LEKTsII / Тема 10 Неопределенный интеграл
.docxНеопределенный интеграл
Оглавление
1Первообразная и неопределенный интеграл 1
2Простейшие свойства неопределенного интеграла. 3
Таблица основных интегралов 3
2.1Дополнительная таблица интегралов 4
3Замена переменной в неопределённом интеграле 5
3.1Метод интегрирования функций вида и (a≠ 0). 6
4Интегрирование по частям в неопределённом интеграле 7
4.1Метод интегрирования функций вида . 7
4.2Метод интегрирования функций вида : 8
5Интегрирование рациональных дробей 8
5.1Метод интегрирования простейших дробей 4 типа. 11
6Интегрирование иррациональных выражений 12
6.1Интегрирование тригонометрических выражений 14
-
Первообразная и неопределенный интеграл
Решаем дифференциальное уравнение
на интервале , т.е. находим такую функцию , что . Так как , то уравнение (1) можно переписать в дифференциалах:
Любое решение такого уравнения называется первообразной функции . Итак, функция называется первообразной функции на интервале , если для всех . Случаи и/или не исключаются. Ясно, что если первообразная, то и также первообразная. Наша задача – найти все решения уравнения (1). Функция двух переменных называется общим решением уравнения (1) или, по-другому, неопределенным интегралом функции , если при подстановке вместо любого числа получаем частное решение уравнения (1) и любое частное решение уравнения (1) получается таким образом.
Неопределённый интеграл обозначается . Функция называется подинтегральной, дифференциал называется подинтегральным выражением, а -- знак интеграла (растянутая латинская буква S, первая буква слова Sum – сумма). Возникает вопрос о существовании первообразной и неопределенного интеграла. В разделе «Определенный интеграл», § Формула Ньютона-Лейбница будет доказано, что первообразная непрерывной функции всегда существует.
Лемма. Пусть тождественно для всех . Тогда -- константа на этом интервале.
Доказательство. Обозначим для какой-либо точки . Возьмём произвольную точку и к разности применим теорему Лагранжа: для некоторой точки . Отсюда и лемма доказана.□
Теорема о первообразных. Две первообразных одной и той же функции, определенной на интервале, отличаются на константу.
Доказательство. Пусть и -- первообразные функции . Тогда откуда, по лемме -- константа. Следовательно, . □
Следствие. Если -- первообразная функции , то .
Заметим, что если в качестве ОДЗ функции взять не интервал, а, например, такое несвязное множество как объединение двух интервалов , то любая функция вида
имеет нулевую производную, и тем самым лемма и теорема о первообразных перестает быть верной в этом случае.
-
Простейшие свойства неопределенного интеграла.
1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
2. Константу можно выносить за знак интеграла:
3. Производная от интеграла равна подинтегральной функции.
4. Дифференциал от интеграла равен подинтегральному выражению.
5. (Линейная замена переменных) Если , то (здесь ).
Таблица основных интегралов
В частности,
Для исключительного случая имеем:
Далее
-
Дополнительная таблица интегралов
-
Замена переменной в неопределённом интеграле
Определение неопределенного интеграла распространим на более общий случай: полагаем по определению . Таким образом, например
.
Теорема. Пусть -- дифференцируемая функция. Тогда
Доказательство. Пусть . Тогда
что и требовалось доказать.□
В частном случае, когда получаем линейную замену переменных (см. свойство 5, §1). Применение формулы (1) "слева на право" и будет означать замену переменной . Применение формулы (1) в обратном направлении, "справа налево" называется занесением под знак дифференциала.
Примеры. А.
-
Метод интегрирования функций вида и (a≠ 0).
1. Выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:
2. Тогда
3. Для вычисления первого интеграла в (2) применяем занесение под знак дифференциала:
Для вычисления второго интеграла выделяем в квадратном трехчлене полный квадрат и линейной заменой переменных сводим его к табличному.
Таким же методом вычисляются и интегралы вида
Примеры
В.
Г.
-
Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
Теорема. Для дифференцируемых функций и имеет место соотношение
Доказательство. Интегрируя левую и правую часть формулы , получаем:
Так как по определению и , то формула (1) следует.□
Пример.
-
Метод интегрирования функций вида .
Здесь и далее – многочлен степени n. Метод интегрирования состоит в занесении экспоненты или гармоники под знак дифференциала, а затем применяется формула интегрирования по частям. Повторяем эту процедуру n раз.
Пример.
-
Метод интегрирования функций вида :
Для интегрирования таких функций заносим многочлен под знак дифференциала и применяем формулу интегрирования по частям. Процедуру повторяем k раз.
Пример.
-
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется функция вида , где – многочлены. Если , то рациональную дробь называют правильной. В противном случае ее называют неправильной.
Следующие рациональные дроби называют простейшими
(1 тип) ,
(2 тип)
(3 тип)
(4 тип) ,
Теорема 1. Любую дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной рациональной дроби.
Доказательство. Пусть – неправильная рациональная дробь. Поделим числитель на знаменатель с остатком: Здесь -- многочлены, причем Тогда
Дробь правильная в силу неравенства . □
Теорема 2. Любую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших.
Алгоритм разложения.
а) Знаменатель правильной дроби раскладываем в произведение неприводимых многочленов (линейных и квадратичных с отрицательным дискриминантом):
Здесь и -- кратности соответствующих корней.
б) Раскладываем дробь в сумму простейших с неопределенными коэффициентами по следующим принципам:
-
множителю соответствует k простейших дробей первого и второго типов с неопределенными коэффициентами в числителе:
-
множителю соответствует m простейших дробей третьего и четвертого типов:
Так мы поступаем для каждого линейного множителя и для каждого квадратичного множителя.
в) Получившееся разложение умножаем на общий знаменатель , и неопределенные коэффициенты отыскиваем из условия тождественности левой и правой части. Действуем комбинацией двух методов
-
в получившееся равенство подставляем вместо корни знаменателя как действительные так и комплексные;
-
в получившемся равенстве приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
??? – обоснование алгоритма
Примеры. А. Разложим в сумму простейших
Отсюда следует, что . Подставляя в это соотношение находим сразу . Итак
Б. Разложим рациональную дробь в сумму простейших. Разложение этой дроби с неопределенными коэффициентами имеет вид
Умножая на общий знаменатель, получаем соотношение
Подставляя сюда , находим , откуда . Подставляя находим . Приравнивая коэффициенты при получаем систему
Отсюда и . Складывая равенства последней системы, получаем и . Тогда и
Следовательно,
/**/ Задача. Обобщить результат примера А и доказать равенство
-
Метод интегрирования простейших дробей 4 типа.
а) Выделяя в числителе производную знаменателя, разложим интеграл в сумму двух интегралов.
б) Первый из получившихся интегралов, после занесения под знак дифференциала, станет табличным.
в) Во втором в знаменателе выделяем полный квадрат и сводим вычисление к интегралу вида . К этому интегралу применяем следующую рекуррентную процедуру
К последнему интегралу применяем формулу интегрирования по частям:
Итак, если обозначить , то
Это представляет собой рекуррентную формулу вычисления интегралов c учетом начального значения .
Пример
-
Интегрирование иррациональных выражений
Далее -- рациональная функция одной или нескольких переменных.
Интегралы вида , где m/n,...,r/s -- рациональные числа с общим знаменателем k, сводятся к интегралу от рациональной функции заменой
Тогда суть рациональные выражения, следовательно, после подстановки, получается интеграл от рациональной дроби:
Вычислив этот интеграл (см. пар. 4) и сделав обратную замену , получим ответ.
Аналогично, интегралы вида
где ad-bc≠ 0, а k имеет тот же смысл как и выше, сводятся к интегралам от рациональной дроби заменой
Примеры. А. Вычислим интеграл
Б. Вычислим интеграл
Более простой метод интегрирования (но требующий догадки) этой же функции таков:
-
Интегрирование тригонометрических выражений
Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональной функции универсальной заменой
Тогда
поэтому получаем интеграл от рационального выражения
В частных случаях R(sin x) cos x dx, R(cos x) sin x dx и R(sin2x, cos2x, tg x, ctg x) dx лучше пользоваться заменами соответственно.
Примеры. А.
Б.