2. Абсолютная сходимость

Теорема сравнения и ее следствие применимы только к неотрицательным функциям. Как исследуется на сходимость несобственный интеграл в случае функции, меняющей знак на полуинтервалеЗаметим, что если от функцииперейти к ее модулю, то условие неотрицательности будет соблюдено.

Предложение.Если интеграл от модуля функции сходится, то и интеграл от самой функции также сходится.

Доказательство.Итак, нам известно, что интегралсходится. Из неравенствследует(прибавили ко всем частям величину). Из сходимостивытекает сходимость(свойство линейности). Тогда по теореме сравнения получаем, что и интегралсходится. Разность двух сходящихся интеграловидает сходящийся интеграл, что и требовалось доказать.□

Определение. Несобственный интегралназываетсяабсолютно сходящимся, если интегралсходится. В случае, когда несобственный интегралсходится, но не сходится абсолютно, то интегралназываютусловно сходящимся.

Пример.Интегралсходится условно. ОбозначимГеометрический аналог этого утверждения заключается в том, что суммарная площадьравна бесконечности, хотя знакочередующийся рядсходится (см. рис. 2).

Действительно, дляε >0 имеем:

Так как и интегралсходится, то приправая часть в (1) имеет предел. Следовательно, и левая частьимеет предел приИтак, интегралсходится. Точка 0 есть устранимая особенность функциив силу первого замечательного предела. Доопределяя эту функцию в нуле единицей, получаем непрерывную функцию на отрезке. Тем самым интегралсходится в силу аддитивности несобственных интегралов.

Докажем, что интеграл расходится. Предположим противное – он сходится. Тогда заменаи эквивалентностьна бесконечности показывают, что и интегралбудет сходится . Так как

то по теореме сравнения получается, что интеграл также сходится, что противоречит утверждению об эталонных интегралах.

7. Интегралы, зависящие от параметра

Интеграл вида

называется интегралом, зависящий от параметра . В общем случае нижний и верхний пределы также могут зависеть от параметра:a=a(),b=b().

Теорема Лейбница дифференцирования по параметру. Пусть определены и непрерывны при a≤ x≤ b,c≤  ≤ d. Тогда

для любого  ∈ (c,d).

Доказательство. Применим теорему Лагранжа:

Здесь 0<θ <1 - зависит от, а-- бесконечно малая величина при Δ→0. Тогда

Лемма. Пусть. Тогда-- бесконечно малая величина при Δ→0.

Доказательство леммы. Фиксируем положительное число δ . Для каждогонайдемтакое, чтодля всех партаких, что

Пользуемся здесь тем, что . Окрестностипокрывают отрезок [a,b]. Выберем из них конечную систему с центрами в точках(см. раздел «Введение в анализ»). Тогда длявыполняется неравенствопри любоми любом. Действительно,принадлежит одной из окрестностей, а поэтому для парывыполняется (4) при. Следовательно,

при любом . Это и завершает доказательство леммы.

Продолжим доказательство теоремы. Так как

припо лемме, то, переходя к пределу Δ→0 в равенстве (3), получаем результат.□

Следствие. Общая формула дифференцирования по параметру:

Пример . Обозначим. Тогда, откуда. Заменасводит этот интеграл к интегралу вида. Полагая здесь, получаемИнтеграл Дирихле: