Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

765.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

6.27. lim	x	6.28.	lim	5x 2
				5x 2

x 0 tg x			x x2 3
	x2	6.30. lim ln x
6.29. lim			x 0	1
6.29. lim			x 0	1
x 2x 1				x
				x

Образец выполнения задания 6

Найдите предел, используя правило Лопиталя	lim	3x		.
			2
	x x2

Р е ш е н и е .

		lim	3x		=
		lim		2	=
		x x2		2
	неопределенностьвида . Найдемпроизводную
	неопределенностьвида . Найдемпроизводную
	числителя(3x)' 3x ln2 и знаменателя(x2 2)' 2x
		неопределенностьвида ,найдем
		неопределенностьвида ,найдем
= lim	(3x ln 2)	производнуючислителя(3x ln2)' 3x ln2 2
x	2x	изнаменателя(2x)' 2
	2x	изнаменателя(2x)' 2

lim	3x ln2 2	3 ln2 2

x	2	2

О т в е т : .

Задание 7. Проведите полное исследование функции

2 x3

и постройте ее график.

7.1.

7.2.

x2 9

x3 1

7.3. y

7.4. y

x2 2x

4x 8

7.5. y 4 x2x

7.6. y

7.7. y

7.8. y

2x 3

(2x 1)2

2 4

7.9. y

2x 1

7.10.

(x 1)2

x 4

7.11.

7.12.

x2 4

7.13. y

7.14. y

x2 9

2 5x 6

7.15. y

x 3

7.16.

x 1

x2 4x 3

x(x 2)

7.17.

x 2

7.18.

1)(x 3)

x2 25

7.19.

7.20. y

7.21.

x 3

7.22.

x2 25

2)(x 4)

x2 4

7.23. y

7.24. y

(x 2)2

x3 8

7.25. y

x 2

7.26. y

x 1

x2 8x 7

2 3x 2

7.27. y

x2 1

7.28. y

(x 3)2

7.29.

7.30.

7)2

(x 2)(x 7)

Образец выполнения задания 7

Проведите полное исследование функции			y	2 x3		и построй-
Проведите полное исследование функции			y	3	x2	и построй-
те ее график.				3	x2
те ее график.
Р е ш е н и е .
1. Область определения.
D (y): 3 – x 2 ≠ 0, x 2 ≠ 3, x 3 .
D (y) = ; 3 3;	3	3; .

2. Непрерывность, точки разрыва.

На области определения функция является непрерывной как ча-

стное двух непрерывных функций. x 3 ,	x 3 – точки раз-
рыва данной функции:

lim	y(x)	lim	2 x3	, lim	y(x) lim	2 x3	;
			3 x2			3 x2
x 3 0		x 3 0		x 3 0	x 3 0

lim y(x) lim			2 x3	, lim	y(x) lim		2 x3	.
			3 x2				3 x2
x 3 0	x 3 0			x 3 0	x 3 0
Значит,	x	3	– точки разрыва второго рода.
3. Четность, нечетность, периодичность.
y x	2 x3		2 x3	y x y x	функция является не-
	3 x2		3 x2

четной y (x + T) ≠ y (x) ни для каких значений Т.						Следовательно

функция не является периодической.

4. Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.


		6 x2	3 x 2 2 x3 2 x				18 x2 6 x4 4 x4		18 x2 2 x4
	x		3 x2 2			=	3 x2 2		= 3 x2 2 .
y	x		3 x2 2			=	3 x2 2		= 3 x2 2 .
				x 0	:	18 x2 2 x4
						3 x2 2
			y			3 x2 2		0

18 x2 – 2 x 4 = 0,	3 x2 2 0
2 x 2 (9 – x 2) = 0	x 3 ,	x 3 .
x = 0, x = – 3 , x = 3.
Критические точки: x 3 , x = ± 3,		x = 0.

Критическими точками область определения разбивается на ряд интервалов. Определим знаки производной и поведение функции на интервалах:

	min	+	+	max
y (x) : –	+			–	x
y(x) :	-3 3	0		3

x = – 3 – точка минимума, x = 3 – точка максимума. Значение функции в точках экстремума:

ymin y 3	2 3 3	54	54	9,
	3 3 2	3 9	6

y max = y (3) = – 9.

5. Направления выпуклости и точки перегиба.


									18 x2 2 x4																9 x2 x4
			y x						18 x2 2 x4										2						9 x2 x4						=
			y x						3 x				2		2				2						3			2	2		=
													2														x	2
																											x
	=2	18 x 4 x				9 6 x						x			9 x									x			2 3 x 2 x								=
					3					2				4								2				4

													3 x				2			4
																	2

	162x	108x	3	18x			5	36x			3		24x			5			4x				7	4x 27x						2	9x	4	3x	4	x	6
= 2	162x	108x		18x				36x					24x						4x					4x 27x							9x		3x		x		=
= 2																					4																=
														3 x				2			4
																		2

=2 4 x7 42 x5 144 x3 162 x 108 x3 48 x5 4 x7 =

3 x2 4

= 2	6 x5 36 x3 162 x	= 12	x5 6 x3 27 x	=	12	x x4 6 x2 27	.
			3 x2 4
	3 x2 4					3 x2 4

y x 0 : x = 0,	x 4 + 6 x 2 – 27 = 0, 3 – x 2 ≠ 0.
x 2 = t,	t ≥ 0, x 3

t 2 + 6 t – 27 = 0

t 1 = – 9 – не удовлетворяет ограничению t ≥ 0

t 2 = 3

x 3 D (y)

	+		–	+			–
y (x) :			–	+			–	x
y(x) :				0		3
y(x) :	выпукла	3	выпукла	0	выпукла	3	выпукла

6.	Точки пересечения графика с осями координат.
а)	Точки пересечения с осью Ох					(у = 0):
		2 x3	0		х = 0.
		3 x2	0		х = 0.
		3 x2
б)	Точки пересечения с осью Оу					(х = 0):
		y		2 03		0.
		y		3 02		0.
				3 02

Итак, единственная точка пересечения с осями координат (0; 0)

7. Асимптоты.

а) Горизонтальные асимптоты

lim	2 x3		,
		x2
x 3
lim	2 x3		.
		x2
x 3

Следовательно, горизонтальных асимптот нет. б) Вертикальные асимптоты

x 3 – точки разрыва. В п. 2 исследования было показано,

что

lim

y(x) ;

x 3 0

lim

y(x) ,

x 3 0

значит, x 3

3 – вертикальные асимптоты.

б) Наклонные асимптоты

Уравнение наклонной асимптоты у = kx + b.

k lim

y x

lim

2 x3

lim

2 x3

x 3 x2 x

x x3 3 x

b lim y x k x =b lim

2 x3

2 x

3 x2

= lim

2 x3

6 x 2 x3

3 x2

Итак, y = –2 x – наклонная асимптота.

8. График

y	2x3					2x3
y	3 x2				y	2x3
						3 x2
						3 x2
				9
				7
				5
				3
				1
	-3	3	-1	0		1	3				x
								3
								3

				-3
				-5

				-7							y 2x
				-7

				-9
				-9

									y	2x3
									y	3	x2
										3	x2

Задание 8. Найдите кривизну и радиус кривизны линии в точке с абсциссой х0.

8.1. y 4x x2 ,								x				2	8.2. y 4 ,				x0				2
										0			x
													x
8.3. y ln x, x0								1					8.4. y			x3				1			, x0				1
8.3. y ln x, x0								1					8.4. y										, x0				1
																				3
8.5. y	x2	4x				,			x			1	8.6. y ex ,						x		0
8.5. y						,			x			1	8.6. y ex ,						x		0
		2									0									0
		2
8.7. y	x3	, x0			1								8.8. y		x3,						x			1
8.7. y		, x0			1								8.8. y		x3,						x			1
3																					0
3
8.9. y 1			x2	,			x				1		8.10. y x3,							x			1
8.9. y 1				,			x				1		8.10. y x3,							x			1
		2						0													0
		2
8.11. y x3,					x				1				8.12. y				3x,					x				3
							0					2												0
												2
8.13. y cos x,							x						8.14. y sin x,									x
								0				4												0				4
												4																4
8.15. y e2x ,				x				0					8.16. y 2x x									2 , x						1
					0																					0
8.17. y 2ln x,								x			1		8.18. y		x3			,			x			2
8.17. y 2ln x,								x			1		8.18. y					,			x			2
								0							6						0
															6
8.19. y		5x,				x					5		8.20. y e x ,								x				0
								0														0
8.21. y 3x2 1,										x		1	8.22. y e3x ,								x				0
											0										0
8.23. y 4ln(x 1),												x 2	8.24. y 2cos x,												x
												0														0		4
																												4
8.25. y			x3 ,		x					4			8.26. y		2		,			x0		2
								0							x
								0

8.27. y x2 ,					x				1				8.28. y	x2						,	x				4
8.27. y x2 ,					x				1				8.28. y							,	x				4
							0								2						0
															2
8.29. y 1 , x0 1													8.30. y e4x ,								x				0
	x																				0
	x

Образец выполнения задания 8

Найдите кривизну и радиус кривизны линии y	x4	в точке с
	4

абсциссой х0 = 1.

Р е ш е н и е .

Найдем производные функции первого и второго порядков, и их

значения в точке с абсциссой			х0 = 1.
	x4	'
y '			x3 , y' (1) = –1,
	4

y'' = (-x3) ' = -3x2, y'' (1) = –3.

Подставим полученные выражения в формулы кривизны и радиуса кривизны кривой:

k		y ''	, R	1	.
		y ''

	3			k


	(1 ( y ')2 )2
	(1 ( y ')2 )2

Получим

k				3			3			3	.
				3

					3		8		2	2
					3
	(1		( 1)2 )2
	(1		( 1)2 )2
R	1				8		1	2		2 .
R		3			3		3	2		2 .
		3			3		3			3
						2	2
		8				2	2

О т в е т : k		3	, R	2 2	.
	2	2		3

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Задание 9. Найдите неопределенные интегралы.

9.1.						dx											9.2.								dx
1)						dx				;							1)								dx								;
1)		7		2x					2	;							1)			sin		2		(4x							1)		;
		7		2x																sin				(4x							1)
2)				1 ln x									dx		;		2)							dx								;
2)							x						dx		;		2)			x 1 ln2 x												;
3)	(4x 2)cos 2x dx ;																3)	(x2					1)e3xdx ;
4)							dx						;				4)							dx								;
			3 x x																					dx
			3 x x																	3	3x 1										1
5)	cos3 x dx ;																				3x 1										1
5)	cos3 x dx ;																5)			cos3 x						dx ;
6)								x dx									5)			sin		2			x	dx ;
								x dx												sin			2		x
			x	2		(x		2	4x 1)								6)			2x			2		7x						8			dx
			x			(x			4x 1)											2x					7x						8
																				(x					2)		2		(x				1)
																				(x					2)				(x				1)

9.3.							dx										9.4.
1)							dx							;			1)	cos(2x 1) dx ;
1)				5 4x2										;			1)	cos(2x 1) dx ;
				5 4x2													2)	arcsin								4		x dx ;
					xdx												2)	arcsin										x dx ;
2)					xdx						;										1 x2
2)				1 x4							;						3)				1 x2
3)				1 x4													3)	(x 1)2 sin 5x dx ;
3)	ln(x2 4)dx ;																4)				x 1						dx				;
		1 2							x
4)											dx ;									3	x		1
																					x		1
		1		2					x								5)	sin xsin 2x dx ;
5)		1		2					x								5)	sin xsin 2x dx ;
5)	sin3 2x dx ;																6)								x dx
6)								5x		2						dx	6)			(x					2)(x					3	8)
								5x												(x					2)(x						8)
			(x 1)(x									3		1)
			(x 1)(x											1)

9.5.																	9.6.
1)	e				x		dx ;										1)	sin(4 3x) dx ;
					4												1)	sin(4 3x) dx ;
																	2)			ex dx							;
					dx															ex dx
					dx															2 x
2)	xln2 x								;								3)		1 e
3)	(x				2		2x 1)cos 2x dx ;										3)	arctg4x dx ;
3)	(x						2x 1)cos 2x dx ;

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.07.2019302.59 Кб5Русский язык и культура речи (Кондрашкина С.И.)....doc
#
17.11.2018244.22 Кб25Русский язык и культура речи (Кондрашкина С.И.)....doc
#
06.09.2019898.05 Кб46Рыжков (Деловой английский).doc
#
22.03.2015685.54 Кб35ряды.pdf
#
24.09.201977.82 Кб5с 19-24.doc
#
22.03.2015765.23 Кб10С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3.pdf
#
22.03.2015359.85 Кб10самостоятельная по интегралам 1.pdf
#
30.04.2015581.63 Кб8САНПин 2013г..doc
#
22.03.20154.16 Mб69Сборник 2014. Макет.pdf
#
22.03.20151.28 Mб13СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ3.doc
#
31.08.20193.6 Mб4Сборник задач по курсу НГ.doc