мат. логика
.docx6) С(х)&¬D (5, ¬(А→В)→А&¬В. МР)
7) С(х) (А&В→А, МР)
8) ¬D (А&В→В, 6, МР)
9) ∀х С(х) (7, ПО)
10) D (1, 9, МР)
11) D&¬D (8, 10, А→(В→(А&В)), МР дважды)
1–11) ∀х С(х)→D, ¬∃у (С(у)→D) D&¬D⇒ по теореме дедукции:
∀х(С(х)→D)→(¬∃у(С(у)→D)→D&¬D)⇒ /вследствие (¬А→В)→(¬В→А),
(А→В)→((В→С)→(А→С))/⇒ (∀хС(х)→D)→(¬(D&¬D)→∃у(С(у)→D))⇒
(∀хС(х)→D)→∃у(С(у)→D)
∃у(С(у)→D)→(∀хС(х)→D)
1) ∃у(С(у)→D) - гипотеза
2) ∀хС(х) - гипотеза
3) С(b)→D b – элемент, при котором формула выполняется
4) С(b) (А4, 2, МР)
5) (3, 4, МР)
1 – 5 ∃у(С(у)→D), ∀хС(х) D⇒∃у(С(у)→D), ∀ хС(х) D, по теореме дедукции,
применённой дважды , имеем ∃у(С(у)→D)→(∀хС(х)→D).
Аналогично 2 – 6.
Пример. ∀х(А1
1
(х)→∀у(А1
2
(х, у)→¬∀zА2
2
(у, z))). Привести к ПНФ.
∀х(А1
1
(х)→∀у(А1
2
(х, у)→∃z¬А2
2
(у, z)))
∀х(А1
1
(х)→∀у∃U(А1
2
(х, у)→¬А2
2
(у, U)))
∀х∀v(А1
1
(х)→∃U(А1
2
(х, v)→¬А2
2
(v, U)))
∀х∀v∃T(А1
1
(х)→(А1
2
(х, v)→¬А2
2
(v, T)))
2. Следуя Дедекинду, (1901) рассмотрим формальную арифметику (ФА) при
помощи теории I порядка S, содержащей предметную константу а1,
функциональный символ f1
1
, f1
2
, f2
2
и предикатный символ A1
2
. При этом будем
использовать обозначения:
а1 - 0
f1
1
(x)-х
f1
2
(t, s)-t+s
f2
2
(t, s)-tis
A1
2
- t=s.
Тогда собственные аксиомы имеют вид:
(S1): (х1=х2)→(х1=х3→х2=х3)
(S2): х1=х2→х1
=х2
(S3): 0≠х1
(S4): х1
=х2
→х1=х2
(S5): х1+0=х1
(S6): х1+х2
=( х1+х2
)
(S7): х1 i 0=0
(S8): х1 i х2
= х1 i х2
+ х1
(S9): А(0)→(∀х(А(х)→А(х
))→∀хА(х))
Для произвольной формулы А(х) в теории S.
Из схемы аксиомы S9 следует правило индукции:
А(0), ∀хА(х)→А(х
)) ∀хА(х)
Лемма. Для произвольных термов t, r, s следствие формулы является теоремами
для теории S.
[S1] t=r → (t=s→r=s)
[S2] t=r→t
=r
[S3] 0≠ t
[S4] t
=r
→ t=r
[S5] t+0=t
[S6] t+r
= (t+r)
[S7] ti 0=0
[S8] tir
=tir+t
Доказательство: т.к., применяя ПО к аксиомам S1-S8 и А4, подставляя вместо
переменных соответствующие термы, при помощи МР, получим данное
утверждение. Например, рассмотрим аксиому (S1):
1. (S1) (х1, х2, х3) (S1)
2. ∀х3 S1(х1, х2, х3) (1, ПО)
3. ∀х3 S1(х1, х2, х3)→S1(х1, х2, s) (А4)
4. S1(х1, х2, s) (2, 3, МР)
5. ∀х2 S1(х1, х2, s) (4, ПО) и аналогично получаем
S1(t,r,s)
Теорема. Для произвольных термов t, r, s следствие формулы является теоремами
теории S.
1. t=t 2. t=r→r=t
3. t=r→(r=s→t=s)
4. r=t→(s=t→r=s)
5. t=r→(t+s=r+s)
6. t=0+t
7. t
+r= (t+r)
8. t+r=r+t
9. t=r→(s+t=s+r)
10. (t+r)+s=t+(r+s)
11. t=r→(tis=ris)
12. 0=0it
13. t
ir=tir+r
14. tir=rit
15. t=r→(sit=sir)
Доказательство:
1. 1) t+0=t→(t+0=t→t=t) ([S1])
2) t+0=t ([S5])
3) t=t (1, 2, MP2)
2. 1) t=r→(t=t→r=t) ([S1])
2) t=t (1.)
3) t=r→r=t (вследствие 1, 2, тавтолгии В→((А→(В→С))→(А→С)), МР
2
)
1)-3) 2.
3. 1) r=t→(r=s→t=s) ([S1])
2) t=r→r=t (1.)
3) t=r→(r=s→t=s) (2, 1, тавтология А→В→((В→С)→(А→С))
1)-3) 3.
4. 1) r=t→(t=s→r=s) (3)
2) t=s→(r=t→r=s) (1, правило замены посылок (ПЗП), т.е.
(А→(В→С))→(В→(А→С)), МР)
3) s=t→t=s (2)
4) s=t→(r=t→r=s) (3, 2, тавтология)
5) r=t→(s=t→r=s) (4, ПЗП)
1-5 4.
5. Рассмотрим формулу А(z): x=y→(x+z=y+z)
I. A(0) - ?
1) x=y (гипотеза)
2) x+0=x ([S5])
3) x+0=y (2, 1, правило силлогизма (ПС))
4) y+0=y ([S5])
5) x+0=y+0 (3, 4, 4)
1 - 5, x=y ¬x+0=y+0, по теореме дедукции ¬х=у→(х+0=у+0)
А(0) !
II. 1) х=у→(х+z=у+z) (гипотеза) 2) х=у (гипотеза)
3) х+z=у+z (1, 2, МР)
4) (х+z)
=(у+z)
(3, [S2], МР)
5) х+z
=(х+z)
([S6])
6) х+z
=(у+z)
(5, 4, ПС)
7) у+z
=(у+z)
([S6])
8) х+z
=у+z
(6, 7, 4)
1 - 8, 1), 2) ¬х+ z
=у+z
⇒по теореме дедукции 1) ¬х=у→(х+z
=у+z
)
А(z)→А(z
)⇒(ПО) ∀z (А(z)→ А(z
))
по правилу индукции ∀z (А(z). Тогда, применяя А4, заменяя z на s и МР, и у на
r и х на t получим утверждение 5.
A(t, r, s)
6. t=0+t
А(х): х=х+0
∀х (А(х).
I. A(0) - ?
1) 0+0=0 ([S5])
2) 0+0=0→0=0+0 (теорема2)
3) 0=0+0 (1, 2, MP)
1) - 3) А(0)
II. А(x)→A(x
)
1) A(x): x=0+x (гипотеза)
2) х
=(0+х)
([S2], 1, МР)
3) 0+х
=(0+х)
([S6])
4) х
=0+х
(4, 2, 3)
1)-4), х=0+х A(x
), А(x)→A(x
) по теореме дедукции и ПО ⇒
∀х(А(x)→A(x
))
I, II, ПИ ∀х А(x) по (А4) ⇒ ∀х А(x)→А(t), по МР ⇒ А(t).
При помощи рассмотренной теоремы можно получить вследствие теоремы 2 о
теории I порядка с равенством, что S является теорией I порядка с равенством.
Если рассмотрим интерпретацию этой теории при помощи области
интерпретации, состоящей из множества неотрицательных целых чисел.
а1-0
f1
1
(t, s)-х
f1
2
(t, s)-t+s
f2
2
(t, s)-tis
А1
2
(t, s)- t=s
Принимая данную интерпретацию в качестве модели теории S, получаем
нормальную модель, которая называется стандартной моделью теории S. Все
остальные, неизоморфные этой модели – нестандартными. В 1931 г. Гёдель доказал, в любой теории, формализующей формальную
арифметику, невозможно доказать (в рамках этой теории) непротиворечивость
формальной арифметики, т.е. существует утверждение о непротиворечивости
формальной арифметики, которое ни доказать, ни опровергнуть нельзя. (Теорема
Гёделя о неполноте). 3. Интерпретация.
Все формулы теорий I порядка K имеют смысл только в некоторой
интерпретации.
Под интерпретацией понимается непустое множество D, называемое облас-
тью интерпретации, и соответствие сопоставляющее предикатному символу Aj
n
,
n-местное отношение (какое-либо подмножество прямого произведения n мно-
жеств D ), функциональному символу fj
n
- n-местные операции, предметная
константа ai
понимается как элемент множества D, при этом предметная
переменная считается пробегающей всю область D.
Например, рассмотрим интерпретацию формул (1), (2), (3) при помощи D –
N, А1
2
- ≤ , тогда 1) Формула А1
2
(х1, х2) интерпретируется как бинарное
отношение ( так как имеет две свободные переменные ) ≤ на множестве N
(натуральные числа). 2) Формула ∀х1 А1
2
(х2, х1) интерпретируется как свойство
( так как имеет одну свободную переменную ) натурального числа быть
наименьшим. 3) ∃х2 ∀х1 А1
2
(х2, х1) интерпретируется как высказывание ( так как
не имеет свободных переменных ), утверждающее существование наименьшего
натурального числа.
Рассмотрим понятие выполнимости формулы на некотором наборе в данной
интерпретации. Для этого под ϕ(А) будем понимать интерпретацию формулы А
посредством подстановки вместо всех свободных переменных соответствующих
компонент из набора ϕ и выполнения предписанных интерпретацией действий.
Рассмотрим определение выполнимости формулы индуктивно, следуя
пунктам определения формулы:
1. Формула Aj
n
(t1,...,tn) выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда ϕ(Aj
n
(t1,...,tn))
– истино, то есть (ϕ(t1), ϕ(t2),...,ϕ(tn))∈Bj
n .
, где Bj
n
есть отношение,
интерпретирующее предикатный символ Aj
n
.
2. Формула ¬А выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда А не выполняется на
ϕ.
3. Формула А→В выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда А не выполняется
на ϕ или В выполняется на ϕ.
4. Формула ∀хiА выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда формула А
выполняется на любом наборе ψ, который отличается от ϕ не более, чем только
своей i-ой компонентой, то есть ψ(хj
)=ϕ(хj
) при i≠j.
Таким образом, формула А является выполнимой на последовательности ϕ, если
при подстановке в формулу А вместо всех её свободных переменных
соответствующих компонент набора ϕ и интерпретации всех символов
получается истинное высказывание.
Формула называется истинной в данной интерпретации, если она выполня-
ется на любом наборе из данной интерпретации, и - ложной, если она не выполня-
ется на любом наборе из данной интерпретации
Формула является логически общезначимой, если она является истинной в
любой интерпретации.
Пример 1.Пусть интерпретация имеет в качестве области интерпретации D
множество неотрицательных целых чисел N, а предикатный символ A1
2
интерпретируется при помощи отношения ≤ ∀х2 .Тогда1) Формула А1
2
(х1, х2) является выполнимой на любом наборе, первая компонента
которого совпадает с 1. Поэтому, мы можем назвать эту формулу выполнимой для
1.
2) Формула ∃х1 ∀х2 А1
2
(х1, х2) интерпретируется как высказывание, которое
является истинным, так как утверждает существование наименьшего натурального
числа.
Рассмотрим свойства выполнимости и истинности формул.
1. ¬А - истина в данной интерпретации тогда и только тогда, когда А - ложна в
данной интерпретации; ¬А - ложна в данной интерпретации тогда и только
тогда, когда А - истина в данной интерпретации.
2. Никакая формула не может быть одновременно истинной и ложной в данной
интерпретации.
3. Если А и А→В - истины, то и В - истина.
4. А→В - ложна тогда и только тогда, когда А - истина, В - ложна.
5. А&В выполнена на ϕ в данной интерпретации тогда и только тогда, когда А -
выполнена на ϕ и В – выполнена на ϕ .
А∨В выполнена на ϕ в данной интерпретации тогда и только тогда, когда А –
выполнена на ϕ или В – выполнена на ϕ.
А↔В выполнена на ϕ в данной интерпретации тогда и только тогда, когда либо
А – выполнена на ϕ и В – выполнена на ϕ, либо А - не выполнено на ϕ и В - не
выполнена на ϕ.
∃хiА выполняется на ϕ тогда и только тогда, когда существует набор ψ,
который отличается от ϕ не более, чем своей i-ой компонентой, на котором
выполнена формула А.
6. А - истина тогда и только тогда, когда ∀хi А истина в данной интерпретации.
Навешивание кванторов со всеми свободными переменными в порядке их
убывания называется замыканием формулы.
Пример: ∀х2∀х1(А1
2
(х1, х2)→∀х3 А1
3
(х1, х2, х3)) является замыканием формулы
А1
2
(х1, х2)→∀х3 А1
3
(х1, х2, х3)
Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных
переменных.
7. Всякий частный случай тавтологии, т.е. формула, которая получается из
тавтологии посредством замены всех вхождений одних и тех же
пропозициональных букв на одну и ту же формулу теории К, является
логически общезначимой формулой.
8. Если наборы ψ и ϕ совпадают i1,...,in компонентами и свободные переменные
формулы А находятся среди xi1, xi2, ...xin, то формула А выполняется на ϕ тогда
и только тогда, когда она выполняется на ψ.
Отношение, интерпретирующее данную формулу, называется отношением
соответствующим данной формуле.
Пример:1. ∃ х3А1
2
(х1, х3)&А2
2
(х3, х2) в интерпретации, где в качестве D берется
множество всех людей, А1
2
(х, у) - интерпретируется при помощи отношения "быть
братом", А2
2
- "быть отцом", соответствует отношение родства, связывающее дядю
и племянника. 2. Формула¬А1
2
(х1, а) &∀х2
(∃х3 А1
2
(х1, f1
2
(х2, х3)))→ А1
2
(х2, а)∨ А1
2
(х2, х1) в
интерпретации с D=Z; А1
2
(х, у) - х=у; а - 1; f1
2
(х, у) - х i у
соответствует свойству числа быть простым..
9. Любая замкнутая формула либо истина, либо ложна в данной интерпретации.
10. Если терм t является свободным для хi в формуле А, то формула А(t),
получающаяся подстановкой вместо всех свободных вхождений хi
терма t,
выполнена на всяком наборе, на котором выполняется ∀хiА, т.е.
∀хiА→ А(t) является логически общезначимой формулой.
11. Если формула А не имеет свободных вхождений переменной хi
, то формула
∀хi
(А→В)→(А→∀хiВ) является логически общезначимой.
Докажем свойство 11. Предположив противное, будем иметь, что в некоторой
интерпретации, на некотором наборе ϕ эта формула не выполняется. Тогда ∀х1
(А→В)– выполнена на ϕ (1), а
А→∀х1В – не выполнена на ϕ (2). Поэтому из (2) имеем, что А выполнена на ϕ, а
∀х1В не выполнена на ϕ, то есть на некоторой последовательности ψ, которая
отличается от ϕ не более чем только своей i-ой компонентой, формула В не
выполнена. А так как в силу свойства 8 формула А выполнена на ψ, то формула
А→В является не выполненной на ψ, что противоречит утверждению (1).
Интерпретации, в которых все формулы некоторого множества формул Γ
являются истинными, называется моделью данного множества Г.
Если в некоторой интерпретации истинны все аксиомы некоторой теории, то
она называется моделью данной теории.
Формула В называется логическим следствием формулы А, если в любой
интерпретации В выполняется на любом наборе, где выполняется А. Тогда
А→В - является логически общезначимой.
А, В - логически эквивалентны, если В является логическим следствием А и
наоборот. Тогда А↔В - логически общезначимая.
Покажем, что формула ∀х1 ∃х2 А1
2
( х1, х2)→∃х2 ∀х1 А1
2
(х1, х2) не является
логически общезначимой.
Рассмотрим интерпретацию с областью D=N и А1
2
(х, у) - бинарное
отношение <. Тогда посылка будет истиной, а заключение - ложной. Таким
образом, формула не является логически общезначимой. 1. Являются ли следующие выражения формулами или термами теории I
порядка:
2. Является ли терм
свободным для переменных в этой формуле?
3. Свободен ли терм
для переменных в формулах 5), 6), 7) задания №1.
4. Проинтерпретируйте следующие формулы:
при помощи интерпретаций:
( ))).
7)(( ( ( , ) ( , ))) ( ( , )
6)(( , ( , ( , ))) ( ( ( , )& ( ( , )))));
( )));
5)(( ( ( ( ), ( , ))& ( ))) ( ( , ))
4) , ( ( )) ( );
3) , ( ( ), ) ( );
2) , ( ( ), ( , )) ( ( , ));
1) , ( ) ;
2
1
2 1
1 2
2
1 3 2
2
1 2 2 1
2
1 1
1 3
2
1
1
1 2 1
2
1 2 2 1
2
1 1
2
1 1
1
1
1
1 2
2
1 2
1
1 2 2
2
1 1
1
1
2
1 1
1
1
1 1
1
1
1
2 1
1
1
1 1 1
1
1
2
1 1
1 2
2
1
1
1 2 1
2
1 2
1
1
2
2 1 1
1, 2 1
2
1 1
x A x
x A x x x A x x A x x
x A x f x x x A x x A f x x
A x
x A f x f x x A x A x x
x A f x f x
a A f x a A x
x x A f x f x x A A x x
x A x x a
→∀
∀ →∃ ↔ →
∀ → ∃
∨
∀ → ∨
∀ →
∀ →
∀ ∃ →
∀ →
( , ( ))
2
1
1 1
2
1
f x f x
( , ( ))
2
1
1 1
2
1
f x f x
3) (( ( , ) ( , ) ( , ))
2) ( , ) ( , );
1) ( ( , ), );
1 3
2
2 3 1
2
1 2 1
2
1 2 3 1
2 1
2
1 2 1
2
1
1 2 1
2
1
2
1
x x x A x x A x x A x x
A x x A x x
A f x x a
∀ ∀ ∀ → →
→
1;
) , ( , ) , ( , )
1
2
1
2
1
=
= = ≥ = •
a
a D N A x y x y f x y x y б) D- множество всех людей
в) D= множество всех множеств целых чисел
5. Выразите на языке теории I порядка следующие утверждения:
1) Все рыбы, кроме акул, добры к детям.
2) Либо всякий весомый человек весьма общителен, либо некий скептик
замкнут.
3) Не все птицы могут летать.
4) Либо каждый любит кого-нибудь, и ни один не любит всех, либо некто
любит всех, и кто-то не любит никого.
5) Если кто-нибудь может сделать это, то и Джон может.
6) Всякий, в ком есть упорство, может изучить логику.
7) Некоторые ходят в кино только тогда, когда там показывают кинокомедии.
8) Если всякий разумный философ – циник и только женщины являются
разумными философами, то тогда, если существует разумные философы,
то некоторые женщины – циники.
;
( , ):
( , ):
1
2
1
2
1
a некто
f x y y
A x y ХлюбитУ
=
( , ): , ( , ): ; .
1
2
1
2
1
A x y x ⊃ y f x y x∪ y a − пустое4. Аксиомами (логическими) теории К для любых формул А, В, С являются
формулы:
(А1): А→(В→А)
(А2): (А→(В→С))→((А→В)→(А→С))
(А3): (¬В→¬А)→((¬В→А)→В)
(А4): Если t является свободным термом для xi
в формуле А(xi
), то
∀xiА(xi
)→А(t)
(∀xi А(xi
)→ А(xi
))
(А5): Если формула А не имеет свободных вхождений переменной xi
, то
∀xi
(А→В)→(А→∀xiВ).
Правила вывода:
1. МР: А, А→В В.
2. ПО (правило обобщения): А ∀xiА(xi
).
Если в А4 избавиться от ограничения, то возможна такая аксиома:
∀х1 ¬∀х2 А1
2
(х1, х2)→¬∀х2 А1
2
(х1, х2),где терм х не является свободным для хi в
формуле А(х1)=¬∀х2А1
2
(х1, х2).
Эта формула не является логически общезначимой, т.к. в любой интерпретации, в
которой D состоит хотя бы из двух элементов и А1
2
интерпретируется как
отношение тождества, посылка - истина, а заключение - ложно.
Если убрать ограничение в А5, то возможна , например, формула
∀х1 (А1
1
(х1)→А1
1
(х1))→(А1
1
(х1)→∀х1 А1
1
(х1)).
Если ее проинтерпретировать при помощи D, имеющего 2 элемента и А1
1
при
помощи свойства, которым обладают не все элементы из D, тогда посылка будет
истинной, а заключение будет ложным. Формула не является логически
общезначимой.
Заметим, что в силу свойств 3 и 6, правило вывода сохраняет свойство быть
истинной формулой.
Кроме логических аксиом в теориях I порядка рассматриваются собственные
аксиомы.
Теория I порядка без собственных аксиом называется исчислением предикатов.
Примеры теорий I порядка.
1. Теория Р имеет 1 предикатный символ А1
2
. Собственными аксиомами теории
являются:
Частично упорядоченная структура
1) ∀х1 ¬А1
2
(х1, х1)
2)∀х1 ∀х2 ∀х3 (А1
2
(х1, х2)→(А1
2
(х2, х3)→А1
2
(х1, х3))) - транзитивность.
2. Теория групп.
Теория Р имеет 1 предикатный символ А1
2
, 1 функциональный символ f1
2
и одну
предметную константу а. Собственными аксиомами теории являются:
1) ∀х1 ∀х2 ∀х3 А1
2
( f1
2
(х1, f1
2
(х2, х3)), f1
2
(f1
2
(х1, х2), х3)) ассоциативность
2) ∀х1 А1
2
(f1
2
(х1, а), х1) правый нейтральный элемент
3) ∀х1 ∃х2 А1
2
(f1
2
(х1, х2), а) правый симметрический элемент
4) ∀х1 А1
2
(х1, х1) рефлексивность равенства5) ∀х1 ∀х2 (А1
2
(х1, х2)→А1
2
(х2, х1)) симметричность
6) ∀х1 ∀х2 ∀х3 (А1
2
(х1, х2)→(А1
2
(х2, х3)→А1
2
(х1, х3))) транзитивность
7) ∀х1 ∀х2 ∀х3 (А1
2
(х1, х2) →(А1
2
(f1
2
(х1, х3), f1
2
(х2, х3))&А1
2
(f1
2
(х3, х1), f1
2
(х3, х2)))
4), 5), 6), 7) - характеризует А1
2
как равенство
7) характеризует свойство подстановочности равенства.
Любая модель данной теории называется группой. 5. Теорема 1 (о частном случае тавтологии) Всякий частный случай тавтологии
является теоремой теории I порядка, причем существует вывод с
использованием только 1-3 аксиом и МР.
Доказательство: Пусть А является частным случаем некоторой тавтологии Т, тогда
по теореме о полноте, Т является теоремой, то есть существует вывод формулы Т
в теории L из пустого множества при помощи А1-А3 и МР. Преобразуем данный
вывод так:
1. Каждую букву этого вывода, которая встречается в Т, заменим на ту же
формулу, на которую мы ее заменили при получении формулы А.
2. Если в выводе встречается буква, которой нет в Т, то ее заменим на
произвольную одну и ту же формулу теории К. Этот вывод является выводом из
пустого множества формулы А в теории К.
Пример: Если Т - ¬А→(А→В) и
А заменяем на ∀хi ¬В(хi
), В - на ∀хi ∃ хj А(хi
, хj
), то
К∃ В(хi
)→ (∀хi ¬В(хi
)→ ∀хi ∃ А(хi
, хj
)).
Теорема 2. Исчисление предикатов непротиворечиво.
Доказательство: Рассмотрим преобразование h(А) формулы А в исчислении
предикатов, которое убирает все кванторы, термы и скобки из данной формулы А.
Например, А=А1
3
(х1, f1
1
(х2), f1
2
(х1, х2))→∀х1 А1
1
(х1)&А1
2
(х1, х2)
h(А)=А1
3
→А1
1
&А1
2
.
Тогда, h(¬А)= ¬h(А); h(А→В)=h(А)→h(В)
h применённое к аксиомам А1-А3 приводит к тавтологии , что очевидно.
h(∀хi А(хi
) →А(t))=В→В – тавтология.
h(∀х2(А→В)→(А→∀хВ)=(С→D)→(С→D) – тавтология.
Кроме того, если А при помощи h даст тавтологию, то и h(∀xiА) – тавтология.и
Если h(А) - тавтологии и h(А→В), то h(В) - тавтологии.
Таким образом, если исчисления предикатов не является непротиворечивым,
т.е. для некоторой формулы В имеем В и ¬В, то тогда в следствие того, что
h от аксиомы оставляет тавтологию., правило обобщения и МР при помощи h
сохраняет тавтологию, то тогда h(В) - тавтология, h(¬В) – тавтология то есть
¬(h(В)) - является тавтологией, что невозможно. Таким образом, исчисление
предикатов непротиворечиво. 6. Теорема дедукции.
Теорема дедукции в общем виде Г, А В⇒Г А→В
в исчислении предикатов не верна. Например, применяя к выводимости
А1
1
К∀х1А1
1
(х1), получим А1
1
(х1)→ ∀х1А1
1
(х1).Однако, если данную формулу
проинтерпретировать при помощи некоторого множества D содержащего не менее
одного элемента, а А1
1
– одноместным отношением, которым обладает только
один элемент из D, то формула не является истинной в данной интерпретации,
следовательно не является логически общезначимой.
Поэтому имеем следующую формулировку.
Теорема 3 Если из множества формул Г и из формулы А выводима в исчислении
предикатов формула В и существует вывод, в котором ни при каком применении
правила обобщения не связывается квантором никакая свободная переменная из
формулы А, тогда из Г А→В.
Доказательство: Пусть В1, В2,..., Вк-
- В является указанным в условии теоремы
выводом Г, А В, тогда для ∀i Bi является либо
1. аксиомой, либо
2. гипотезой, то есть либо 2.1 Bi∈Г, либо 2.2. Bi=А, либо
3. Bi является непосредственным следствием предыдущих, либо
3.1. формул Bj и Bk-Bj→Bi
, j, k < i.. по правилу МР либо
3.2. формулы Bj
, j<i, по правилу ПО (Bi=∀xkBj
). При этом xk не является
свободной переменной формулы А.
Докажем утверждение теоремы индукцией по i.
I. i=1
1) В1 - аксиома ⇒ Г В1→(А→В1)⇒(МР)Г А→В1.
2) гипотеза 2.1. В1∈Г⇒Г В1⇒Г А→В1.
2.2. В1=А⇒Г А→В1 (в следствие теоремы 1).
II. Предположим, что утверждение справедливо для всех j<i. Докажем для Bi
.
Если Bi
1. Аксиома или
2. 2.1. Bi∈Г ⇒ аналогично I с заменой 1 на i ⇒Г А→ Bi
.
2.2. Bi=А
Если же Bi является непосредственным следствием по 3.1.
3.1. Г А→Вj&Г А→(Вj→Bi), то т.к. к, j<i
по А2: Г (А→(Вj→Bi))→((А→Вj
)→(А →Bi
))⇒(МР 2)Г А→ Bi
3.2. j<i⇒Г А→Вj⇒(ПО)Г ∀хк(А→Вj
)
по А5: Г ∀хк(А→Вj
)→(А→∀хк(Вj
))⇒(МР) Г А→∀хкВj
Следствие из теоремы дедукции. Если формула А замкнутая и Г, А В, то
Г А→В.Пример. Докажите, что К∀х1∀х2 А→∀х2∀х1 А.
1. ∀х1∀х2 А (гипотеза).
2. ∀х1∀х2 А→∀х2 А.(А4)
3. ∀х2 А (1, 2, МР)
4. ∀х2 А→А (А4)
5. А (3, 4, МР)
6. ∀х1 А (5, ПО)
7. ∀х2∀х1 А (6, ПО)
По 1 – 7 имеем ∀х1∀х2 А ∀х2∀х1 А поэтому по теореме дедукции
∀х1∀х2 А→∀х2∀х1 А7. Теорема 4. Всякая теорема исчисления предикатов является логически
общезначимой.
Доказательство: т.к. в силу свойства 7 истинности формул частный случай
тавтологии является логически общезначимой формулой, то аксиомы из А1, А2, А3
являются логически общезначимыми. Вследствие свойства 10 аксиомы из А4
логически общезначимы; по свойству 11 А5 логически общезначима; по свойству
3 правило МР сохраняет свойство формул быть логически общезначимыми; ПО
сохраняет истинность в силу свойства 6. Следовательно, теорема является
логически общезначимой.
Формула A(xj
) называется подобной A(xi
), если получена из нее при помощи
подстановки вместо всех свободных вхождений переменной xi переменной xj
,
A(xi
) не имеет свободных вхождений переменной xj и xj является свободным
термом для xi в A(xi
).
Тогда терм xi является свободным для xj в A(xj
) и A(xj
)не имеет свободных
вхождений переменой xi
, т.е. формула A(xi
) подобна A(xj
). Поэтому подобие
является симметричным.
Две формулы A(xi
) и A(xj
) подобны, если свободное вхождение переменной xj в
A(xj
) имеются в тех же местах, что и свободное вхождение xi в A(xi
).
Лемма 1. Если формулы А(xi
) и А(xj
) подобны, то K∀xiA(xi
)↔∀xjA(xj
).
Доказательство: докажем, что ∀xiA(xi
)→ ∀xjA(xj
).
1. ∀xiA(xi
)→A(xj
) (А4)
2. ∀xj
(∀xiA(xi
)→A(xj
)) (1, ПО)
3. ∀xj
(∀xiA(xi
)→A(xj
))→ (∀xiA(xi
)→∀xjA(xj
)) (А5)
4. ∀xiA(xi
)→∀xjA(xj
) (2, 3, МР)
По 1 - 4 имеем ∀xiA(xi
)→ ∀xjA(xj
)
Аналогично ∀xjA(xj
)→∀xiA(xi
). Тогда по теореме 1 (о частном случае
тавтологии) по тавтологии А→(В→(А&В)) и правилу МР, применённому дважды
,получаем К∀xiA(xi
)↔ ∀xjA(xj
).
Лемма 2.Если для некоторой замкнутой формулы А теории I порядка К не
выводится из пустого множества ¬А, то теории К
=К∪А, где А добавляется
в качестве аксиомы, непротиворечивы.
Доказательство. От противного. Пусть для некоторой формулы В имеем К
|
В и
К
|
¬В⇒(в следствие тавтологии ¬А→(А→В), теоремы 1 о тавтологии)⇒
К
|
¬В→(В→¬А)/где ¬А - любая формула/⇒(МРдважды) К
|
¬А⇒А К¬А⇒
(теорема дедукции) КА→¬А⇒(по теореме 1 К(А→¬А)→¬А) ⇒(МР) К¬А,
что противоречит условию, следовательно К
непротиворечива.
Замечание. Если для некоторой замкнутой формулы А из теории К формула А не
является теоремой, то теория К
∪{¬ А} - непротиворечива.
Доказательство: аналогично лемме 2. Лемма Гёделя (о нумерации). Множество всех выражений исчисления предикатов
счётно, следовательно, счётно и множество всех термов и формул.
Доказательство: каждому символу исчисления поставим в соответствие некоторое
нечетное число g(u) следующим образом.
g(()=3, g())=5, g( , )=7, g(¬)=9, g(→)=11.
g(xk)=5+8k, g(ak)=7+8k, g(fk
n
)=9+8(2
k
3
k
), g(Ak
n
)=11+8(2
k
3
k
), g(∀xk)=g(xk).
Тогда каждому выражению u0, u1,...,us сопоставляется четное число
2
g(u)
⋅3
g(u)
⋅5
g(u)
⋅...⋅ps+1
g(u)
, где ps
- s-ое простое число.
Тогда разным выражениям соответствуют разные числа, следовательно все
выражения можно занумеровать. И все аксиомы и теоремы тоже, однако, по числу
не всегда можно установить, является ли данная формула теоремой, т.к. не во
всякой теории для всех формул можно определить теорема она или нет, то есть не
всякая теория является разрешимой. 6. Установите истинность высказываний:
7. Напишите формулы, которым в интерпретации с
символ
соответствует отношение:
1) быть нулем;
2) быть 1;
3) быть 2;
4) быть четным;
5) быть нечетным;
6) быть простым;
7)
8) “< ”;
9) быть простыми числами – близнецами;
10) быть НОК;
11) отношение “делит”:
12) быть НОД.
8. Докажите, что следующие формулы не являются логически общезначимыми:
11) /( )&( ), .
10) /( ) ( ), ;
9) /( ) ( ), ;
8) / , ;
7) / , ;
6) /( ) 0, ;
5) / , ;
4) / ( , ) , ;
3) / 0, ;
2) / , ;
1) / , ;
2
2
2
0
0
x y x y x y D Q
y x x y x y D Z
x y x y x y D N
x y z x z x y D N
x y z x y xz D N
x y z x y z D Z
x y z x y z x y z D N
z y x НОД x y z D Z
x y z x yz D N
x y z x y z D N
y z x x y z D N
∃ ∃ > < =
∃ ∀ < → > =
∃ ∀ > → > =
∀ ∃ ∀ + = ⋅ =
∀ ∃ ∀ + = =
∀ ∃ ∀ + ⋅ = =
∃ ∀ ∃ + + = ⋅ ⋅ =
∀ ∃ ∀ = =
∃ ∀ ∃ + = =
∃ ∀ ∃ + = =
∃ ∀ ∃ + = =
D N0
=
" ", " ", " "
2
2
2
1
2
1
A = f = + f = ×
2)( ( ) ( )) ( ( )) ( )).
1) ( ) ( ) ( ) ( );
1
1
1 2
1
1 1 1
1
1 1 2
1
1 1
1
1
1 1 2
1
1 1 1
1
1 2
1
1 1
x A x x A x x A x A x
x A x A x x A x x A x
∀ →∀ →∀ →