2. Свойства определённого интеграла

Перейдем к изучению простейших свойств определенного интеграла.

Свойство линейности.Сумма интегрируемых функций есть интегрируемая функция и произведение интегрируемой функции на число есть также интегрируемая функция. Более того, еслиинтегрируемы, то для любых чиселлинейная комбинациятакже интегрируема на отрезкеи

Равенство (4) эквивалентно двум правилам: 1) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов и 2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Это свойство следует из соответствующих свойств предела – предел суммы равен сумме пределов и постоянный множитель можно вносить за знак предела.

Изменение ориентации.Равенствосправедливо вне зависимости от расположения точекина числовой прямой.

Не чувствительность интеграла к изменению значений подинтегральной функции в конечном числе точек: на существование и на значение определенного интеграла не влияет изменение значения функциив конечном числе точек.

Действительно, рассмотрим функцию равную нулю всюду за исключением точки, в которой эта функция равна единице. Пусть. Интегральная сумма этой функции равна либо 0, либо(еслисовпадает с одной из отмеченных точек). Следовательно, эта интегральная сумма стремиться к нулю приИными словами,. Теперь заметим, что для замены значения функциив точкеснанужно образовать линейную комбинацию. Еслиинтегрируема на отрезке, то и эта линейная комбинация интегрируема, и значение интеграла не меняется в силу (4).

Из возможности изменения значения функции в одной точки следует возможность изменения значений функции в конечном числе точек.

Аддитивность интеграла. Пусть . Тогда функцияинтегрируема на отрезкев том и только том случае, когда она интегрируема наи на. В этом случае

Если точки расположены произвольно на числовой прямой и каждый из интегралов в (5) существует, то равенство (5) имеет место.

Доказательство. Обозначим , предполагая, что эти интегралы существуют. По доказанному выше функцияограничена на отрезкахи, а, значит, ограничена и на отрезкеПустьдля любогоВыберем. Интегральные суммы функциина отрезкахиобозначимисоответственно. Найдемтакое, что

если параметры соответствующих разбиений меньше . Если надо, уменьшимтак, чтобы выполнялось неравенствоРассмотрим теперь произвольное разбиение (1) отрезкас параметром меньшим чем, и обозначим интегральную сумму для этого разбиения с произвольно взятыми отмеченными точками как. Добавим к разбиению (1) точку, еслини для какого. От этого параметр разбиения не увеличится. Добавим также еще одну отмеченную точку. Тогда интегральная суммаизменится самое большее на величину, но эту новую интегральную сумму можно будет разбить на две интегральные суммыина отрезкахи, которые удовлетворяют неравенствам (6). Тогда

По определению предела получаем, что Тем самым.

Наоборот, пусть и. Докажем, что функцияинтегрируема на подотрезке. Понадобиться критерий Коши. ОбозначимДля заданногонайдемтакой, что, как только параметр разбиения меньше чемРассмотрим два разбиения отрезкас параметрами меньшимии пустьи– соответствующие им две интегральные суммы. Продолжим рассматриваемые разбиения и интегральные суммы на весь отрезокс условием совпадения их и отмеченных точек на отрезке, а также сохранением неравенстваПродолжения обозначими. Тогда

Мы проверили условия критерия Коши. Согласно этому критерию получаем, что существует предел интегральных сумм при. Аналогично,. По доказанному выше, получаем равенство (5).

Рассмотрим случай расположения точек. Тогда по условию и доказанному выше имеет место равенство. Переносяв левую часть и заменяянаполучаем, что совпадает с (5). Аналогично разбираются другие случаи расположения точек.

Аддитивность интеграла полностью доказана. □

Монотонность интеграла.Еслидля всехи, то.

Действительно, в этом случае и переходя к пределув этом неравенстве (см. раздел «Предел и непрерывность»), получаем искомое соотношение между интегралами.

Интеграл от единицы. Как следующее свойство отметим одно простое равенство, вытекающее из определения определенного интеграла:

Оценка интеграла.Еслина отрезкеи, то

Действительно, Здесь мы последовательно применили монотонность интеграла, его линейность и равенство (6). Аналогично доказывается первое из неравенств в (7).

Например, на отрезке, что следует из монотонности функцииа значит и функции. Отсюда,

Теорема о среднем. Если функциянепрерывна на отрезке, то найдётся точкатакая, что

Величина называетсяинтегральным средним функции на отрезке.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса, функция на отрезкедостигает своего наибольшего значения) и наименьшего значения. Здесь-- некоторые точки отрезка. Применяя оценку интеграла (7), выводим

Интегральное среднее оказывается промежуточным значением между наименьшим и наибольшим значениями. Применим теорему Больцано-Коши о промежуточном значении к непрерывной функции и найдем точкумеждуи(значит) такую, что.□

Пример. Пусть

Тогда интегральное среднее функции (9) на отрезке равно

Однако точки такой, чтонет. Причина этого – разрыв функциив точке 1.