8. Гамма-функция Эйлера

Функция вида

называется гамма-функцией. Заметим прежде всего, что интеграл (1) сходится при всех >0. Действительно, представим его в виде суммы. Первый из этих интегралов сходится так как

Второй интеграл сходится, так как при x→+∞ имеет место оценка. Следовательно,а интеграл от последней функции сходится на +∞ .

Свойства гамма-функции

1. Основное функциональное уравнение:

при любом >1.

2. Для любого натурального n имеет место равенство Γ (n)=(n-1)!. В частности, Γ (1)=1.

3. Гамма-функция непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Например,

Интеграл Эйлера-Пуассона

Во-первых, этот интеграл сходится. Обозначим его и сделаем замену, где, а– новая переменная. Тогда. Умножим это равенство наи проинтегрируем по. Получим

Отсюда .

4. .

9. Приближенное вычисление определённых интегралов

Задана функция на отрезкеУказана точность. Требуется найтис точностью ε . Эта задача важна по тpем пpичинам:

а) существуют небеpущиеся интегpалы (напpимеp,);

б) иногда даже "беpущийся" интегpал вычислить пpиближенно легче, чем находить пеpвообpазную и пользоваться фоpмулой Hьютона-Лейбница (напpимеp, сложная pациональная дpобь);

в) значения коэффициентов, аpгументов и pезультаты вычислений – пpиближенные, поэтому понятие "вычислить точно интегpал" - относительно.

Пусть ,,-- равномерное разбиение (узловые точки),. Тогда имеют место приближенные

Формулы прямоугольников

Ошибка в этих формулах равна

для некоторого . Отсюда вытекает оценка погрешности.

Приближая функцию на каждом отрезкелинейной функцией, получаем приближенную формулу трапеций

Ошибка в формуле трапеций в два раза меньше:

для некоторого .

Разобьём теперь отрезок [a,b] равномерно на четное число подотрезков: . Тогда имеет место приближенная

Формула Симпсона

Ошибка в этой формуле равна

для некоторого . На практике, однако ошибку оценивают так:.

Если f -- квадратный трехчлен, то в формуле Симпсона приближённое равенство превращается в точное.