Потокосцепление. Собственная и взаимная индуктивности
Согласно закону электромагнитной индукции в контуре, охватывающем переменный магнитный поток, индуцируется ЭДС
Если контур состоит из w витков одного направления намотки, и все они сцеплены с одним и тем же потоком, то ЭДС отдельных витков суммируются арифметически и результирующая ЭДС равна
Произведение
называют магнитным потокосцеплением.
Пусть контур
выполнен из тонкого провода, а магнитное
поле возбуждено собственным током I
этого контура. Тогда потокосцепление
в этом контуре пропорционально току,
если окружающая среда обладает линейными
магнитными свойствами
.
Коэффициент пропорциональностиL
называют собственной индуктивностью
контура или цепи.
Можно доказать, что энергия магнитного поля этого контура равна
.
В случае двух индуктивно связанных контуров с токами I1 и I2 можно получить выражение для энергии магнитного поля в виде:
,
(3)
где
и
– потокосцепления контуров, вызванные
собственными токамиI1
и I2,
и
– потокосцепления взаимной индукции,
обусловленные токамиI1
и I2
соответственно, и пропорциональные им
в случае линейных магнитных свойств
среды:
;
;
M12 = M21 = M,
M – взаимная индуктивность контуров или цепей. Знаки «+» или «–» в выражении (3) зависят от способа включения контуров – согласного или встречного.
Если контуры окружает однородная среда, то
Вычисление взаимной индуктивности круглых и прямоугольных контуров в системе matlab
Ниже приведены тексты вычислительных сценариев расчёта взаимной индуктивности пар круглых и прямоугольных соосно расположенных в пространстве контуров.
% vzindkr - расчёт взаимной индуктивности круглых катушек
%
% Входные данные;
% R1 - радиус первой катушки
% R2 - радиус второй катушки
% w1 - число витков первой катушки
% w2 - число витков второй катушки
% x - массив расстояний между центрами катушек
% Выходные данные;
% M - массив взаимных индуктивностей катушек
m0=4E-7*pi;
k=2*sqrt(R1*R2./((R1+R2)^2+x.^2));
[K,E]=ellipke(k.^2);
M=m0*w1*w2*sqrt(R1*R2)*((2./k-k).*K-(2./k).*E);
% vzindpr - расчёт взаимной индуктивности прямоугольных катушек
%
% Входные данные;
% a - длина прямоугольного контура катушки
% b - ширина прямоугольного контура катушки
% w1 - число витков первой катушки
% w2 - число витков второй катушки
% x - массив расстояний между центрами катушек
% Выходные данные;
% M - массив взаимных индуктивностей катушек
m0=4E-7*pi;
M11=m0*a/pi/2*(log((a+sqrt(a^2+x.^2))./x)-(sqrt(a^2+x.^2)-x)/a);
M22=m0*b/pi/2*(log((b+sqrt(b^2+x.^2))./x)-(sqrt(b^2+x.^2)-x)/b);
M13=m0*a/pi/2*(log((a+sqrt(a^2+b^2+x.^2))./sqrt(b^2+x.^2))-(sqrt(a^2+b^2+x.^2)-...
sqrt(b^2+x.^2))/a);
M24=m0*b/pi/2*(log((b+sqrt(a^2+b^2+x.^2))./sqrt(a^2+x.^2))-(sqrt(a^2+b^2+x.^2)-...
sqrt(a^2+x.^2))/b);
M=2*w1*w2*(M11+M22-M13-M24);
Для примера запустим один из этих сценариев.
>> R1=0.048; R2=0.048;
>> w1=132; w2=132;
>> x=[0.04:0.002:0.06, 0.06:0.003:0.3]; % расстояния в метрах
>> vzindkr % Взаимные индуктивности, Гн
>> plot(x,M)
>> grid on
Контрольные вопросы
1. Как выражается магнитный поток через векторный потенциал?
2. Как выражается энергия магнитостатического поля через векторный потенциал?
3. Что такое магнитное потокосцепление и как с ним связана ЭДС электромагнитной индукции?
4. Что такое индуктивность контура и как она связана с энергией магнитного поля?
5. Что такое взаимная индуктивность двух контуров?
6. По какой формуле вычисляется взаимная индуктивность двух контуров, находящихся в бесконечной однородной среде?