Программа курса математики для бакалавров

Тема 1. Множества. Логика.

Элемент и множество, принадлежность. Пустое множество. Равенство множеств. Задание множеств. Конечные и бесконечные множества. Подмножество, отношение включения. Операции объединения, пересечения и разности над множествами. Свойства операций. Пары, равенство пар. Декартово произведение двух множеств. Высказывания, истинность и ложность высказываний. Импликации, эквивалентные высказывания. Кванторы существования и всеобщности.

Тема 2. Числа

Натуральные числа. Цифры. Десятичная система счисления. Целые числа. Числовая ось. Порядок на кольце целых чисел. Рациональные числа, их равенство и арифметические операции, сравнение рациональных чисел. Десятичные дроби. Поле действительных чисел как совокупность всех бесконечных десятичных дробей. Линейная упорядоченность поля . Полнота числовой прямой, теорема о точной верхней грани. Приближения действительных чисел конечными десятичными дробями. Операции сложения и умножения над действительными числами. Отрезок, интервал, полуинтервал. Координаты на числовой оси. Длина отрезка числовой оси. Корни. Модуль. Знак числа как функция. Пополнение вещественной прямой бесконечно удаленными точками. Правила обращения с бесконечностью.

Тема 3. Функции

Отображение множеств. Биекции. Композиция отображений. Обратное отображение. Аналитические выражения. Функции одной переменной, в т.ч. заданные аналитическим выражением. ОДЗ и область значений функции. График функции. Основные элементарные функции. Линейные функции. Квадратные трехчлены. Многочлены. Рациональные дроби. Элементарные функции.

Тема 4. Предел и непрерывность.

Предел числовой последовательности. Предел монотонной последовательности. Свойства предела. Предельный переход в неравенствах. Число e. Предел функции. Свойства предела функции. Замечательные пределы. Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Устойчивость знака. Функции непрерывные на отрезке. Принцип непрерывности.

Тема 5. Производная.Техника дифференцирования.

Производная, ее механический и геометрический смысл. Касательная, уравнение касательной и нормали. Таблица производных. Основные правила дифференцирования. Логарифмическая производная.

Тема 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма, теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Правило Лопиталя. Сравнение роста на бесконечности логарифмической функции, степенной и показательной функций.

Формула Тейлора -- локальная и с остаточным членом в форме Лагранжа. Производные и дифференциалы высших порядков. Оценка остаточного члена в формуле Тейлора. Формула Маклорена.

Разложение элементарных функций по формуле Маклорена (экспонента, гармоники, бином Ньютона, логарифм).

Тема 7. Исследование функций

Экстремумы. Исследование функции по первой производной – определение участков возрастания и убывания. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение дифференцируемой функции на отрезке.

Исследование функций по второй производной. Участки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Асимптоты, их определение и способы отыскания.

Тема 7. СИСТЕМЫ. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Системы линейных уравнений малых порядков. Определитель 2х2, правило Крамара 2х2. Геометрическая интерпретация решения системы 2х2. Определители 3х3. Метод Крамара 3х3 решения систем линейных уравнений третьего порядка. Метод Гаусса. Приведение системы к ступенчатому виду. Исследование системы по ступенчатому виду. Случай однородной системы.

Матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число. Транспонирование матриц. Свойства этих операций. Произведение матриц. Единичная матрица.

Определители. Понятие определителя nxn. Определитель треугольной матрицы. Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение по строке (столбцу). Определитель произведения матриц.