3. Критерий интегрируемостиДарбу

Предположим, что функция ограничена на отрезке(). Тогда для любого разбиения () этого отрезка определены числа

Величины

называются нижней и верхней интегральной суммойсоответственно. Имеет место неравенство

для любой системы отмеченных точек . Так как точная нижняя грань на подотрезке больше или равна точной нижней грани на отрезке, а точная верхняя грань на подотрезке меньше или равна точной верхней грани на отрезке, то при измельчении разбиения нижняя интегральная сумма увеличивается, а верхняя уменьшается

Следствие.Существуют пределы

;;

которые называются нижним и верхним интегралом.

Теорема 1.Интеграл существует тогда и только тогда, когда нижний интеграл совпадает с верхним интегралом (). В этом случае все три интеграла совпадают.

Доказательство. Импликация "тогда" следует из теоремы о пределе промежуточной последовательности и неравенств (2).

Докажем обратную импликацию. Пусть интеграл равен . Предположим, чтоS≠. Тогда, и, кроме того,. Выберем разбиение отрезка [a,b] с таким малым значением параметра, чтои

для любой системы отмеченных точек . Можно выбрать системы (ξ_i) и (ν_i) отмеченных точек так, что

Применяя неравенство треугольника, из соотношений (3) получаем .

Тогда

следовательно, . Это противоречие показывает, что на самом деле нижний интеграл равен верхнему интегралу.□

Пример.Пусть

(функция Дирихле). Эта функция не интегрируема ни на каком отрезке, так как S=0, но.

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число подотрезков точкамитак, что в каждой из точекфункция имеет односторонние пределы, а в остальных точках отрезкафункция непрерывна.

Теорема 2. Кусочно-непрерывная функция интегрируема на любом отрезке.

Доказательство. Аддитивность интеграла и его нечувствительность к изменению функции в конечном числе точек (см. предыдущий параграф) позволяют свести доказательство теоремы к случаю, когда -- непрерывная функция. Непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна («Введение в анализ»). Это значит, что для любогонайдетсятакое, чтокак толькоиПусть-- разбиение отрезкас параметром меньшим чем, а-- две системы отмеченных точек. Тогда

Отсюда следует, что верхняя интегральная сумма отличается от нижнейне более чем на. Можно считать, чтонастолько мало, чтоикак только параметр разбиения меньше чем. Тогда

Итак, каково бы мало ни была положительная величина. Это может быть лишь в случае. Остаётся применить теорему 1 .□

4. Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл вида называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке. Тогда есть первообразная функции :

для любого .

Доказательство. Пусть . Тогда по теореме о среднем

для некоторой точкиСледовательно,при, ибо в этом случае, а функциянепрерывна.□

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть -- первообразная функции. Тогда

Доказательство. Для функции имеем в распоряжении две первообразныхи. По теореме о первообразных (см.§ Error: Reference source not found )найдется константатакая, что

Подставим в соотношение (3) вместо сначалаи получим, а затем подставимв (3) – получим

что и требовалось доказать.

Пример. (см. пример вычисления площади в начале§1).

Замечание. Можно было бы определить логарифм так:

т.е. фактически как первообразную функции , примимающую в точке 1 значение 0. Нетрудно доказать основное правило обращения с логарифмами:

Действительно,

Тогда – это такое число, что(т.е. площадь под гиперболой равна 1), а-- функция обратная к.