Множества. Логика.

1Логика 1

1.1Полные и противоречивые теории 3

1.2Методы доказательств. 4

2Множества 6

3Отображения 9

1.3Мощность множества 12

4Индукция 14

1.4Рекурсия 17

5Суммы, произведения и бином Ньютона 19

1. Логика

Математика имеет дело с математическими объектами такими, как, например, числа, вектора, матрицы, функции, прямые, плоскости, геометрические фигуры и т.п. и т.д. Эти объекты связаны между собой огромным количеством отношений и свойств: равно, больше, меньше, делится (для чисел), возрастает, убывает, выпукла, вогнута (для функций); параллельны, перпендикулярны (для прямых) и т.д. Математический текст состоит из утверждений. Математическим утверждением называется повествовательное предложение, что-либо «утверждающее» относительно математических объектах и о котором хотя бы в принципе можно сказать верно оно или не верно. Например,

• ;

• ;

• любые две прямые на плоскости пересекаются;

• 

суть утверждения первые два из которых верны, а последние два не верны. В то же время, словосочетание «» не является утверждением, это есть объект – число 4. Словосочетание «» синтаксически не корректно и поэтому не является ни утверждением, ни объектом.

Пусть -- какие-либо утверждения. Из них можно построить новые утверждения, пользуясь логическими операциями «и», «или», «не», «следует», «эквивалентно». Утверждениеистинно в том и только том случае, если истинно одно из утвержденийили(или оба вместе). Например, утверждение, эквивалентное “” истинно, так как вторая компонента связки «или» выполнена. Утверждениеистинно в том и только том случае, если истинно как утверждениетак и. Отрицание утвержденияобозначаем как, оно истинно, если и только еслиложно.

Импликация значит, что из утвержденияследует (вытекает) утверждение. Импликация ложна только в одном случае, когда посылкаистинная, а заключениеложно. В частности, импликацияэквивалентна утверждению «». С импликацией связано единственное правило вывода (modusponens): если утверждениеверно, а также истинна импликация, то и утверждениетакже верно. Выводятся (доказываются) утверждения исходя из аксиом. Аксиома также является математическим утверждением, справедливость которого принимается на веру.

Запись значит, что эти утверждения эквивалентны, т.е. справедливость одного влечет справедливость другого.

Тавтологией называется утверждение верное при любой интерпретации входящих в него логических переменных. Простейшая из них Приведем примеры других тавтологий. Пустьи-- два утверждения. Тогда

и⇔не() или не ();

или⇔не() и не ();

⇔ ( не ()не()); (1)

⇔-- «отрицание отрицания»

Пример. Утверждение «не верно, что кот Васька плут и мошенник» эквивалентно следующему: «или Васька не плут или Васька не мошенник». Утверждение «не верно, что Фигаро здесь или Фигаро там» эквивалентно следующему: «Фигаро и не здесь и не там».

Следует привыкнуть и к так называемым кванторам существования и всеобщности. Записьзначит, что существует элемент(он может быть не единственен), что выполняется условие, содержащеекак переменную. Например, высказывание «» звучит так: найдется числоиз числового множества, квадрат которого равен -1. Если подразумевать область действительных чисел в качестве, то такое высказывание ложно, а для комплексных чисел оно истинно. Итак, знак∃заменяет слова "существует, найдется".

Квантор всеобщности ∀заменяет слова "для любого, всякий, для каждого" и т.п. Например,() -- верное высказывание, а-- ложное высказывание.

1. Полные и противоречивые теории

Курт Фри́дрих Гёдель (нем. Kurt Friedrich Gödel; 28 апреля 1906, Брюнн, Австро-Венгрия — 14 января 1978, Принстон,Нью-Джерси) — австрийский логик, математик и философ математики, наиболее известный сформулированной и доказанной им теоремой о неполноте.

Гёдель был логиком и философом науки. Наиболее известное достижение Гёделя — это сформулированные и доказанные им теоремы о неполноте, опубликованные в 1931 году. Одна из них гласит, что любая эффективно аксиоматизируемая теория, в достаточно богатом языке, достаточном для определения натуральных чисел и операций сложения и умножения, является неполной либо противоречивой. Неполнота означает наличие высказываний, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом этой теории. Противоречивость — возможность доказать любое высказывание: как истинное, так и ложное. Эффективная аксиоматизируемость понимается как возможность алгоритмически решить, является ли данное утверждение аксиомой. Доказанные Гёделем теоремы имеют широкие последствия как для математики, так и для философии (в частности, для онтологии и философии науки).

2. Методы доказательств.

Доказательство «от противного»основано на том, что для любого утвержденияверно ровно одно из утверждений: либо, либо его отрицание. Это можно считать логической аксиомой. Схема доказательства утверждения«от противного» такова: мы предполагаем, что верно отрицаниеи приводим это предположение к противоречию (типа 0=1). Тогда получается, что верно.

Приведем пример: докажем, что квадрат рациональной дроби не может быть равен 2. Предположим противное: имеет место равенство для некоторой дроби. Дробьможно считать несократимой, т.е.. Но из соотношениявытекаети тем самым число, а значит и числочетное, т.е. делится на два:. Действительно, если быбыло бы нечетным, тобыло бы также нечетным, вопреки тому, что оно четно. Подстановкавдаетили. Аналогичные рассуждения показывают, что числотакже четно, и тем самым дробьсократима на два – противоречие с выбором дроби. Это противоречие указывает на ложность допущения о существовании рационального решения уравнения.

Метод разделения случаев. Если истинно, то для доказательства утверждениядостаточно установить справедливость импликацийи.

Пример. Докажем, что при любом натуральномчислоцело. Рассмотрим два исчерпывающих случая: 1)-- четно и 2)– нечетно. В первом случае-- цело, а втором --также цело.

Метод перехода от теоремы к теореме. (см. эквивалентность (1))

Пример. Докажем, что если , то(для квадратов это не верно, почему – см. следующий метод). Предположим, тогда. Произведение равно 0 если и только если один из сомножителей равен 0. Если, то, что и требовалось доказать. Исследуем случай. Так как, то из последнего равенства вытекает, чтоиодновременно. Тогда и, т.е. опять.

Метод контрпримера. Для того, что бы установить ложность утверждениядостаточно указать конкретный объектпри подстановке которого утверждениестановиться ложным.

Пример. Утверждение не верно как показывает контрпример:, но.

Принцип математической индукции (ПМИ). Пусть дан ряд утверждений

и известно, что

1) -- истинное утверждение (база индукции);

2) если для какого-либо n утверждение верно (индукционное предположение), то и следующее утверждениетакже истинно (индукционный переход)

Тогда ПМИ позволяет заключить, что все утверждения верны. Более подробно этот принцип изложен в отдельном параграфе.

Договоримся всюду далее знак ":=" использовать как равенство по определению, т.е. означает, чтопо определению равно.