мат. логика
.docx3) Будут приобретены палатки, рюкзаки не будут, мы пойдем в поход.
4)Не верно, что, либо будут приобретены палатки, либо не будут
приобретены рюкзаки, либо мы в поход не пойдем.
Логические задачи.
15. Или Витя, или Коля, или Толя разбил окно.
1) «Это мог сделать только один Витя, или Толя»,- сказал Андрей.
2) «Я окно не разбивал»,- возразил Витя и Коля тоже.
3) «Вы оба говорите неправду»,- заявил Толя.
4) «Нет, Толя, один из них сказал правду, а другой сказал неправду»,-
возразил Дима.
5) «Ты Дима, не прав», - сказал Коля.
Трое сказали правду. Кто разбил окно?
16. Четыре друга, Антон, Влад, Семен и Дима, решили провести отпуск в Москве,
Лондоне, Киеве и в Ташкенте. В какой город поедут каждый из них, если
известны следующие ограничения:
Р Если Антон не едет в Москву, то Семен не едет в Лондон.
Q Если Влад не едет ни в Москву, ни в Ташкент, то Антон.
едет в Москву.
R Если Семен не едет в Ташкент, то Влад едет в Киев.
S Если Дима не едет в Москву, то Влад едет в Москву.
Т Если Дима не едет в Лондон, то Влад не едет в Москву. 4. Формальные теории.
Теория Р считается формально определенной , если:
1. Выделено счетное множество символов.
Причём, конечная последовательность символов называется выражением.
2. Среди множества выражений выделено множество формул.
Обычно существует алгоритм, распознающий выражения на формулу.
3. Среди множества формул выделено множество аксиом.
Если существует алгоритм распознания формулы на аксиому, то теория
называется аксиоматической (или эффективно аксиоматизированной).
4. Выделено множество отношений R1, R2, ..., Rn, называемых правилами вывода.
Причём для каждого Ri
существует j такое, что для некоторой формулы A и
произвольных j формул можно определять находится ли она в отношении Ri с
этими j формулами или нет. Если находится, то формула A называется
непосредственным следствием этих j формул по правилу вывода Ri
.
Выводом формулы А в теории Р называется конечная последовательность
формул А1, ..., An, которая заканчивается на A и в которой для любого i ( i=1,…,n)
Ai либо
1) аксиома, либо
2) непосредственное следствие предыдущих формул по некоторому правилу
вывода.
В этом случае формула А называется теоремой и обозначается Р А.
Если существует эффективная процедура распознания формул на теорему, то
теория называется разрешимой.
Выводом формулы А из множества формул Г (Г РА) называется конечная
последовательность А1, А2, ..., Аn, которая заканчивается на A и такая, что для
любого i= 1,2,…,n Ai либо
1) аксиома, либо
2) гипотеза (Ai принадлежит множеству формул Г), либо
3) непосредственное следствие предыдущих формул по некоторому правилу
вывода.
Свойства.
1. Если из множества формул Г выводима в теории Р формула A и Г является
подмножеством множества формул ∆ , то из множества формул ∆ выводима
формула A.
2. Из множества формул ∆ выводима формула A тогда и только когда, когда
существует конечное подмножество Г множества ∆ , из которого выводима
формула A.
3. Если из множества формул Г выводима в теории Р формула A и из множества
формул ∆ выводима любая формула из Г, то из множества формул
∆ выводима формула A.
Доказательство. 1 свойство выполняется так как всякая гипотеза по причине
принадлежности множеству Г в выводе формулы A из Г по условию является
формулой множества ∆ . Достаточное условие 2 свойства следует из 1 свойства. А необходимое из
того, что вывод, являясь конечной последовательностью формул, содержит
конечное множество гипотез, из которых образуется множество ∆ .
Для доказательства 3 свойства достаточно в выводе формулы A из
множества Г заменить все гипотезы на их выводы из множества ∆ , что
возможно в силу условия.
5 Исчисление высказываний.
Исчисление высказываний (теорию L) определим так:
1.Символами теории L являются ¬, →, ( , ), А, В, С, .…
2. Формулами теории L являются пропозициональные формы, содержащие только
¬ и →.
3. Три схемы аксиом: (А1) А→(В→А)
(А2) (А→(В→С)) →((А→В) →(А→С))
(А3) (¬В→ ¬А) →((¬В→А) →В)
порождают бесконечное множество аксиом теории L при произвольных
формулах А, В и С.
4. Единственным правилом вывода является Modus ponens (MP): В является
непосредственным следствием формул А и А→В, то есть А, А→В В.
Лемма Для произвольной формулы А теории L формула А→А является
теоремой L ( L А→А).
Доказательство:
1) (А→((А→А) →А)) →((А→(А→А)) (А2)
2) (А→((А→А) →А) (А1)
3) (А→(А→А)) →(А→А) (2,1,МР)
4) А→(А→А) (А1)
5) А→А (3,4,МР)
По выводу 1) - 5) имеем L А→А.
Теорема дедукции. Если из множество формул Г и формулы А выводима формула
В ( Г, А L В ) , то Г L А→В. ( В частности , если А LВ, то L А → В).
Доказательство: Пусть В1,В2, ..., Вn
- В является выводом формулы В из множества
формул Г и формулы А. Тогда для любого i =1,2,…, n имеем
1) Bi
– аксиома, либо
2) Bi – гипотеза, то есть 2.1. Bi∈ Г, либо
2.2. Bi – А, либо
3) Bi
- непосредственное следствие предыдущих формул Вj и Вk по
правилу МР, причем Вk
- Вj→Вi
.
Докажем утверждение теоремы индукцией по длине вывода i, то есть докажем,
что Г А→Вi
. Тогда при I=n утверждение будет справедливо для формулы B.
I. При i =1 докажем, что Г А→В1
. 1) В1 является аксиомой. Тогда В1
( вывод состоит из одной формулы B1
)
и по свойству выводимости 1 имеем Г В1. По аксиоме 1 , учитывая
свойство выводимости 1, имеем Г В1→( А→В1). Поэтому по правилу MP
получаем Г А→В1.
.
2) В1 является гипотезой:
2.1. В1∈Г. Тогда Г В1 и аналогично случаю 1) получаем Г А→В1.
.
2.2. В1
- А, тогда , учитывая лемму и 1 свойство выводимости , имеем
Г А→В1.
В силу невозможности случая 3) базис рассмотрен.
II. Предполагаем, что утверждение справедливо для формул Вl с номерами l
меньшими i и докажем для Вi
.
Если 1) Вi аксиома или
2) гипотеза, то доказательство совпадает с базисным с заменой В1 на Вi
3) Вi непосредственное следствие предыдущих формул Вj и Вk
- Вj→Вi
, то из
того, что j<i, k<i по индуктивному предположению имеем, что
Г А→ (Вj→Вi
) и Г А→ Вj
.
По аксиоме (А2) имеем, что из Г (А→ (Вj→Вi
)) → ((А→ Вj
)→ (А→Вi
)).
Применим МР дважды. Тогда получим, что Г А→Вi
.
Таким образом, по аксиоме индукции утверждение теоремы справедливо для
любого i, а поэтому и для формулы B.
Следствие 1. А→В, В→С А →С.
Доказательство: 1) А→В (гип.)
2) В→С (гип.)
3) А (гип.)
3) 4) В (1, 3, МР)
5) С (2, 4, МР)
По 1) – 5) имеем А→В, В→С, А С.
Поэтому по теореме дедукции А→В, В→С А →С.
Следствие 2. А→(В→С), В А →С.
Доказательство: 1) А→(В→С) (гип.)
2) В (гип.)
3) А (гип.)
4) В→С (1, 3, МР)
5) С (2, 4, МР)
По 1) – 5) имеем А→(В→С), В, А С . Поэтому по теореме дедукции
А→В, В→С А →С.6. Теоремы теории L
Лемма Для любых формул А и В следующие формулы являются теорема-
ми теории L:
a) ¬ ¬ B→B
b) B→ ¬ ¬ B
c) ¬ A→(A→B)
d) (¬ B→ ¬ A) →(A→B)
e) (A→B) →(¬ B→ ¬ A)
f) A→(¬ B→ ¬ (A→B))
g) (A→B) →((¬ A→B) →B)
Доказательство:
а) 1) (¬ В→ ¬ ¬ В)→(¬ В→ ¬ В) →В) (А3)
2) ¬ В→ ¬ В (лемма)
3) (¬ В→ ¬ ¬ В)→В (1, 2, следствие 2)
4) ¬ ¬ В→(¬ В→ ¬ ¬ В) (А1)
5) ¬ ¬ В→В (4, 3, следствие 1)
По 1) - 5) имеем ¬ ¬ В→В
b) 1) (¬ ¬ ¬ В→ ¬ В) →((¬ ¬ ¬ В→В) → ¬ ¬ В) (А3)
2) ¬ ¬ ¬ В→ ¬ В (лемма а)
3) (¬ ¬ ¬ В→В) → ¬ ¬ В (1, 2, МР)
4) В→(¬ ¬ ¬ В→В) (А1)
5) В→ ¬ ¬ В (4, 3, следствие 1)
По 1) - 5) имеем В→ ¬ ¬ В
c) 1) ¬ А (гипотеза)
2) А (гипотеза)
3) (¬ В→ ¬ А) →((¬ В→А) →В) (А3)
4) ¬ А→(¬ В→ ¬ А) (А1)
5) ¬ В→ ¬ А (1, 4, МР)
6) (¬ В→А) →В (3, 5, МР)
7) А→(¬ В→А) (А1)
8) ¬ В→А (2, 7, МР)
9) В (6, 8, МР)
По 1) – 9) имеем ¬ А, А В. Поэтому по теореме дедукции примененной
дважды получаем утверждение леммы c).
d) 1) ¬ В→ ¬ А (гипотеза)
2) (¬ В→ ¬ А) →((¬ В→А) →В) (А3)
3) (¬ В→А) →В (1, 2, МР)
4) А→(¬ В→А) (А1)
5) А→В (4, 3, следствие 1)
По 1) – 5) имеем ¬ В→ ¬А А→В. Поэтому по теореме дедукции получаем
( ¬ В→ ¬ А) →(А→В)
e) 1) А→В (гипотеза.)
2) (¬ ¬ А→ ¬ ¬ В) →(¬ В→ ¬ А) ( лемма d )
3) ¬ ¬ А→A ( лемма а )
4) ¬ ¬ А→B ( 3, 1, следствие 1 ) 5) )B→ ¬ ¬ В ( лемма b )
6) ¬ ¬ А→ ¬ ¬ В ( 4, 5, следствие 1 )
7) ¬ В→ ¬ А ( 2, 6, MP )
По 1) – 7) имеем А→В ¬ В→ ¬ А , Поэтому по теореме дедукции
получаем утверждение леммы е.
f) используя МР, имеем А, А→В В . При помощи теорема дедукции,
применённой дважды, получаем А→ ((А→В) →B). Имея по лемме d
(А→В) →B) → (¬ B→ ¬ (A→B)), по следствию 1 получаем f .
g)
1) А→В ( гип. )
2) ¬ А→B ( гип. )
3) (¬ В→ ¬ А) →((¬ В→А) →В) (А3)
4) (A→B) →(¬ B→ ¬ A) ( лемма d) )
5) ¬ B→ ¬ A ( 1, 4, MP )
6) (¬ В→А) →В ( 5, 3, MP )
7) (¬ А→B) →(¬ B→ ¬ ¬ A) ( лемма d) )
8) ¬ B→ ¬ ¬ A ( 2, 7, MP )
9) ¬ ¬ А→А ( лемма b )
10) ¬ В→А ( 8, 9, следствие 1 )
11) В ( 10, 6, MP )
По 1 – 11 имеем А→В, ¬ А→B В. Поэтому по теореме дедукции,
применённой дважды, получаем утверждение леммы g.
7. Полнота ИВ.
( ):( ) (( ) );
( ):( ( )) (( ) ( ));
( ): ( );
9) (( ) )
8) ( ) (( ) );
7)
6) , ;
5) & ;
4) ( ) ( );
3) , ;
2) , , ( ) ;
1)( ) ;
3
2
1
A B A B A B
A A B C A B A C
A A B A
A B A A
A B A B A
A B B A
A B A B A
A B B
A B C B A C
A B B C A C
A B A B C C
A A A
¬ →¬ → ¬ → →
→ → → → → →
→ →
→ → →
→ → →¬ →¬
↔ →
∨ ¬ →
→ → → →
→ → →
→ →
¬ → →
6
6
6
6
6
6
6
6Предложение 5. Всякая теорема теории L является тавтологией ( 1 теорема
о полноте).
Доказательство: так как схемы А1, А2 и А3 представляют тавтологии и МР в силу
предложения 1 сохраняет свойство формул быть тавтологией, , то теорема,
которая получается из аксиом при помощи МР является тавтологией.
Для доказательства второй части рассмотрим:
Лемма Если формула А содержит пропозициональные буквы В1, В2,…, Вк и
для каждого распределения истинностных значений Вi
\
есть Вi
, если Вi принимает
значение И и¬ Вi
, если Вi принимает значение Л.
Аналогично А
|
есть А, если А принимает в этом распределении значение И и ¬ А,
если А принимает в этом распределении значение Л.
Тогда В1
|
, В2
|
, …, Вk
|
A
|
для каждого распределения букв.
Например,
А - ¬ В1 → В2 → В1
1 л и и и и
2 и л и и л
3 л и и л и
4 и л л л и
Тогда для каждого распределения имеем выводимости
1) В1, В2 ¬В1→ В2→В1
2) ¬В1, В2 ¬ (¬В1→В2→В1)
3) В1, ¬ В2 ¬В1→ В2→В1
4) ¬В1, ¬ В2 ¬В1→В2→В1
Доказательство: докажем утверждение индукцией по количеству связок n в
формуле А.
1. n=0. Тогда в зависимости от значения В утверждение выражается в виде :
В1 В1 или ¬В1 ¬В1, что, очевидно, верно.
2. Пусть утверждение справедливо для формул, содержащих меньше n связок, и
докажем для формулы А
Имеем 2 случая: А имеет вид
1) ¬В либо 2) В→С.
I. А имеет вид ¬В.
Так как В имеет меньше связок, чем А, то для В справедливо утверждение, то
есть В1
|
, …, Вk
|
В
|
. Если при некотором распределении В – истина, то В
|
есть
В, то есть В1
|
, …, Вk
|
В. Тогда
А - ложно. Поэтому А
|
есть ¬А, то есть ¬¬В. По лемме в) имеем В1
|
, …,
Вk
|
В→ ¬ ¬В . Откуда по МР получаем В1
|
, …, Вk
|
¬¬В ( А
|
).
Если В – ложно, то по индуктивному предположению В1
|
, …, Вk
|
¬В, но в этом
случае, так как А
|
есть ¬В, то В1
|
, …, Вk
|
А
|
. 2) А имеет вид В→ С Имеем индуктивное предположение для В и С, имеющих
меньше связок чем А: В1
|
, …, Вk
|
В
|
, В1
|
, …, Вk
|
C
|
.
2.1. В - ложь .Тогда А – И.
В
|
- ¬В, А
|
- В→С. Учитывая лемму с), то есть В1
|
, …, Вk
|
¬В→(В→С) и
В1
|
, …, Вk
|
¬В по МР получаем В1
|
, …, Вk
|
В→С (А
|
)
2.2. С – истино,. Тогда А – истино, А
|
- В→С, C
|
- С и по индуктивному
предположению В1
|
, …, Вk
|
С.
При помощи (А1) имеем В1
|
, …, Вk
|
С→(В→С) . Поэтому по правилу МР В1
|
, …,
Вk
|
(В→С) (А
|
)
2.3. В – истино, С – ложно, В
| -
В, С
|
- ¬С
Поэтому по индуктивному предположению имеем В1
|
, …, Вk
|
В, В1
|
, …, Вk
|
¬С
Так как А – ложно, то А
|
- ¬А - ¬(В→С). Тогда по лемме f) В1
|
, …,
Вk
|
В→(¬С→ ¬(В→С)) , поэтому по МР В1
|
, …, Вk
|
¬(В→С) (А
|
).
В силу аксиомы индукции утверждение леммы справедливо для произвольной
формулы А.
Предложение 6. Всякая тавтология является теоремой ИВ.( Вторая часть
теоремы о полноте ).
Доказательство: Пусть формула А содержит пропозициональные буквы В1,…, Вк.
Тогда по лемме В1
|
, …, Вk
|
А. Поэтому, если Вк – истина, то Вк
|
- Вк 1) В1
|
, …,Вк-1
|
,
Вk А. Если Вк – Л , то Вк
|
- ¬Вк и 2) В1
|
, … Вк-1
|
, ¬Вk А.
По теореме дедукции , применённоё к 1)и 2) , получаем В1
|
, … Вк-1
|
Вk →А и В1
|
,
… Вк-1
|
¬Вk →А .Учитывая
лемму g), имеем В1
|
, … Вк-1
|
( Вk →А ) →(( ¬Вk →А ) →А )
. При помощи
правила МР, применённого дважды получаем В1
|
, …, Вл-1
|
А . Аналогично через
к шагов получим А . 7. Полнота и непротиворечивость теории L
Предложение 5. Всякая теорема теории L является тавтологией ( 1 теорема
о полноте).
Доказательство: так как схемы А1, А2 и А3 представляют тавтологии и МР в силу
предложения 1 сохраняет свойство формул быть тавтологией, , то теорема,
которая получается из аксиом при помощи МР является тавтологией.
Для доказательства второй части рассмотрим:
Лемма Если формула А содержит пропозициональные буквы В1, В2,…, Вк и
для каждого распределения истинностных значений Вi
\
есть Вi
, если Вi принимает
значение И и¬ Вi
, если Вi принимает значение Л.
Аналогично А
|
есть А, если А принимает в этом распределении значение И и ¬ А,
если А принимает в этом распределении значение Л.
Тогда В1
|
, В2
|
, …, Вk
|
A
|
для каждого распределения букв.
Например,
А - ¬ В1 → В2 → В1
1 л и и и и
2 и л и и л
3 л и и л и
4 и л л л и
Тогда для каждого распределения имеем выводимости
1) В1, В2 ¬В1→ В2→В1
2) ¬В1, В2 ¬ (¬В1→В2→В1)
3) В1, ¬ В2 ¬В1→ В2→В1
4) ¬В1, ¬ В2 ¬В1→В2→В1
Доказательство: докажем утверждение индукцией по количеству связок n в
формуле А.
1. n=0. Тогда в зависимости от значения В утверждение выражается в виде :
В1 В1 или ¬В1 ¬В1, что, очевидно, верно.
2. Пусть утверждение справедливо для формул, содержащих меньше n связок, и
докажем для формулы А
Имеем 2 случая: А имеет вид
1) ¬В либо 2) В→С.
II. А имеет вид ¬В.
Так как В имеет меньше связок, чем А, то для В справедливо утверждение, то
есть В1
|
, …, Вk
|
В
|
. Если при некотором распределении В – истина, то В
|
есть
В, то есть В1
|
, …, Вk
|
В. Тогда
А - ложно. Поэтому А
|
есть ¬А, то есть ¬¬В. По лемме в) имеем В1
|
, …,
Вk
|
В→ ¬ ¬В . Откуда по МР получаем В1
|
, …, Вk
|
¬¬В ( А
|
). Если В – ложно, то по индуктивному предположению В1
|
, …, Вk
|
¬В, но в этом
случае, так как А
|
есть ¬В, то В1
|
, …, Вk
|
А
|
.
2) А имеет вид В→ С Имеем индуктивное предположение для В и С, имеющих
меньше связок чем А: В1
|
, …, Вk
|
В
|
, В1
|
, …, Вk
|
C
|
.
2.1. В - ложь .Тогда А – И.
В
|
- ¬В, А
|
- В→С. Учитывая лемму с), то есть В1
|
, …, Вk
|
¬В→(В→С) и
В1
|
, …, Вk
|
¬В по МР получаем В1
|
, …, Вk
|
В→С (А
|
)
2.2. С – истино,. Тогда А – истино, А
|
- В→С, C
|
- С и по индуктивному
предположению В1
|
, …, Вk
|
С.
При помощи (А1) имеем В1
|
, …, Вk
|
С→(В→С) . Поэтому по правилу МР В1
|
, …,
Вk
|
(В→С) (А
|
)
2.3. В – истино, С – ложно, В
| -
В, С
|
- ¬С
Поэтому по индуктивному предположению имеем В1
|
, …, Вk
|
В, В1
|
, …, Вk
|
¬С
Так как А – ложно, то А
|
- ¬А - ¬(В→С). Тогда по лемме f) В1
|
, …,
Вk
|
В→(¬С→ ¬(В→С)) , поэтому по МР В1
|
, …, Вk
|
¬(В→С) (А
|
).
В силу аксиомы индукции утверждение леммы справедливо для произвольной
формулы А.
Предложение 6. Всякая тавтология является теоремой ИВ.( Вторая часть
теоремы о полноте ).
Доказательство: Пусть формула А содержит пропозициональные буквы В1,…, Вк.
Тогда по лемме В1
|
, …, Вk
|
А. Поэтому, если Вк – истина, то Вк
|
- Вк 1) В1
|
, …,Вк-1
|
,
Вk А. Если Вк – Л , то Вк
|
- ¬Вк и 2) В1
|
, … Вк-1
|
, ¬Вk А.
По теореме дедукции , применённоё к 1)и 2) , получаем В1
|
, … Вк-1
|
Вk →А и В1
|
,
… Вк-1
|
¬Вk →А .Учитывая
лемму g), имеем В1
|
, … Вк-1
|
( Вk →А ) →(( ¬Вk →А ) →А )
. При помощи
правила МР, применённого дважды получаем В1
|
, …, Вл-1
|
А . Аналогично через
к шагов получим А .
Теория L является непротиворечивой теорией, т.е. ни для какой формулы А не
может быть А и ¬А одновременно теоремами, т.к. из противного предположения, .
1 2
A A
в силу леммы с) будем иметь (¬А→(А→В)
) и по правилу МР получим В,
что невозможно в силу теоремы о полноте, т.к. тогда В является тавтологией,
однако, не все формулы в теории L являются тавтологииями.
Непротиворечивость можно доказать из того, что не всякая формула является
теоремой, если в этой теории выводима формула из леммы с) и имеется правило
МР.
Теория, в которой не всякая формула является теоремой, называется
абсолютно непротиворечивой.
Независимость множеств аксиом.
Множество аксиом Х называется независимым от других множеств аксиом,
если никакая аксиома из Х не может быть выведена из остальных аксиом при
помощи правил вывода.
Пример. А3: (¬В→ ¬А)(( ¬В →А) →В) – независимая от множеств А1 и А2, т.к.
предполагая противное и рассматривая преобразование h формул, которое
заключается в исключении у них отрицания, будем иметь, что h примененное к (А1
)и (А2 )не меняют их, следовательно они остаются тавтологиями. В правиле МР
преобразование h ничего не изменяет, следовательно правило МР сохраняет
свойство быть тавтологией, но в случае выводимости А3, тогда бы и h от аксиомы
из А3 оставались тавтологией.
Однако, h(¬В→ ¬А) →((¬В→А) →В) имеет вид (C→D→((C→D) →D), что не
является тавтологией.
Таким образом, А3 независимо от А1 и А2.
Аналогично можно показать независимость аксиом А1, А2 от остальных при
помощи , например, многозначных логик.
Независимость систем аксиом.
1. Доказать, что множество
не зависимо от множеств аксиом
2. Доказать независимость множества
от множеств
Для этого рассмотрим трехзначную логику со значениями 0,1,2 и связями
которые определяются следующим образом:
3
A
1
А
, .
2 3
А А
¬,→,
А
А
0 1
1 1
2 0
А
В
0 0 0
1 2 0
2 0 0
0 2 1
1 2 1
2 0 1
0 2 2
1 0 2
2 0 2
1) Показать, что
Дают выделенные формулы, т. е. принимающие при любом распределении
значение 0.
2) Показать, что МР сохраняет свойство формулы быть выделенной.
3) Привести пример аксиом из
которая является невыделенной.
3. Докажите независимость множества
от множеств
при помощи логики:
А А
1 0
0 1
1 2
А В
0 0 0
1 0 0
2 0 0
0 2 1
1 2 1
2 3
А , А
,
1
А
2
А
1 3
А , А 2 0 1
0 1 2
1 0 2
2 0 2
1) Показать, что в данной логике всякая аксиома из
является гротескной.
2) Показать, что всякая аксиома из
3
А является гротескной.
3) МР сохраняет свойство быть гротескной.
4) Привести пример аксиомы из
Которая не является гротескной.
4. Придумать многозначную логику, доказывающую независимость
от множеств
1
А
,
2
А
3
А
, .
1 2
А АТеории первого порядка
1. Теория I порядка К, имеющая предикатный символ А1
2
: "=", является теорией I
порядка с равенством, если имеет аксиомы:
А6: ∀х1(х1=х1) - рефлексивность равенства
А7: х=у→(А(х, х)→А(х, у) - подстановочность равенства
где А(х, х) - произвольная формула, имеющая свободные вхождения переменной
х;
А(х, у) - получившаяся из нее, посредством замены некоторых свободных
вхождений переменной х на у, причем у должен быть свободным термом для
вхождения переменной х, которое он заменяет.
Теорема 1. В теории I порядка с равенством К
a) t=t, для произвольного терма t
b) x=y→y=x
c) x=y→(y=z→x=z)
Доказательство:
a) 1. ∀х1(х1=х1)(А6 )
2. ∀х1(х1=х1)→(t=t) ( А4 )
3. t=t (1, 2, МР)
1-3: t=t
b) А7: x=y→(х=х→у=х)⇒в силу а) x=х и по тавтологии
А→((В→(А→С))→(В→С))получаем x=y → у=х.
с)в следствие А7: y = x→(y=z→x=z) по
тавтологии (А→В)→((В→С)→(А→С)) и b получаем x=y→(y=z→x=z)
↑ ↑ ↑
х=у у=х у=z→x=z.
Теорема 2. Если в теории I порядка К имеет место (А6):∀х1(х1=х1) и (А7)
:
х=у→(А(х, х)→А(х, у)) только для элементарной формулы А, то теория I порядка
К является теорией I порядка с равенством.
Доказательство: необходимо доказать, что из(А7)
следует (А7). Докажем это
индукцией по количеству n кванторов и связок в формуле А.
Если n=0, то выполняется из условия теоремы.
Предположим, что (А7) выполняется для произвольной формулы, имеющей связок
и кванторов меньше, чем формула А.
Докажем для А. Рассмотрим три случая.
1. А(х, х)-¬В(х, х).
По индуктивному предположению утверждение справедливо для формулы В,
поэтому у=х→(В(х, у)→В(х, х)). Вследствие того, что теорема 1 доказана
только при помощи элементарных формул, то в условиях теоремы 2 теорема 1
справедлива. Поэтому в следствие b) х=у→у=х, по тавтологии
(А→В)→((В→С)→(А→С)) и теоремы 1 о частном случае тавтологии А - х=у, В - у=х, С - (В(х, у)→В(х, х)) получаем х=у→(В(х, у)→В(х, х)). Поэтому по
тавтологии (А→В)→(¬В→¬А) и по выше использованной тавтологии а также
правила МР имеем х=у→(¬В(х, х)→¬В(х, у)), т.е. х=у→(А(х, х)→А(х, у))
2. А(х, х)-В(х, х)→С(х, х)
По индуктивному предположению утверждение справедливо для В и С. Тогда
применим индуктивное предположение для В и С.
х=у→(В(х, у)→В(х, х)) - используется теорема 1 b)
х=у→(С(х, х)→С(х, у))
Используя тавтологию (А→(В→С))→((А→(Д→Е))→(А→((С→Д)→(В→Е))))
х=у В(х,у) В(х,х) х=у С(х,х) С(х,у) х=у В(х,х) С(х,х) В(х,у) С(х,у)
и правило МР дважды получаем х=у→((В(х, х)→С(х, х))→(В(х, у)→С(х, у))), т.е.
х=у→(А(х, х)→А(х, у)).
3) А(х,х)-∀zВ(х, х, z)
По индуктивному предположению утверждение справедливо для В, т.е.
х=у→(В(х, х, z)→В(х, у, z))
Так как (В(х, x, z) → В(х, у, z)) → ∀z(В(х, х, z)→В(х, у, z)) ,то
х=у→( ∀z(В(х, х, z)→ В(х, у, z)) →( ∀zВ(х, х, z)→∀zВ(х, у, z))).
Т.к. 1. ∀z(В(х, х, z)→В(х, у, z) - гипотеза
2. ∀zВ(х, х, z) - гипотеза
3. ∀z(В(х, х, z)→В(х, у, z)→(В(х, у, z)→В(х, у, z) (А4)
4. В(х, х, z)→В(х, у, z) (1, 3, МР)
5. ∀zВ(х, х, z)→В(х, х, z) (А4)
6. В(х, х, z) (2, 5, МР)
7. В(х, у, z) (4, 6, МР)
8. ∀zВ(х, у, z) (ПО, 7)
1-8 ∀z(В(х, х, z)→В(х, у, z)), ∀zВ(х, х, z) ∀zВ(х, у, z)
Проверим ПО. z - не является свободной переменной, значит по теореме дедукции
(2 раза) получим:
∀z(В(х, х, z)→В(х, у, z))→(∀zВ(х, х, z)→∀zВ(х, у, z))/
Тогда применив тавтологию транзитивности, получим
х=у→(∀zВ(х, х, z)→∀zВ(х, у, z))
Вследствие метода математической индукции утверждение справедливо для
любой формулы
Модель теории I порядка с равенством называется нормальной, если
отношение, интерпретирующее предикатный символ "=" в данной интерпретации,
превращается в тождество.
Всякая теория I порядка с равенством, имеющая модель, имеет нормальную
модель.
Покажем это: Пусть теория К имеет модель с областью интерпретации D и отношением Е. Это
отношение в следствие теоремы 1 является отношением эквивалентности.
Поэтому разбивает D на классы эквивалентности, образуя множество D
.
Рассмотрим интерпретацию теории К при помощи D
, при этом элементы из D
обозначим: [b1]=b1/E - класс эквивалентности.
Тогда Аj
n
, которая в интерпретации с областью D интерпретируется при помощи
отношения Bj
n
в области D
проинтерпретируем при помощи некоторого
отношении Bj
n
такого, что Bj
n
∋([b1, ...,bn])⇔( b1, ...,bn)∈ Bj
n
. Причем это
определение корректно, т.к. независимо от представителей выбора классов в
следствие А7: х1=у1&х2=у2&...&хn=уn→(Aj
n
(x1, ...,xn)→Aj
n
(y1, y2,...,yn)).
Кроме того, если fj
n
в интерпретации с областью D интерпретируется при помощи
функции g, то в интерпретации с областью интерпретации D
|
, fj
n
интерпретируется
при помощи функции g
([b1],…, [bn]) = [g(b1,…, bn)]. Если
х1=у1&х2=у2&…&хn=уn, то применяя (А7) fj
n
(х1, х2, …, xn)= fj
n
(х1, х2, …, xn)→
→fj
n
(х1, х2, …, xn)= fj
n
(у1, у2,…, yn)
Т.к. В→((А→(В→С))→(А→С)), то
х1=у1, х2=у2, …, xn=yn→ fj
n
(х1, х2, …, xn)=fj
n
(у1, у2,…, yn)
Кроме того для предметной константы а из области D соответствует [а], тогда
вследствие определения интерпретации с областью D
получим, что формула А
выполняется на соответствующем наборе ϕ из D тогда и только тогда, когда А
выполняется на соответствующем наборе ϕ
, составленном из классов
эквивалентности D
.
А, ϕ∈D⇔А, ϕ
∈D
.
Кроме того, если Е
это отношение, интерпретирующее предикатный символ ”=” в
области D
, то из того, что
([b1], [b2])∈Е
следует (b1, b2)∈Е, то есть [b1]=[b2].
Теорема. Всякая непротиворечивая теория I порядка с равенством имеет
конечную или счетную модель (продолжение леммы Гёделя о счетной модели).
Доказательство: всякая непротиворечивая теория I порядка К по лемме Гёделя
имеет счетную модель. Но вследствие вышесказанного, она имеет и нормальную
модель, которая является сужением ее, следовательно является конечной или
счетной.
Предваренные нормальные формы.
Предваренные нормальные формы представляют собой формулы вида:
Q1x1Q2x2…QnxnA, где
Q – кванторы,
А – формула, не содержащая кванторов.
Всякую формулу теории I порядка можно представить в ПНФ при помощи:
Теорема: для произвольных формул С и D имеем.1. (∀хС(х)→D)↔∃у(С(у)→D),
где С(х) и D не содержат у в качестве свободной переменной 2. (∃хС(х)→D)↔∀у(С(у)→D), где С(х) и D не содержат у в качестве
свободной переменной
3. (D→∀хС(х))↔∀у(D→С(у)), где С(х) и D не содержат у в качестве
свободной переменной
4. (D→∃хС(х))↔∃у(D→С(у)), где С(х) и D не содержат у в качестве
свободной переменной
5. ¬∀хА(х)↔∃х¬А(х)
6. ¬∃хА(х)↔∀х¬А(х).
Доказательство:
1. 1)∀х С(х)→D - гипотеза
2) ¬∃у (С(у)→D) - гипотеза
3) ¬¬∀у¬(С(у)→D) (2, определение существования)
4) ∀у¬(С(у)→D) (3, ¬¬В→В, МР)
5) ¬(С(х)→D) (4, А4, МР)