x 2

x 2

, x 2

3.21.

3.22.

1) y

;

1) y

;

(x 1)2 (x 2)

x3 1

2) y 7

x 2

2) y 1 2

;

x 1

x 3

x 1, x 1

3) y

xx , x

3 , 0

x2 3, 1 x 2

5, x

x 2

3.23.

x 1

3.24.

2 x

;

1) y

;

2 6x 5

(x 2)2 x

2) y e

x 5

x 3

x 6

;

2) y 4

;

x 3

2x2 , x 0

(x 1)2 , x 0

0 x

3) y

0 x 2

sin x,

x, x

x, x 2

3.25.

4 x2

3.26.

1) y

;

y x2 4 ;

x2 2x

2) y 2

3 x

;

2) y e x 3;

( x 2)2

x 0

, x 1

3) y

1 x 2

ln x, 0 x 1

, x 1

x 2

(x 1)

3.27.

x3 2

3.28.

;

1) y

;

3x2 4x 1

x3 8x

2) y 3

2x 1

2) y 1 5

;

2x 6

;

x 3

x 0

, x 0

3) y

x2 , 0

2x, x

ctg x, 0 x

2 , x 2

3.29.

3.30.

2x2

;

1) y

;

6x 9

2) y 1 e

2) y 2 2

( x 2)2

;

4, x 0

, x 1

4, 0

x 2

3) y

2 ,

x 1

ln(x

2),

2 x, x 1

Образец выполнения задания 3

Исследуйте функцию на непрерывность и схематично постройте график

1) y x4(xx 11) ;

2)y e 3 x ;

		3	x	,	x 1,
3)		5x 7				, 1	x 1,
3)	y			6		, 1	x 1,
				6	x 1.
		ln x,			x 1.

Р е ш е н и е .

1)y x4(xx 11) , очевидно Dy : x 0, x 1 и точки разрыва x = 0,

x= -1.

Найдем односторонние пределы в точках разрыва. В точке x = 0 предел справа:

lim	4x 1	4 0 1	1	,
		0 (0 1)	0
x 0 0 x(x 1)

предел слева:

lim	4x 1	4 0 1	1	.
		0 (0 1)	0
x 0 0 x(x 1)

В точке x = -1 предел справа:

lim	4x 1		4 ( 1) 1				3		3			,

						1 ( 0)			0
x 1 0 x(x 1)				1 ( 0)
предел слева:
lim		4x 1			4 ( 1) 1			3			3

					1 ( 0)		1	( 0)		0
x 1 0 x(x 1)

Следовательно: x = 0, x = -1 точки разрыва II рода.

Рассмотрим поведение функции при x , для этого найдем предел функции при x :

	lim		4x 1

	x x(x 1) =
	неопределенность вида	,степеньмногочлена

=				0 .
	вчислителе меньше степенимногочлена
	в знаменателе,следовательно предел равен 0

Таким образом y = 0 при x .

у = 0 х

х = -1 х = 0

2)y e3 x , очевидно Dy : x 3и точка разрыва функции x = 3.

Найдем односторонние пределы в точке разрыва х = 3 предел справа:

2 x

2 3

lim

( 0)

3 x

x 3 0

2 x

2 3

предел слева: lim

( 0)

3 x

x 3 0

Следовательно х = 3 – точка разрыва II рода.

Рассмотрим поведение функции при x , для этого найдем предел функции при x .

2 x

e ,неопределеннсотьвида

,степень

e 2

lim

e 3 x =

=e 1

многочлена вчислителе равна степени

многочленав знаменателе

Таким образом y e12 при x .

		3	x	,	x 1
3)		5x 7				, 1	x 1
3)	y			6		, 1	x 1
				6	x 1
		ln x,			x 1

Заметим, что х = –1, х = 1 – точки подозрительные на разрыв. Найдем односторонние пределы функции в этих точках

ln х

В точке х = -1 предел слева:			lim 3x 3 1		1	, предел справа:
		x 1 0			3
lim	5x 7		5 ( 1) 7	2		1 .
x 1 0	6		6	6		3

Так как		lim	f (x) lim f (x), найдем					еще значение функции
	x	1 0		x 1 0
в точке	x 1,		y( 1) 5 ( 1) 7				1 .
				6			3
lim	f (x)		lim	f (x) f (x) ,		следовательно функция в точке
x 1 0		x	1 0
х = -1, непрерывна.					lim 5x 7			5 1 7	12
В точке х = 1			предел слева:		lim 5x 7			5 1 7	12	2, предел
				x 1 0			6	6	6
справа:	lim ln x ln1 0 .
x 1 0							f (x) lim		f (x)
Так как		пределы конечны и			lim		f (x) lim		f (x)	то в точке
					x 1 0			x 1 0
х = 1, функция терпит разрыв, х = 1 точка разрыва									I рода, разрыв
неустранимый со скачком 2 единицы.

у х

у = ln х

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.07.2019302.59 Кб5Русский язык и культура речи (Кондрашкина С.И.)....doc
#
17.11.2018244.22 Кб25Русский язык и культура речи (Кондрашкина С.И.)....doc
#
06.09.2019898.05 Кб46Рыжков (Деловой английский).doc
#
22.03.2015685.54 Кб35ряды.pdf
#
24.09.201977.82 Кб5с 19-24.doc
#
22.03.2015765.23 Кб10С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3.pdf
#
22.03.2015359.85 Кб10самостоятельная по интегралам 1.pdf
#
30.04.2015581.63 Кб8САНПин 2013г..doc
#
22.03.20154.16 Mб69Сборник 2014. Макет.pdf
#
22.03.20151.28 Mб13СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ3.doc
#
31.08.20193.6 Mб4Сборник задач по курсу НГ.doc