2. Множества

Множество-- неопределяемое понятие. Записьозначает, чтоэлемент принадлежит множеству. Отношение принадлежности также неопределяемо. Записьзначит, что элементне принадлежит множеству. Среди всех множеств естьпустое множество∅, которое не содержит ни одного элемента. Два множества равны, если и только, если они состоят из одних и тех же элементов (аксиома).

Множество, состоящее из элементов , записывается как. Очень часто множество задают следующим образом:

Здесь -- некоторое универсальное множество, из которого и отбираются элементы. Например,-- множество всех действительных чисел, синус которых равен нулю. Это множество совпадает с множеством {0,± π ,± 2π ,± 3π ,… }.

Пример.Множествосостоит из четырех элементов и равно множеству.

Множество называетсяподмножествоммножества, если всякий элемент из B принадлежит также и. Записывается это отношение так:или. Здесь употреблен символ нестрого включения. Если мы хотим выразить, чтои, то пишем(строгое включение). Аксиома равенства двух множеств может быть записана так:

Очередная аксиома теории множеств постулирует, что для любого множества существует множество всех его подмножеств.

Пример. Множествосостоящее из трех букв имеет 8 подмножеств:

Множество, состоящее из элементов имеетподмножеств.

Объединением множествиназывается множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих либо, либо.Пересечением множествиназывается множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как, так и.Разностью множествиназывается множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих, но не принадлежащих.

Пример.и.

Обозначим через количество элементов в множестве. Тогда

Свойства операций над множествами

• и(коммутативность);

• и(ассоциативность);

• и(дистрибутивность);

• (булевость)

• ;

• и(законы де Моргана)

Пара это новый математический объект. Пару элементовможно мыслить как множество из этих двух элементов с дополнительным указанием на то, какой из них первый, какой второй. Считаем, чтов том и только том случае, когда одновременнои(аксиома пары).

Замечание. Следуя Куратовскому, можно определить пару как множествои тогда и тогда критерий равенства пар подлежит доказательству.

Обозначим через -- совокупность всех пар, где a пробегает, апробегает. Называетсядекартовым произведением множества A на множество B. В частности, если, то обозначаемкаки называемдекартовым квадратом.

Рене́ Дека́рт (фр. René Descartes , лат. Renatus Cartesius — Картезий; 31 марта 1596 — 11 февраля 1650) — французский философ, математик,механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии.

Декарт происходил из старинного, но обедневшего дворянского рода и был младшим (третьим) сыном в семье. Он родился31 марта 1596 года в городе Лаэ (La Haye en Touraine), ныне Декарт (Descartes), департамент Эндр и Луара, Франция. Его мать умерла, когда ему был 1 год. Отец Декарта был судьёй в городе Ренн и в Лаэ появлялся редко; воспитанием мальчика занималась бабушка по матери. В детстве Рене отличался хрупким здоровьем и невероятной любознательностью.

Начальное образование Декарт получил в иезуитском колле́же Ла Флеш. Религиозное образование только укрепило в молодом Декарте скептическое отношение к тогдашним философским авторитетам. Позже он сформулировал свой метод познания: дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов.

В 1612 году Декарт закончил коллеж, некоторое время изучал право в Пуатье, затем уехал в Париж, где несколько лет чередовал рассеянную жизнь с математическими исследованиями. Затем он поступил на военную службу (1617) — сначала в революционной Голландии (в те годы — союзнице Франции), затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). Несколько лет Декарт провёл в Париже, предаваясь научной работе, где, помимо прочего, открыл принцип виртуальных скоростей, который в то время никто ещё не был готов оценить по достоинству.

Затем — ещё несколько лет участия в войне (осада Ля-Рошели). По возвращении во Францию оказалось, что свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт переезжает в Голландию (1628), где проводит 20 лет^[2] .

Если и-- конечные множества, то

Пример. Пусть. Тогда

Упорядоченные тройки, четверки и т.д. можно теперь определить посредством пар так: