3. Мощность множества

Множества иравномощны(или, упрощенно, имеют одно и то же количество элементов), если найдется биекция одного из этих множеств на другое. Равномощность есть отношение эквивалентности на классе всех множеств.

Множество равномощное своей собственной части (например, подмножеству, где какой-либо элемент из) называется бесконечным. В противном случае, если не существует биекции междуи , множествоназывается конечным. Пример конечных множеств – натуральные числа, которые определяются индуктивно

Тот факт, что этот индуктивный процесс можно считать завершенным и образовать тем самым множество натуральных чисел с нулем вытекает изаксиомы бесконечности:существует бесконечное множество.

Множество , равномощное совокупности натуральных чисел, называется счетным, ибо его элементы без пропусков и повторений можно выписать как последовательность

Докажем, что множество действительных чисел на отрезке не счетно и тем самым имеет большую мощность чем. Предположим противное: все действительные числа из отрезка можно занумеровать:

(здесь все -- цифры). Построим числотак, чтоидля каждого разряда. Но тогда, число из отрезка, не содержится в списке (3). Это противоречие с допущением показывает, что действительные числа из отрезканельзя перенумеровать, их больше чем натуральным чисел.

С другой стороны, декартов квадрат -- счетное множество, ибо элементы таблицы чисел

можно перенумеровать «змейкой» как показано выше. Из этого факта довольно просто следует, что множество всех дробей , т.е. множество рациональных чисел также счетно.

4. Индукция

Метод математической индукции иначе еще называют принципом домино. Представим себе ряд костей домино. Если толкнуть первую кость, то она вызовет падение второй кости, а та в свою очередь третьей и т.д. пока все кости не упадут. Разрушение всей системы основано на двух фактах:

1) первую кость мы толкаем сами, 2) если кость с номером n падает, то она вызывает падение и кости с номером n+1.

Принцип математической индукции гласит, что даже если в ряду костей домино бесконечное число, то все кости упадут. Трудность состоит в том, чтобы мыслить этот процесс завершенным до конца. Ясно, что никакой реальный эксперимент не может подтвердить такой принцип в точности, но частичное подтверждение этого принципа есть -- результат падения всех костей, даже если их несколько тысяч.

Приведу пример доказательства "по индукции" из теории чисел. Докажем, что для любого натурального n выполняется равенство

Нам надо обосновать целую серию числовых равенств

(Р1) (Р2)(Р3)...................... (Рn)

(Р(n+1)).....................

Что касается первых несколько, то они очевидны и в справедливости их можно убедиться непосредственным вычислением. Но ведь нам надо доказать соотношение (1) сразу для всех n. Поступим так: примем на веру, что утверждение Рn справедливо. Тогда преобразования

убеждают нас, что и следующее утверждение Р(n+1) также верно. Мы попадем в ситуацию, как и с костями домино: первое утверждение проверили, из него вытекает второе, а из него вытекает третье и т.д. до конца. Вот в этом слове "до конца" вся трудность -- конца-то у последовательности натуральных чисел нет. Здесь мы должны прочувствовать и поверить, что если в серии доказываемых равенств первое равенство верно, а из справедливости равенства с номером n вытекает справедливость n+1-го равенства, то все равенства верны. Иными словами мы считаем процесс выведения следующего равенства из предыдущего завершенным.

Наряду с формулой (1) будем далее пользоваться формулами:

В частности

Все эти формулы можно доказать «по индукции».

Отчетливо и строго принцип математической индукции сформулирован в параграфе «Методы доказательств»

Иногда ПМИ применяется в другой форме: если для ряда утверждений , проверена база индукции, а также установлено, что из того, что все утверждениясправедливы для всех k<n вытекает справедливость n-го утверждения, то как и ранее заключаем, что утвержденияверны для всех n.

Приведем пример утверждения из теории делимости натуральных чисел, где при доказательстве используется ПМИ во второй редакции. А именно, докажем основную теорему арифметики: любое натуральное число n>1 разложимо в произведение простых чисел и такое разложение единственно с точностью до перестановки множителей.

База индукции -- случай n=2. Это наименьшее простое число. Для него теорема верна. Предположим, что мы проверили разложимость в произведение простых всех чисел k меньший n. Если n ни на что не делится, кроме самого себя и единицы, то n -- простое число и n является искомым разложением самого себя. В противном случае, n=k⋅m для натуральных чисел 1<k, m<n. По предположению индукции числа k и m разложимы в произведение простых. Следовательно, и их произведение n также разложимо в произведение простых.

Единственность разложения доказываем методом от противного. Пусть -- простое число, входящее в разложение числаи в то же время, где все-ые простые числа не равные. Считаемнаименьшим возможным с таким свойством. Поделим каждыйнас остатком. Здесьв силу. Тогда раскрывая скобки в произведениии перенося все слагаемые с множителемв левую часть равенстваполучим равенствогде левая часть имеет в разложении на простые множители число, а правая в разложении на простые множители имеет простые сомножители меньшие, ибо сами-ые меньше. Следовательно, приходим к противоречию с минимальностью(Случай, когда всебыть не может, так какделится на). Противоречие показывает, что если в одном из разложений натурального числавстречается простое число, то в любом другом разложении оно также встречается. Сокращая на, приходим к разложениям с меньшим числом простых сомножителей. Индукция по числу простых сомножителей завершает доказательство.